混沌理論支持下的橋梁變形監(jiān)測研究

許章平，欒元重，劉中華，崔騰飛，相 濤

(山東科技大學(xué)測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590)

大橋在人們生活中扮演著重要的角色，跨海大橋更是為人們的出行提供了方便。它處在海洋之上，不僅經(jīng)受海水的沖擊，還承受著車載的外力，發(fā)生形變后如果不進行充分的維護，就會影響橋體的使用，嚴(yán)重時會危及橋身的安全，引起坍塌，給社會和人類的生活帶來極大的損失。因此，隨時監(jiān)測橋體的變形狀態(tài)，并及時維護，不僅能保證橋身的正常運行，還能降低國家和人民的經(jīng)濟損失。由于橋梁的變形受很多因素的影響，使用傳統(tǒng)的預(yù)測模型，難以精確判別橋梁變形程度。針對橋梁形變的非線性特點，需要使用非線性的預(yù)測模型進行分析。

非線性混沌時間預(yù)測是當(dāng)今科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域研究的熱點，但在變形分析方面的認識還不夠深入，需要研究和解決的問題較很多[1]。因此，開展針對跨海大橋應(yīng)用混沌理論進行時間序列預(yù)測的研究，深入了解并探尋大橋的變形規(guī)律，可為橋梁的維護和安全運行提供科學(xué)數(shù)據(jù)，對揭示跨海大橋變形機理、實現(xiàn)橋梁安全運營具有重大意義。本文對青島膠州灣跨海大橋開展變形監(jiān)測工作，在傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)上，進行非線性、動態(tài)的測量數(shù)據(jù)處理，并通過建立加權(quán)一階局域預(yù)計模型和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌預(yù)計模型對其進行預(yù)測研究。

1 時間序列的相空間重構(gòu)

混沌系統(tǒng)形變軌跡經(jīng)過長時間不斷的變化，具有一定的規(guī)律可循。這種軌跡經(jīng)過多種變化，變成一種與時間有關(guān)的序列時會呈現(xiàn)出混亂的特性。由于系統(tǒng)元素是相關(guān)的，因此所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)點也是互相關(guān)聯(lián)的。文獻[2]提出使用原系統(tǒng)中的某個變量的延遲坐標(biāo)進行相空間重構(gòu)；文獻[3]證實了可以找到合適的嵌入維數(shù)，即若延遲坐標(biāo)的維數(shù)是動力系統(tǒng)的維數(shù)，在該嵌入維空間之中可以把這個有規(guī)則的軌跡還原出來，從而為混沌時間序列的預(yù)測理論打下基礎(chǔ)。相空間重構(gòu)的核心是延遲時間和嵌入維數(shù)的求取，傳統(tǒng)的C-C算法和G-P算法能夠準(zhǔn)確求出重構(gòu)參數(shù)[4-6]，但這兩種算法存在著不足之處。針對這些不足，本文使用改進的C-C算法和G-P算法，能夠更好地完成相空間重構(gòu)，可為后續(xù)預(yù)計模型的建立提供方便。

1.1 傳統(tǒng)C-C算法原理

C-C算法是應(yīng)用關(guān)聯(lián)積分構(gòu)建時間序列的檢驗統(tǒng)計量來代表非線性時間序列的相關(guān)性，最終求取嵌入維數(shù)的計算方法。定義檢驗統(tǒng)計量，N為時間序列長度[7-8]，即

S1(m,N,r,t)=C(m,N,r,t)-Cm(1,N,r,t)

(1)

將時間序列分解為t個子序列，t為重構(gòu)時延，當(dāng)N→∞時，將統(tǒng)計量采用分塊策略可表示為

(2)

求取最大與最小兩個半徑r的差量如下

ΔS(m,t)=max{S(m,rj,t)}-min{S(m,rj,t)}

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 C-C算法的改進

(7)

