跳傘運(yùn)動與數(shù)學(xué)模型研究

李佳蕙

摘 要： 數(shù)學(xué)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合才能展現(xiàn)其魅力;而數(shù)學(xué)建模就是利用數(shù)學(xué)來建立模型進(jìn)而解決實(shí)際問題的一門學(xué)科。傘兵是我國軍事力量的重要組成部分，同時跳傘運(yùn)動也越來越受到人們的青睞。因此如何精準(zhǔn)地把握開傘時間并確保人員安全顯得尤為重要。通過建立跳傘的數(shù)學(xué)模型，對跳傘運(yùn)動中的各種變量進(jìn)行分析，如傘的受力面積、開傘時間、人體質(zhì)量、降落范圍等;通過分析各變量對跳傘運(yùn)動的影響，對其進(jìn)行安全分析。在確保運(yùn)動員安全的前提下，對最佳撐傘時間進(jìn)行分析研究。

關(guān)鍵詞： 安全跳傘;受力分析;運(yùn)動分析;收尾速度;開傘時間

中圖分類號： TB????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A????? doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.13.096

1 問題背景

跳傘運(yùn)動在軍事和經(jīng)濟(jì)建設(shè)上都有重要意義。早在15世紀(jì)，利用降落傘下降的可能性已從理論上得到證明。20世紀(jì)初以來，飛艇、飛機(jī)廣泛用于民航事業(yè)和軍事方面，降落傘被實(shí)際用為飛行人員的救生器具，并逐漸發(fā)展為體育活動。降落傘可應(yīng)用于應(yīng)急救生，在返回式航天飛飛機(jī)失事時拯救飛行員的性命;也可以起到穩(wěn)定作用，保持飛機(jī)彈射椅的姿態(tài)穩(wěn)定，空中加油機(jī)的加油器穩(wěn)定;在空降空投方面也有著巨大應(yīng)用價值，例如傘兵空降以及各種物資和武器的空投;同時也可作為一項被大眾廣泛接受的航空運(yùn)動。

在跳傘的過程中，準(zhǔn)確的把握開傘時間是最重要的，為使運(yùn)動員及空投物資時能更好的預(yù)計較為準(zhǔn)確的開傘時間，現(xiàn)提出以下幾個問題。

（1）如何確保運(yùn)動員能夠安全著陸。

（2）如何確保運(yùn)動員在制定范圍內(nèi)著陸。

（3）風(fēng)速對落地范圍的影響與開傘時間的跳傘運(yùn)動的影響。

2 模型假設(shè)

（1）假設(shè)人在水平方向所受風(fēng)速恒定。

（2）假設(shè)空氣密度均勻，不隨高度變化。

（3）假設(shè)降落傘張開后有效受力面積不變。

（4）假設(shè)重力加速度不隨高度的變化而變化。

（5）假設(shè)打開降落傘所需的時間和此過程速度的變化忽略不計。

（6）假設(shè)人和降落傘相對靜止，并以系統(tǒng)的重心代表整個系統(tǒng)進(jìn)行分析。

3 模型建立與問題分析

本文主要針對跳傘運(yùn)動的軌跡變化規(guī)律進(jìn)行展開研究，因此如何描述跳傘運(yùn)動員的狀態(tài)是建立數(shù)學(xué)模型的首要考慮因素。如下是本文的數(shù)學(xué)模型，該模型建立在空間物理模型的基礎(chǔ)上，通過受力分析得到運(yùn)動員的受力情況;結(jié)合運(yùn)動員此時的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)而得到運(yùn)動員的運(yùn)動軌跡。

由圖1，根據(jù)解題需要，設(shè)定如下參數(shù)：

v：風(fēng)速;

F阻：空氣阻力;

m：人體質(zhì)量;

s：降落傘的受阻面積;

h：地面到開傘位置的豎直距離;

d：落地最大范圍;

H：開始跳傘位置與地面距離;

tg：開始下落到開傘所用時間;

t：跳傘過程中所用時間。

3.1 模型分析

如圖1，跳傘運(yùn)動員從高度為H的高空跳傘，第一階段，即降落傘還未打開時，在該過程中由于降落傘未撐開，為簡化模型，在該過程中只考慮人所收到的重力，因此可以建立類自由落體運(yùn)動。第二階段，傘打開，由于傘的面積較大，因此需要考慮傘所受到的阻力和人所受到的重力，隨著降落傘的打開，人下降的速度會相應(yīng)減小，因此加速度絕對值大小也會變小，因此可以建立加速度逐漸減小的減速運(yùn)動模型，根據(jù)模型具體參數(shù)求解得到含第一階段運(yùn)動的末速度、人的質(zhì)量和降落傘面積等參數(shù)相關(guān)的運(yùn)動方程。

