基于改進(jìn)的FCM聚類算法對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)的優(yōu)化和建模*

趙家黎，吳麗媛，黃利康，胡赤兵

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050)

0 引言

在機(jī)床工作狀態(tài)下，機(jī)床的各零部件產(chǎn)生的摩擦熱、切削熱以及外部熱源引起的熱變形，從而降低了機(jī)床的加工精度[1]。大量的研究表明，在機(jī)床加工過程中，機(jī)床熱誤差影響非常嚴(yán)重，60%～70%的機(jī)床誤差是由熱誤差造成的，因此解決熱誤差是當(dāng)務(wù)之急[2]。而主軸是機(jī)床的核心部件，在機(jī)床加工零件時(shí)，熱誤差主要來源于電機(jī)及主軸前、后軸承等部位發(fā)熱，從而使主軸在X、Y、Z方向發(fā)生了熱變形或?qū)嶋H零件加工點(diǎn)的偏移。因此，控制并減少機(jī)床各部件的熱誤差是機(jī)床加工精度提高的必要前提。針對(duì)主軸熱誤差問題，國內(nèi)外學(xué)者從以下三方面進(jìn)行展開研究：①對(duì)主軸箱內(nèi)部機(jī)械結(jié)構(gòu)和傳動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化或取消，從而減少 各零部件之間產(chǎn)生的熱源，提高了機(jī)床的加工精度[3-4]; ②在實(shí)際加工測(cè)量中，將主軸測(cè)量的變形量反饋給控制系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)在線修正誤差[5]; ③通過對(duì)主軸各方向產(chǎn)生的熱變形機(jī)理分析的基礎(chǔ)上，建立溫度與熱變形量關(guān)系模型，從而對(duì)加工誤差實(shí)施靜態(tài)或動(dòng)態(tài)補(bǔ)償[6]。綜上，可以通過控制溫度的方法實(shí)現(xiàn)誤差的控制，具有一定的局限性。因此，運(yùn)用第三種建模方法實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償是目前廣泛使用的。

許多學(xué)者對(duì)主軸熱誤差進(jìn)行了大量的研究，也提出了很多值得探討的方面。隨著機(jī)床外部溫度、機(jī)床的主軸轉(zhuǎn)速、各進(jìn)給軸進(jìn)給轉(zhuǎn)速以及機(jī)床的負(fù)載變化使得預(yù)測(cè)模型補(bǔ)償精度不能得到很好的體現(xiàn)。而且在機(jī)床切削過程中，更能接近機(jī)床運(yùn)行的真實(shí)狀態(tài)，對(duì)溫度傳感器位置的布置和對(duì)測(cè)得溫度數(shù)據(jù)的優(yōu)選方面，值得進(jìn)一步探究，找出機(jī)床主軸引起熱誤差主要原因，對(duì)所測(cè)得數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選使其更好表達(dá)機(jī)床的真實(shí)溫度變化并且準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)機(jī)床熱誤差模型?；谝陨蠁栴}，該論文以教學(xué)型復(fù)合機(jī)床主軸主題，提出基于改進(jìn)模糊C均值聚類(Improved Fuzzy C-means, IFCM)算法，對(duì)機(jī)床測(cè)量的溫度值進(jìn)行分組和篩選，選出每組最優(yōu)的溫度值進(jìn)行迭代，采用多元線性回歸理論建立機(jī)床主軸熱誤差預(yù)測(cè)模型，使用機(jī)床主軸熱誤差實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)多元線性回歸熱誤差模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1 熱誤差溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化

針對(duì)溫度傳感器的布置和測(cè)量的溫度數(shù)據(jù)的提取這一問題，提出了改進(jìn)模糊C均值聚類算法的研究，分析溫度點(diǎn)的變化與熱誤差之間的關(guān)系。

