邏輯——彰顯數(shù)學(xué)思維的本源

胡燕峰

數(shù)學(xué)是科學(xué)的基礎(chǔ)，是邏輯的延伸。隨著時間的推移，19世紀(jì)中期以來，邏輯更是高頻地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)的研究序列中。現(xiàn)在的人們在日常辯論中，也會自覺或不自覺地用到邏輯，邏輯已經(jīng)著筆揮就了數(shù)學(xué)思維的底色。從本源上看，數(shù)學(xué)就是一些符合邏輯原則的體系，就是做一系列假定，然后用邏輯工具推導(dǎo)出一系列結(jié)論的理論體系?！督虒W(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》2019年第3期中的諸多文章體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯味，從數(shù)學(xué)思維的底層推進(jìn)，著力于分析數(shù)學(xué)思維在邏輯層面上的存在和理念更新，彰顯了數(shù)學(xué)思維的本源。

一、突破形式邏輯，彰顯“思辨的奇妙”

邏輯是一門講述思維形式的學(xué)問，在知識爆炸的時代，頭腦風(fēng)暴愈演愈烈，想要更好地生存，不僅需要勤奮，還必須擁有智點，甚至還要打破常規(guī)。隨著人才競爭的日趨激烈和高智能化，越來越多的人認(rèn)識到僅擁有知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因為知識本身并不能告訴我們遇到問題該如何解決，如何創(chuàng)新，這一切還是要依靠人類的智慧。那些在社會上有所成就的人無一不具有卓越的思維能力，尤其是在邏輯拓展上往往超出常人。

郜舒竹教授的開篇一文《數(shù)學(xué)中的“異想天開”》指出，“異想”指的是求異的思維方式，與求同的思維方式相對，它符合基于辯證邏輯的辯證思維規(guī)律，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生應(yīng)當(dāng)不斷經(jīng)歷和培養(yǎng)的內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一。

郜教授還列舉了數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中存在運用異想發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的案例。比如帕斯卡與費爾瑪對賭注分配問題的研究，《孫子算經(jīng)》和《算法統(tǒng)宗》中對雞兔同籠問題的研究，尤其是對“倍頭法”“半足術(shù)”的剖析格外精彩！郜教授指出，半足術(shù)和倍頭法都違背了通常形式邏輯的思維規(guī)律，具有與眾不同、不同尋常的異想特征。這樣的異想不能被認(rèn)為是錯誤的思維，而應(yīng)當(dāng)看作是對通常邏輯思維的拓展與提升，是我國歷史文化中人們智慧的體現(xiàn)，這也恰恰說明基于形式邏輯的思維方式是有局限性的。

突破形式邏輯的局限是對通常的邏輯思維的拓展與提升，因此教師的教學(xué)需要遵循辯證邏輯為基礎(chǔ)的辯證思維，以辯證唯物主義普遍聯(lián)系和運動變化的觀念為基礎(chǔ)遵循對立統(tǒng)一的思維規(guī)律。但是，任何事物的存在，一定伴隨著對立一方的存在，同樣對立的雙方相互排斥，同時也互為條件、互為因果。對立的雙方在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。所以在教學(xué)過程中，特別是在思維解釋過程中，應(yīng)該注意到“是”與“非”并非處于截然分離的狀態(tài)，完全可以允許學(xué)生在邏輯中設(shè)立中間地帶或過渡區(qū)，即思維對象可能同真、共存和相互轉(zhuǎn)化。

例如，按照形式邏輯的思維方式，就會在思維中產(chǎn)生“平角不是角”的意識。而用辯證思維的眼光看，直觀上的“非角”可以與思維中的“是角”并存，用運動與變化的眼光把直線看作是小于180度的角與大于180度的角相互轉(zhuǎn)化需要經(jīng)過的一個瞬間，這樣就實現(xiàn)了“非角”與“是角”的相容和統(tǒng)一。超越邏輯的無矛盾律以多視角的辯證思維虛擬出未發(fā)生事件的各種可能性，用運動與變化的眼光看待事物，這樣的思維符合辯證唯物主義。所以我們應(yīng)該倡導(dǎo)“變教為學(xué)”，將課堂還給學(xué)生，提供學(xué)生思維活動的游樂場，讓學(xué)生玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)思維，在邏輯場里不受約束地探究無限可能。