式中，Xn,s和xn,s分別為X和x的n個無重疊子集，n為常數(shù)，它可以控制計算精度和速度。當(dāng)n=1時,S1(m,N,r,t)的計算精度最高；當(dāng)n較大時，會存在一定的誤差，但不同的時間之間只相差一個常數(shù)，因此不影響局部極值的讀取。

1.3 傳統(tǒng)G-P算法原理

G-P算法從時間序列中計算吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)，對實測數(shù)據(jù)x(1)，x(2)，…,x(t)用Tankens嵌入維定理進行延時重構(gòu)[9]，得到一組空間向量X(t)=(x(t),x(t+τ),…,x[t+(m-1)τ])，t=1,2，…,M，其中M=N-(m-1)τ,對于空間中的M點，計算有關(guān)聯(lián)向量的對數(shù)。間距小于指定正數(shù)r的向量都是關(guān)聯(lián)向量，向量的距離一般有兩種表示方法：2-笵數(shù)與∞-笵數(shù)，這里選用∞-笵數(shù)來計算，即將兩向量最大分量作為距離。它在M2種可能中，配對所占的百分比稱為關(guān)聯(lián)積分

(8)

式中，θ(·)為Heaviside單位函數(shù)，即

(9)

由此可計算關(guān)聯(lián)積分Cr(r)，選擇不同鄰域半徑r，并分別對Cr(r)進行計算，然后擬合出Dm，增加m，最后得出飽和值D，根據(jù)m≥2D+1求出恰當(dāng)?shù)那度刖S數(shù)m[10]。

1.4 G-P算法的改進

傳統(tǒng)G-P算法存在4個問題：①尋找鄰域半徑r時，個人主觀性很強，若r取值太小，則鄰域內(nèi)相位點太少，Cr(r)趨近于0，若r取值太大，則會包含所有的相位點，此時Cr(r)趨近于1，給嵌入維數(shù)的判別帶來困難；②主要依賴人的觀察來判別無標(biāo)度區(qū)間，選取個人認為的線性區(qū)域，然后判別該區(qū)域線段的導(dǎo)數(shù)是否變化，這種主觀占決定因素的判別容易產(chǎn)生誤差；③鄰域半徑r變化步長的選擇，步長太大，樣本點數(shù)會變少，影響精度，步長太小，不僅增加運算量，同時也放大了噪聲誤差；④求取關(guān)聯(lián)積分的方法在原理和結(jié)構(gòu)上存在冗余，若不進行改善，不能滿足實用性需要。

針對以上幾個問題，本文采用以下方法進行改進：①鄰域半徑r的選擇范圍應(yīng)該在相點間距的最小與最大的數(shù)值之間；②選定[ln(σ/3),ln(3σ)](σ為時間序列的標(biāo)準(zhǔn)差)為無標(biāo)度區(qū)間的界限，找出Dm和m的函數(shù)關(guān)系，并畫出關(guān)系曲線圖，當(dāng)曲線斜率趨近于0時，說明Dm趨于飽和；③步長從0開始線性遞增，進行多次嘗試；④在原始數(shù)據(jù)中讀取相點的多維元素來計算相點間距離，不再進行多次重構(gòu)，可以減輕大量的計算任務(wù)，當(dāng)嵌入維數(shù)確定以后相點間距離不受r的影響，由于循環(huán)計算造成計算冗余，因此每進行一次相點距離的計算便與r進行一次比較，根據(jù)如下遞推公式可以減少大量計算工作

(10)

2 時間序列混沌識別

運用小數(shù)據(jù)量法求取最大Lvyapunov指數(shù)，小數(shù)據(jù)量法基本原理[11]為：根據(jù)重構(gòu)的混沌時間序列的相空間，查詢給定軌道上每個點的最小間距的鄰點，即

(11)

通過計算所有相鄰最近兩點的平均發(fā)散率的估算值獲取最大Lyapunov指數(shù)，即

(12)