通過查閱相關(guān)資料可知，降落傘是利用空氣阻力來達(dá)到減小速度的一種工具。資料顯示，運(yùn)動的物體在空氣中所受的阻力大小與物體的運(yùn)動速度有關(guān)。當(dāng)物體在速度較低情況下，可以認(rèn)為阻力的大小與阻力系數(shù)、接觸面積、速度成正比，即f=ksv，其中k=2.937。然而，當(dāng)空氣中的速度非常高的時候，物體會與空氣產(chǎn)生摩擦現(xiàn)象，開始出現(xiàn)氣動加熱現(xiàn)象。一般認(rèn)為當(dāng)速度大于2.5（馬赫）時，會出現(xiàn)氣動加熱現(xiàn)象。

由以上知識，并結(jié)合模型可知，此處假設(shè)人在撐傘之前做自由落體運(yùn)動;當(dāng)速度v達(dá)到2.5倍音速時，即v=340*2.5m/s物體下落的高度為：

H= v2 2g?? （1）

將g=9.8m/s2，v代入上式可得，H=36862米。由于在實(shí)際的跳傘運(yùn)動中，跳傘的高度通常不會大于H，因此在本文中的空氣阻力的計算公式選擇如下：

f=ksv，（k=2.937） （2）

由前文的運(yùn)動分析，在開傘之前，運(yùn)動員做自由落體運(yùn)動，在該過程中，速度大小為：

vg=gt （3）

降落高度與時間的關(guān)系為：

Hg= 1 2 gt2 （4）

在豎直方向上的運(yùn)動方程為：

H=H0-Hg （5）

當(dāng)運(yùn)動員撐開降落傘之后，由于物體所受到的阻力對物體運(yùn)動的影響非常大，因此必須考慮空氣阻力的影響;由上文可知空氣阻力的計算公式，再結(jié)合牛頓公式。

ma=mg-ksvv tg =gtg?? （6）

其中，tg表示運(yùn)動員自由落體的運(yùn)動時間， a表示加速度，又由加速度與速度、時間的關(guān)系：

a= dv dt? （7）

結(jié)合微分方程的求解，可得：

vs= mg ks + gtg- mg ks? ×e- ks m （t-tg） （8）

綜上，下降過程中的速度公式為：

v=? gt mg ks + gtg- mg ks? ×e- ks m （t-tg）???? ttg? （9）

3.2 跳傘的安全分析

3.2.1 確保安全降落的基本條件

通過對降落傘的降落過程進(jìn)行分析可知，運(yùn)動員在撐傘之后其速度下降的過程中其加速度的絕對值也同時在下降，因此速度最終會趨向于一個固定的值，通常稱該速度為收尾速度，一般認(rèn)為此時降落傘的阻力等于此時人和降落傘的重力;再通過對以上公式進(jìn)行分析可知，人在打開降落傘之后，速度最終將趨向于如下速度值：

v= mg ks? （10）

首先，為保證運(yùn)動員的安全，確保收尾速度小于人能夠接受的速度，也就是說v<8米每秒。因?yàn)檫@m，s值的大小對于運(yùn)動員來說是變量，因此可對其進(jìn)行分析，可列表分析。

根據(jù)上表所得數(shù)據(jù)可知，當(dāng)體重固定時，可通過增加降落傘得面積減小收尾速度保證運(yùn)動員得安全。結(jié)合上表數(shù)據(jù)并結(jié)合實(shí)際降落傘的大小，可知運(yùn)動員如果體重大于70千克而且想要以5米每秒的速度著地則至少需要47.6677平方米大小的降落傘，而這已經(jīng)是非常大的降落傘。

3.2.2 確保運(yùn)動員的絕對安全必須知道最晚開傘時間

在3.1.1中通過對運(yùn)動過程分析可以得到在降落傘最終得到穩(wěn)定速度時的狀態(tài);然而，在實(shí)際跳傘運(yùn)動中會經(jīng)常出現(xiàn)不能最終以收尾速度著地的情況發(fā)生，而且在實(shí)際生活中有很多情況下為了在規(guī)定區(qū)域著地，必須縮短降落時間。因此當(dāng)確定收尾速度小于8m/s之后，仍需通過高度來確定開傘時間，以使運(yùn)動員的著地速度小于安全速度。

但是在實(shí)際情況中，我們需要知道至少提前多少打開傘，才能讓運(yùn)動員在未達(dá)到收尾速度時，其真實(shí)的降落速度小于安全速度。由上文，打開降落傘的時間為tg，如果得到運(yùn)動員速度達(dá)到安全速度的時間，就能夠求出運(yùn)動員至少提前多長時間撐傘，也就是撐傘的時間。