二、重構(gòu)學(xué)科邏輯，彰顯“結(jié)構(gòu)的魅力”

本期話題“如何進(jìn)行單元整體設(shè)計”推出了6篇文章，是由浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師（正高級）邵漢民領(lǐng)銜的團(tuán)隊傾心呈現(xiàn)——單元整組教學(xué)交流“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。團(tuán)隊對此進(jìn)行了長期的研究，并積累了豐碩的成果。

導(dǎo)讀由邵漢民和趙麗麗兩位老師雙向展開，層層推進(jìn)，精彩紛呈。首先趙麗麗老師從《整體理念觀照下的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元復(fù)習(xí)教學(xué)實踐》一文談起，分享了一線教學(xué)最新的教學(xué)感悟：1.要從計算方法上進(jìn)行整體回顧，也要從數(shù)量關(guān)系上進(jìn)行抽象概括;2.可以結(jié)合計算總結(jié)積的變化規(guī)律;3.可以結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行函數(shù)思想的滲透。趙老師認(rèn)為要將積的變化規(guī)律與函數(shù)思想滲透于兩個板塊之中。一是“三位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算模型的構(gòu)建與練習(xí);二是數(shù)量關(guān)系整體回顧、拓展與應(yīng)用。一線教師可以根據(jù)案例做進(jìn)一步的教學(xué)實踐，相信會有諸多收獲。

邵漢民老師的話題中呈現(xiàn)的關(guān)鍵詞是“認(rèn)知規(guī)律”和“學(xué)科邏輯”，這兩個基點抓住了單元整組教學(xué)的核心要素。我們知道，小學(xué)數(shù)學(xué)教材是由一個個相對獨立的單元構(gòu)成的，同一單元中的新知又是按照一定的邏輯順序編寫的。因此教學(xué)拓展可以從單元整體設(shè)計的角度來審視單元內(nèi)的課時教學(xué)內(nèi)容，并通過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與重組來更好地構(gòu)建起基于學(xué)生認(rèn)識規(guī)律與數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯的單元教學(xué)體系，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)和教師教效率的提升。經(jīng)過邵老師的梳理，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”教材的結(jié)構(gòu)清晰呈現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上，團(tuán)隊又基于學(xué)生的認(rèn)知特點重新架構(gòu)新的教學(xué)思路。邵老師的解讀讓我們感受到數(shù)學(xué)獨特的理性美、結(jié)構(gòu)美，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中起到的重要作用。推薦大家慢慢研讀，并做一線教學(xué)嘗試。

三、基于實證邏輯，彰顯“數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)”

邏輯實證主義認(rèn)為，宇宙的一切都可歸因于邏輯，邏輯是一切的本源，從經(jīng)驗走向?qū)嵶C是當(dāng)前教學(xué)研究的必然趨勢。

葛素兒老師帶來的是《基于數(shù)據(jù)實證的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)精準(zhǔn)化實施》，交流中，葛老師提出自己鮮明的觀點;精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)可以幫助教師找準(zhǔn)核心問題，進(jìn)行精準(zhǔn)教學(xué)。葛老師以“倍的認(rèn)識”教學(xué)為例，提出兩個基于實證的教學(xué)策略：1.從“知識層層分解，構(gòu)建精準(zhǔn)目標(biāo)樹”;2.從“學(xué)習(xí)層層深入，教學(xué)精準(zhǔn)設(shè)計”。這為一線教師在教學(xué)研究時，從數(shù)據(jù)化走向大數(shù)據(jù)化提供了方向。