1.1 傳統(tǒng)的FCM聚類算法

FCM算法是用隸屬度確定每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于某個(gè)聚類程度的聚類算法[7]。

y={y1，y2，…,yn}為溫度點(diǎn)的集合，n為測(cè)量溫度的溫度傳感器個(gè)數(shù)。將樣本y劃分為c類溫度小組，計(jì)算每組的溫度聚類中心ci，F(xiàn)CM目標(biāo)函數(shù)[8]定義為：

(1)

(2)

式中，vij是i×j的模糊劃分矩陣，且表示第j個(gè)溫度點(diǎn)樣本yj屬于第i類溫度隸屬值；eij=ci-dj表示ci溫度點(diǎn)到dj溫度點(diǎn)的歐氏距離；m>1表示加權(quán)指數(shù)。

對(duì)公式(1)進(jìn)行最小二乘法得到的表達(dá)式為：

(3)

式中，λj表示拉格朗日乘子，對(duì)輸入?yún)?shù)進(jìn)行求導(dǎo)，則公式(1)取得最小值的條件如下所示：

(4)

(5)

對(duì)公式(4)和公式(5)不斷進(jìn)行迭代，直到滿足：

(6)

其中，ε表示收斂精度，h表示迭代次數(shù)。FCM算法的步驟：

①隸屬矩陣V滿足公式(2)的條件。

②利用公式(4)計(jì)算c個(gè)聚類中心ci。

③利用公式(1)求解目標(biāo)函數(shù)，如果所得值差于上次目標(biāo)函數(shù)值，則聚類算法停止。

④利用公式(5)求解新的矩陣V。

1.2 改進(jìn)的FCM聚類算法

由于FCM聚類算法對(duì)初始聚類中心比較敏感，所以容易得出局部最優(yōu)解[9]。FCM聚類算法采用經(jīng)驗(yàn)劃分的方法，所以劃分方法本身就存在缺陷，對(duì)測(cè)量的溫度點(diǎn)的實(shí)際分布情況不能正確的劃分，得到的初始聚類中心也是有一定的差距，針對(duì)歐式距離的缺點(diǎn)進(jìn)一步改進(jìn)，然后采用一種度量因子的方法選取初始聚類中心，改進(jìn)了傳統(tǒng)的FCM聚類算法中的初始聚類中心的缺陷。

1.2.1 對(duì)歐氏距離的改進(jìn)

由于歐式距離沒有考慮到兩個(gè)溫度點(diǎn)在各分量的分布，所以采用標(biāo)準(zhǔn)化歐氏距離對(duì)歐氏距離改進(jìn)，其思路是在整個(gè)溫度數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)各維分量的分布不一樣，先對(duì)各個(gè)分量都標(biāo)準(zhǔn)化到均值、方差等，從而得到均值分布或方差分布。假設(shè)樣本集y的均值為m，標(biāo)準(zhǔn)差為s，y的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)量表示為：

(7)

則標(biāo)準(zhǔn)化歐氏距離公式為：

(8)

將式(8)代入式(1)進(jìn)行迭代，再根據(jù)FCM聚類算法步驟進(jìn)行迭代得出隸屬度矩陣。但歐氏距離改進(jìn)不能使初始聚類中心正確選擇。下面使用度量因子的方法對(duì)初始聚類中心進(jìn)行確定。

1.2.2 度量因子的確定

對(duì)傳統(tǒng)的FCM聚類算法隨機(jī)選取初始聚類中心的方法，提出了使用度量因子選取聚類中心。定義一個(gè)聚類中心近似度量為Q，表示第i個(gè)溫度點(diǎn)yi到任意溫度點(diǎn)的距離，表示為：

(9)

其中，φ為一個(gè)常數(shù)。

改進(jìn)FCM聚類算法的步驟為：

(2)計(jì)算每個(gè)溫度點(diǎn)與該點(diǎn)聚類中心的隸屬度值，根據(jù)隸屬度值，將點(diǎn)C1*和與C1*具有很高隸屬度值的樣本從下一次迭代中移除，防止產(chǎn)生偽聚類中心；