根據(jù)對模型的分析，要想對最佳的開傘時間進(jìn)行確定，則需要確定跳傘的高度或者跳傘的總時間的相關(guān)不等式。通過分析模型以及對公式的分析，如果通過高度來確定最佳開傘時間則需要求解開傘后運(yùn)動員運(yùn)動的高度。由運(yùn)動學(xué)知識可知，運(yùn)動員下降的高度是運(yùn)動員速度對時間的積分，則下降的距離s與時間的關(guān)系表達(dá)式如下：

h=?? 1 2 gt2 mg ks t+ gtg- mg ks? × - m ks? e- ks m （t-tg）+（ 1 2 gtg2- m2g k2s2 ）???? ttg?? （11）

由以上下落高度與時間的關(guān)系，當(dāng)跳傘高度為H，開傘時間為tg時，可令s=H，則通過求解表達(dá)式可得時間t，通過將開傘時間tg和落地時間t代入速度公式，則可得到運(yùn)動員落地的速度為：

v= mg ks + gtg- mg ks? ×e- ks m （t-tg） （12）

通過求解上式可以得到運(yùn)動員到達(dá)地面時的速度，通過對比安全速度可判斷該速度是否能夠保證運(yùn)動員的安全。通過對模型進(jìn)行分析可知，在高度一定的情況下越早打開降落傘則落地的速度會越小，因此當(dāng)計算的落地速度大于安全落地速度時，可以通過提前開傘來降低落地速度的大小。當(dāng)然如果可以對傘的大小進(jìn)行選擇的話，也可以加大傘面的面積來減小落地速度。

3.2.3 風(fēng)速對落地范圍的影響與開傘時間的關(guān)系

在實(shí)際生活中，通常對運(yùn)送物資的落地范圍有嚴(yán)格的要求。通過本文模型，可以通過公式（11）求解的時間t，再根據(jù)跳傘時的風(fēng)速可由如下公式求出跳傘運(yùn)動員的水平位移：

d=v風(fēng)×t （13）

結(jié)合3.2.2中的數(shù)學(xué)模型，分析跳傘過程中，H、tg、v風(fēng)的改變對跳傘運(yùn)動的影響，在該分析過程中，取3.2.1中m=50kg的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，計算結(jié)果如表2所示。

通過以上分析可以得出如下結(jié)論：

（1）當(dāng)起跳高度，開傘時間，水平風(fēng)速一定時，傘面積越大，落地時間越長，落地速度越小，水平位移越大。

（2）當(dāng)起跳高度，開傘時間，傘面積一定時，水平風(fēng)速越大，水平位移越大。

（3）當(dāng)起跳高度，傘面積，水平風(fēng)速一定時，開傘時間越靠后，落地時間越短，落地速度越大，水平位移越小。

（4）當(dāng)開傘時間，傘面積，水平風(fēng)速一定時，起跳高度越高，落地時間越長，落地速度越大，水平位移越大。

以此可以直觀地得出起跳高度，開傘時間，水平風(fēng)速，傘面積的相應(yīng)變化關(guān)系，從而供相關(guān)人員參考。

4 總結(jié)

在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數(shù)學(xué)發(fā)揮著不可替代的作用，也是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具。本文通過建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，對跳傘運(yùn)動進(jìn)行研究，通過公式推導(dǎo)及數(shù)據(jù)分析，對降落傘受力面積與開傘時間的關(guān)系，風(fēng)速對落地范圍的影響與開傘時間的關(guān)系，落地安全速度對開傘時間的影響及對最佳起跳高度的研究，基本確定了跳傘運(yùn)動過程中開傘的最佳時間，可供運(yùn)動員及跳傘運(yùn)動愛好者參考。同時，在跳傘運(yùn)動過程中，由于空氣在不同水平層的密度不同，不同水平層的風(fēng)速也有很大變化，這些影響因素在本文的研究中并未提出，因此模型還有一些缺陷與不足，這也是數(shù)學(xué)建模的局限。

本文所求得的開傘最佳時間可以運(yùn)用在遇險物資投放上，通過程序設(shè)定最佳開傘時間來控制物資投放的地點(diǎn)與速度?？梢愿影踩秶泳珳?zhǔn)。

參考文獻(xiàn)

[1] 權(quán)啟禮.中國跳傘運(yùn)動史[M].武漢：武漢出版社，1990.

[2]劉陽，陳波，楊陽.空降場的定量分析與研究[J].信息工程大學(xué)學(xué)報，2006，7（1）：99-102.

[3]王秀增，侯其昌，曹步平，等.傘兵傘開傘過載生理允許值的研究[J].航空軍醫(yī)，1996，（4）：195-197.

[4]劉鐵漢，馮文樹，何楊舉，等.一個估算跳傘著陸沖擊力的數(shù)學(xué)模型[J].中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報，1988，（1）.

[5]馮曉曄.跳傘運(yùn)動中空中航線的探討[J].四川體育科學(xué)，2012，（4）：73-76.

[6]楊吉，佟守愚，呂玉姝.跳傘投放指揮與降落軌跡模擬系統(tǒng)[J].指揮控制與仿真，2014，（3）：116-119.