式中,m為常數(shù)；Δt為樣本周期；dt(i)為第t組相鄰最近的兩點經(jīng)過i個離散時間的步長距離。對dt(i)取對數(shù)得

lndt(i)=lnCt+λ1(iΔt)t=1,2,…,M

(13)

最大Lyapunov指數(shù)可通過近似于式(13)中直線的斜率獲得。

3 混沌時間序列預(yù)測

3.1 加權(quán)一階局域預(yù)測模型

在相空間之間計算每個鄰域點到X(t)之間的歐氏距離，并找出X(t)的參考向量集X(ti),i=1,2,…,N，且點X(ti)與X(t)的區(qū)間為d，假設(shè)dm為di中的最小量，定義點權(quán)值為[12]

(14)

式中，a為常系數(shù)，通常取a=1。則一階局域線性擬合為

X(ti+1)=aR+bX(ti)i=1,2,…,N

(15)

式中，R=[11…1]T。嵌入維數(shù)m=1時，采用加權(quán)最小二乘法，有

(16)

對式(16)中與a、b有關(guān)的函數(shù)求偏導(dǎo)，并求解a和b，代入可以求取預(yù)測值如下

X(ti+1)=aR+bX(ti)

(17)

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌預(yù)測模型

徑向基函數(shù)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將前饋網(wǎng)絡(luò)分為3層：第1層為輸入層，由信號源節(jié)點組成[13]；第2層為隱含層，將輸入空間投影到新的空間，根據(jù)問題的需要確定單元數(shù)；第3層為輸出層，對輸入模式的作用作出反應(yīng)[14]。

RBF網(wǎng)絡(luò)進行投影f：Rn→Rm，其數(shù)學(xué)表達式為

(18)

(19)

式中，β表示寬度值，為常數(shù)。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌預(yù)測的步驟為[15]：

(1) 對時間序列進行歸一化處理，所得數(shù)據(jù)分為預(yù)測部分和訓(xùn)練部分；利用時間延遲和嵌入維數(shù)m兩個重構(gòu)參數(shù)對訓(xùn)練部分進行相空間重構(gòu)，重構(gòu)后的點數(shù)為N=n-(m-1)。

(2) 通過調(diào)用newrb函數(shù)建立徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測模型，其格式為net=newrb(P,T,goal,SPERAD,MN,DF)，其中，P為輸入向量，m個輸入層元素；T為目標(biāo)向量；SPREAD為隱含層的分布密度；指定元素的最大數(shù)目為MN；DF為兩次顯示時間間隔內(nèi)所增加的神經(jīng)元數(shù)量。newrb函數(shù)內(nèi)部確定線性變換及非線性變換、初始偏離值與初始值。用RBF網(wǎng)絡(luò)逼近函數(shù)時，newrb可以自動添加網(wǎng)絡(luò)中的隱層神經(jīng)元，當(dāng)均方誤差滿足限差時停止，此時所用的網(wǎng)絡(luò)輸出為an=sim(net,P)。

3.3 預(yù)測模型評價

預(yù)測過程中存在多種不確定因素，若預(yù)測結(jié)果不科學(xué)，建立的模型就不能用在橋梁變形數(shù)據(jù)處理中，因此需要采用科學(xué)的評價標(biāo)準(zhǔn)進行評定。評定的方法有很多種，本文采用以下兩種方法：

(1) 平均絕對誤差(MAE)：計算每期實際值與預(yù)測值絕對誤差的平均值，公式如下

(20)

(2) 均方根誤差(RMSE)：求取絕對誤差平方和的平均值，然后將平均值進行開方，計算公式如下

(21)