2 多元線性回歸模型

2.1 理論建模方法

利用多元線性回歸理論建模，是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法建立多個(gè)輸入、單個(gè)輸出的關(guān)系模型[11]，該理論針對(duì)加工機(jī)床熱變形的具體情況，通過實(shí)驗(yàn)、計(jì)算得到一組表達(dá)多個(gè)測(cè)量點(diǎn)溫升輸入、單個(gè)方向上位移變化輸出的線性關(guān)系。由于教學(xué)型復(fù)合機(jī)床的主軸熱變形在X、Y、Z三個(gè)方向上，因此在三個(gè)方向上分別獨(dú)立的求出一組關(guān)系式，且滿足線性關(guān)系。

假設(shè)模型中隨機(jī)變量y與n個(gè)自變量x1,x2,…,xn之間存在某種內(nèi)在聯(lián)系。隨機(jī)變量y與相關(guān)的自變量x1,x2,…,xn之間存在某種線性模型，其表達(dá)式[12]如下所示:

y=f(x1,x2,...,xn)+ε

(10)

式中，f表示約束函數(shù)，ε表示隨機(jī)誤差。

若公式(10)中回歸函數(shù)是線性關(guān)系時(shí)，并且(yt;xt1xt2,…,xtn),t=1,2,…,n是因變量和自變量m組樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，則有如下所示：

(11)

由公式(10)轉(zhuǎn)換為多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型：

Y=AX+ε

(12)

其矩陣形式為：

(13)

其中，Y為因變量向量，X為自變量向量，A為系數(shù)矩陣，ε為隨機(jī)向量。從正態(tài)分布的定義可知，ε1,ε2,...εn是相互獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布N=(0,σ2)。

設(shè)α0,α1...αn的最小二乘估計(jì)值分別是μ0,μ1,...,μn，則多元線性回歸方程表示為：

y=μ0+μ1x1+...+μnxn

(14)

由數(shù)學(xué)分析中的極小值原理得到：

(15)

將因變量y和自變量x的m組樣本值代入式(15)，即可求得回歸參數(shù)μ0,μ1,...,μn代入式(11)，便可得到因變量與自變量之間的多元線性回歸方程。

2.2 熱誤差模型的建立

由于教學(xué)型復(fù)合機(jī)床在運(yùn)行時(shí)它的溫度場是隨著時(shí)間的變化而連續(xù)變化的。為了測(cè)量機(jī)床主軸X、Y、Z方向的熱誤差，必須通過溫度傳感器測(cè)量機(jī)床主軸各個(gè)部位得到相對(duì)應(yīng)的溫度值T1,T2,…,Tn。利用改進(jìn)的FCM聚類算法篩選出最優(yōu)的溫度點(diǎn)進(jìn)行建模。對(duì)篩選出的關(guān)鍵溫度點(diǎn)進(jìn)行多元線性擬合，從而得出熱變形和溫度的關(guān)系表達(dá)式[13]如下所示:

(16)

其中，α0i,αij分別表示各個(gè)測(cè)量溫度點(diǎn)誤差相關(guān)系數(shù)，i=1,2,…,n表示測(cè)量的溫度點(diǎn)數(shù)量，j=1,2,…,k表示測(cè)量溫度的次數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