文章解讀中關(guān)于“目標(biāo)樹”的分析格外精彩：目標(biāo)設(shè)計是教學(xué)設(shè)計的主要環(huán)節(jié)，真實全面的數(shù)據(jù)分析可以讓教師精確把握教學(xué)目標(biāo)，其中最有價值的數(shù)據(jù)來源于學(xué)情實證和教材實證，分別回答“教什么”和“學(xué)生在哪里”這兩個問題。通過邏輯分析，我們找到了基于數(shù)據(jù)實證本源，即“學(xué)情”和“教材”，它指向的是我們教學(xué)的本質(zhì)，即回答了“教什么”和“學(xué)生在哪里”。

顯然，這樣的思考含金量很高，指向的是邏輯在哲學(xué)方向的思考。我們知道雖然邏輯形式和規(guī)律有限，不可能適用于無限的思維實踐，但在對它們的反復(fù)使用中，卻能夠加強人們對邏輯思維一般原理的理解和領(lǐng)悟，從而具備更明確、更周密、更有序的高層次思維。在實證研究的道路上，需要邏輯的支撐，雖然現(xiàn)代邏輯已逐漸滲透數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但對于距離時代召喚的一般思維邏輯還有一段差距，我們都需要努力！

四、厘清數(shù)理邏輯，彰顯“推敲的錨點”

本期導(dǎo)讀活動特邀了“數(shù)說九章”欄目的章勤瓊博士在線交流，雖然章博士沒有做PPT，但是他的語言表達(dá)邏輯清晰，層層遞進(jìn)，絲絲入扣，讓我們聽得特別清楚明白，深深地感受到數(shù)學(xué)表達(dá)的理性美。

“28÷12=280÷120嗎”這個話題源于網(wǎng)絡(luò)上的一次討論。主要有三個觀點：1.認(rèn)為此題應(yīng)該是相等的，因為“被除數(shù)和除數(shù)同時乘或者除以一個數(shù)，商是不變的”;2.“雖然商不變，但是余數(shù)會變化。這道題應(yīng)該是小于，原因是如果把兩邊的式子計算出來，商相同，但余數(shù)并不相等。因為28÷12=2……4，而280÷120=2……40，商 2 和2 是一樣的，而余數(shù)40比4要大，所以280÷120更大一些”。理由是“商相同時應(yīng)該比余數(shù)”。3. 有人對這個題目本身提出了疑問，“這道題目是要比較余數(shù)的大小還是比較結(jié)果的大??？如果是比較余數(shù)的大小，應(yīng)該是小于，如果是比較結(jié)果的大小，應(yīng)該是等于”。章博士通過兩個維度進(jìn)行了深入解讀：1.“除法”與“有余數(shù)除法”的關(guān)系;2.商的變化規(guī)律。章博士還提出了相應(yīng)的教學(xué)建議：“在學(xué)生初次接觸余數(shù)時，應(yīng)強調(diào)余數(shù)與除數(shù)的相應(yīng)關(guān)系;在運算教學(xué)中，應(yīng)重視對等式性質(zhì)與運算法則的理解?！?/p>

“商的變化規(guī)律的理解與掌握是運算法則的一部分”這從數(shù)理的角度厘清了“28÷12=280÷120”的教學(xué)價值取向。邏輯的魅力在章博士的文章和交流中呈現(xiàn)得無比絢麗多彩，這也提醒我們一線的教師，在分析解決一些有爭議的數(shù)學(xué)問題時，不妨從數(shù)理邏輯的角度多思考一些，這樣就會抓住問題的核心及教學(xué)的價值取向，或許收獲會異常精彩！

如果把思維看成一個圓形，那么邏輯就是一個方塊。邏輯與思維的關(guān)系就像在方塊中取圓形，永遠(yuǎn)無法占據(jù)整個方塊。邏輯中的思維也是如此，永遠(yuǎn)窮盡一般思維的方塊，因此它可以完美地彰顯思維的本源。方圓之間，如何發(fā)揮邏輯在數(shù)學(xué)思維中的巨大作用？我們?nèi)沃囟肋h(yuǎn)！

（浙江省桐鄉(xiāng)市教師進(jìn)修學(xué)校 ? 314500）