式中，y(i)為第i點的預(yù)測值；x(i)為第i點的實測值；n為期數(shù)。

4 應(yīng)用實例

本次觀測高程基準(zhǔn)網(wǎng)共布設(shè)7個控制點，其中3個已知的基準(zhǔn)點。根據(jù)《國家一、二等水準(zhǔn)測量規(guī)范》(GB/T 12897—2006)規(guī)定的二等水準(zhǔn)測量要求對青島膠州灣大橋的高程基準(zhǔn)網(wǎng)進行觀測。采用精度為0.6 mm的Trimble DINI03數(shù)字水準(zhǔn)儀及配套銦瓦條碼尺，按“后前前后”奇偶交替模式對青島膠州灣大橋進行往返觀測，數(shù)據(jù)合格后取其平均值作為項目實測數(shù)據(jù)，確保變形數(shù)據(jù)的可靠性。從2017年4月—2017年10月期間連續(xù)檢測的數(shù)據(jù)中每3 d取一期形成等間隔的時間序列，共70期數(shù)據(jù)。下沉值計算均以第1期觀測數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)。以沉降點R6為例，下沉數(shù)據(jù)如圖1所示。

本文運用兩種混沌時間序列預(yù)測方法對跨海大橋沉降數(shù)據(jù)進行預(yù)計：①根據(jù)時間延遲τ=0和嵌入維數(shù)m=10對時間序列進行相空間重構(gòu)，建立加權(quán)一階局域預(yù)測模型[17]；②對時間序列進行歸一化，取前60期數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，再根據(jù)前面所求的時間延遲和嵌入維數(shù)進行相空間重構(gòu)，建立RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌預(yù)測模型[18]；③使用以上兩種混沌預(yù)計模型及系數(shù)為0.9和0.5的指數(shù)平滑法對時間序列進行短期預(yù)測。系統(tǒng)最長預(yù)報時間為87 d，為保證預(yù)測精度，預(yù)測數(shù)據(jù)選取后30 d觀測的最后10期數(shù)據(jù)對比分析預(yù)測結(jié)果。如表1和圖9所示。

由表1可以看出，混沌時間序列預(yù)測結(jié)果比指數(shù)平滑預(yù)測結(jié)果更接近實測值，說明混沌時間序列預(yù)測方法的可靠性；RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌時間序列預(yù)計效果優(yōu)于加權(quán)一階局域法預(yù)計效果。由圖9可知，兩種模型預(yù)測結(jié)果都與真實值相差不大，且隨著期數(shù)的增加，兩種模型預(yù)計值與實測值的差距越來越大，預(yù)測誤差隨著預(yù)測時間的增加呈遞增趨勢，但最大相對誤差為11%，說明混沌預(yù)測法在橋梁變形監(jiān)測中進行短期預(yù)測是可行的。

表1 兩種模型預(yù)測結(jié)果對比

對以上3種模型的預(yù)測精度進行評定，結(jié)果見表2。

表2 3種預(yù)測模型精度對比

從表2中定量數(shù)值可看出，加權(quán)一階局域法和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌法預(yù)測精度明顯高于指數(shù)平滑法，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌法計算精度優(yōu)于加權(quán)一階局域法，表明混沌時間序列預(yù)測方法可靠，能夠反映橋梁變形的真實狀態(tài)。

5 結(jié) 論

本文根據(jù)青島膠州灣跨海大橋的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，提出了橋梁變形混沌狀態(tài)判別標(biāo)準(zhǔn)，給出了橋梁變形混沌相空間重構(gòu)方法；并綜合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性數(shù)據(jù)處理的能力，建立了橋梁變形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌時間序列預(yù)計模型。結(jié)論如下：

(1) 采用改進的C-C法計算時間序列的時間延遲τ，采用改進的G-P法計算最佳嵌入維數(shù)m，通過這兩個重構(gòu)參數(shù)，對橋梁實測數(shù)據(jù)進行了相空間重構(gòu)，實例表明與傳統(tǒng)算法相比，改進算法的抗干擾性、計算效率等方面都得到了改善。

(2) 建立了混沌預(yù)測模型，將混沌預(yù)測方法預(yù)測精度與指數(shù)平滑法預(yù)測精度進行比較，前者預(yù)測精度明顯高于后者，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌法預(yù)測精度優(yōu)于加權(quán)一階局域法。