本文是以多元線性回歸理論預(yù)測(cè)模型應(yīng)用于教學(xué)型復(fù)合加工機(jī)床主軸熱誤差進(jìn)行測(cè)量試驗(yàn)，采用改進(jìn)的模糊C均值聚類方法，通過溫度傳感器的測(cè)量，選擇溫度敏感點(diǎn)，從機(jī)床上布置的 15 個(gè)溫度傳感器中，具體測(cè)點(diǎn)分布為：主軸電機(jī)支架(1)，主軸前端(2，7)，主軸后端(3，8)，主軸箱(4，9，10，11)，立柱(5，12，13，14)，機(jī)床床身(6，15)。經(jīng)過篩選后確定了4、7、8、5號(hào)共4個(gè)測(cè)點(diǎn)，用這4個(gè)測(cè)點(diǎn)的所得到的溫度值作為建模的輸入?yún)?shù)，進(jìn)行多元線性擬合，得到的誤差預(yù)測(cè)曲線與實(shí)驗(yàn)的測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比。見圖1、表1及圖2所示。

圖1 機(jī)床溫度傳感器整體分布圖

傳感器編號(hào)傳感器位置作用 4主軸箱測(cè)量主軸箱熱變形7主軸前端測(cè)量主軸溫度8主軸后端測(cè)量主軸溫度5主軸電機(jī)測(cè)量電機(jī)發(fā)熱

圖2 復(fù)合機(jī)床熱誤差建模流程

在溫度測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，為了分辨機(jī)床主軸的熱特性，使機(jī)床主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)更能體現(xiàn)出機(jī)床實(shí)際加工工件的狀態(tài)，從而測(cè)量出主軸溫度變化規(guī)律。因此，選擇不同的主軸轉(zhuǎn)速測(cè)量溫度的變化，得出接近真實(shí)的溫度數(shù)據(jù)，為后續(xù)的補(bǔ)償提供有效的數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)方案：機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速在600r/min,運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間為60min，然后選擇主軸轉(zhuǎn)速為1200r/min，運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間為60min，每隔10min測(cè)量一次溫度值。對(duì)機(jī)床主軸的X、Y、Z方向各測(cè)量2h，所得到的溫度數(shù)據(jù)可以看出，機(jī)床主軸X方向的熱變形量符合使用要求的范圍且在±0.015mm以內(nèi)，因此無須進(jìn)一步分析。本文只對(duì)主軸Y方向和Z方向受溫度影響進(jìn)行分析，運(yùn)用多元線性回歸模型進(jìn)行線性擬合。主軸Y方向和Z方向熱誤差如圖3及圖4所示。

圖3 主軸Y方向熱誤差

圖4 主軸Z方向熱誤差

根據(jù)圖3、圖4分析可知：對(duì)復(fù)合機(jī)床主軸熱誤差補(bǔ)償前，主軸Y方向受溫度影響產(chǎn)生的最大誤差為49.0134μm，主軸Z方向受溫度影響產(chǎn)生的最大誤差為35.96328μm；對(duì)復(fù)合機(jī)床主軸熱誤差進(jìn)行補(bǔ)償后，主軸Y方向受溫度影響產(chǎn)生的最大誤差為4.18778μm，主軸Z方向受溫度影響產(chǎn)生的最大誤差為5.31307μm，誤差在5.4μm以內(nèi)。因此，運(yùn)用多元線性回歸預(yù)測(cè)模型對(duì)主軸的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比分析，可得到較小誤差，使得復(fù)合機(jī)床主軸運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的誤差通過補(bǔ)償后得到了明顯的提高，從而提高機(jī)床精度。

4 結(jié)束語

在測(cè)量機(jī)床熱誤差的實(shí)驗(yàn)過程中，得到的溫度數(shù)據(jù)通過使用改進(jìn)的模糊 C 均值聚類法對(duì)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，選擇出每組最優(yōu)溫度測(cè)量數(shù)據(jù)，使溫度測(cè)量數(shù)據(jù)大幅度減少，從而降低了建模的運(yùn)算量。采用多元線性回歸理論，有利于提高溫度傳感器布置的魯棒性。依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可知，主軸以不同轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，得到的多元線性回歸模型有效的驗(yàn)證了預(yù)測(cè)的可行性，從而提高熱誤差的預(yù)測(cè)精度，可作為數(shù)控機(jī)床熱特性的評(píng)估參照。