彎曲時(shí)空中轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)自旋流的影響*

呂騰博 張沛 武瑞濤 王小力?

1)(西安交通大學(xué)理學(xué)院,陜西省量子信息與光電量子器件重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

2)(陜西理工大學(xué)物理與電信工程學(xué)院物理系,漢中 723001)

1 引 言

近幾年來(lái),自旋電子學(xué)和自旋軌道相互作用的研究受到廣泛關(guān)注,因?yàn)樗请娮幼孕?、自旋霍爾效?yīng)或自旋電子器件的理論基礎(chǔ)[1-35].自旋電子學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)跨基礎(chǔ)科學(xué)、材料科學(xué)與工業(yè)生產(chǎn)的重要領(lǐng)域.自旋霍爾效應(yīng)是由Dyakonov和Perel[9,10]在1971年預(yù)言的.根據(jù)他們的研究理論預(yù)測(cè),自旋電子學(xué)的應(yīng)用已取得了相當(dāng)大的進(jìn)步,已經(jīng)在半導(dǎo)體和金屬中實(shí)驗(yàn)觀察到了這種效應(yīng)[30-32].在該研究領(lǐng)域,人們研究了自旋霍爾效應(yīng)以及它在新型二維材料和光場(chǎng)中的行為[11,25].人們還研究了電子自旋的量子傳輸特性及其在技術(shù)中的應(yīng)用[33-35].一般來(lái)說(shuō),自旋流是不守恒的,由于它是非保守量,因此產(chǎn)生和控制自旋電流是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù).自旋霍爾效應(yīng)是由于電子自旋而引起的異?；魻栃?yīng)的一種形式,當(dāng)存在外加電場(chǎng)時(shí),自旋方向不同的電子由于各自形成的磁場(chǎng)方向相反,會(huì)各自向相反的兩邊堆積.也就是說(shuō),沒(méi)有外磁場(chǎng)時(shí)也能產(chǎn)生一個(gè)與外加電場(chǎng)垂直的自旋向上的電子流和自旋向下的電子流,二者構(gòu)成一個(gè)自旋磁矩的流動(dòng),但是并沒(méi)有凈的電荷流動(dòng),稱(chēng)之為自旋流.與經(jīng)典霍爾效應(yīng)相似,在自旋霍爾效應(yīng)中樣品兩側(cè)也會(huì)出現(xiàn)自旋的累積,相關(guān)的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)給出了理論預(yù)測(cè)的現(xiàn)象[1,12-14].不僅如此,自旋軌道相互作用使人們開(kāi)辟了操縱非磁性材料中的電子自旋的可能性[3],由此引起了理論和實(shí)驗(yàn)研究者的廣泛興趣.Matsuo等討論了晶體中電子的角動(dòng)量和機(jī)械角動(dòng)量之間的角動(dòng)量轉(zhuǎn)換[15,20],并討論了在加速系統(tǒng)中和有雜質(zhì)散射存在時(shí)的機(jī)械操作對(duì)自旋電流的影響[22-24].Kobayashi等[25]討論了利用表面聲波注入產(chǎn)生自旋電流.文獻(xiàn)[28]首次通過(guò)推廣的Drude模型研究了非對(duì)易空間上的自旋霍爾效應(yīng),并且發(fā)現(xiàn)在非對(duì)易空間中,樣品邊緣會(huì)發(fā)生自旋態(tài)的變形累積,自旋霍爾電導(dǎo)率在不同的方向上會(huì)取不同的值,主要取決于非對(duì)易參數(shù).文獻(xiàn)[29]討論了宇宙弦時(shí)空中旋轉(zhuǎn)框架的非慣性效應(yīng)對(duì)狄拉克振子的影響,并證明了非慣性效應(yīng)和宇宙弦時(shí)空中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)限制了粒子運(yùn)動(dòng)的區(qū)域.文獻(xiàn)[8]討論了加速系下慣性效應(yīng)對(duì)狄拉克電子、自旋霍爾效應(yīng)和動(dòng)量空間Berry曲率的影響.這些工作都為帶電旋量粒子的電磁動(dòng)力學(xué)理論做出了貢獻(xiàn).不僅如此,光子的自旋軌道相互作用和霍爾效應(yīng)也成為了近期研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.文獻(xiàn)[36]詳細(xì)介紹了光的自旋霍爾效應(yīng)的研究進(jìn)展,光的自旋霍爾效應(yīng)為我們展現(xiàn)了探索納米結(jié)構(gòu)物理性質(zhì)的獨(dú)特魅力,為控制光子自旋態(tài)和開(kāi)發(fā)新型光子霍爾元件提供了捷徑,而且實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了光子自旋霍爾效應(yīng)用于量子測(cè)量等[37-43].

本文的重點(diǎn)在于給出了非平庸幾何可以改變自旋和軌道之間相互作用的結(jié)論,能夠?qū)澢鷷r(shí)空旋量粒子電磁動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究提供一定的理論支持,同時(shí)也可以對(duì)晶體中缺陷問(wèn)題的研究提供重要的理論幫助.本文利用推廣的Drude模型,研究了宇宙弦時(shí)空中在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系下非慣性效應(yīng)對(duì)自旋流的影響.本文的內(nèi)容安排如下：第2節(jié)回顧了彎曲時(shí)空中的自旋動(dòng)力學(xué);第3節(jié)討論了彎曲時(shí)空中轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)自旋電流和自旋霍爾電導(dǎo)率的影響,通過(guò)計(jì)算表明,在彎曲時(shí)空中由于轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)而導(dǎo)致偏振矢量的變形,自旋流的大小和方向都會(huì)因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生改變,因而自旋霍爾電導(dǎo)率也會(huì)隨之得到修正;第4節(jié)給出結(jié)論.

2 彎曲時(shí)空的自旋動(dòng)力學(xué)

本文回顧了彎曲時(shí)空中自旋為1/2的粒子在電磁場(chǎng)中的電磁動(dòng)力學(xué).在這種情況下,狄拉克方程擴(kuò)展為如下一般的協(xié)變形式：

其中q為電荷;m為質(zhì)量;c為光速;pμ為四維形式的動(dòng)量;Aμ為電磁場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)電勢(shì);Γμ(x)為旋量聯(lián)絡(luò);(x)為彎曲時(shí)空中坐標(biāo)依賴(lài)克利福德代數(shù)的元素,并且滿(mǎn)足這里gμν(x)是 存在拓?fù)淙毕輹r(shí)的時(shí)空度規(guī),指標(biāo)μ,ν表示時(shí)空指數(shù).一般時(shí)空的線元由下式給出：

度規(guī)也可以寫(xiě)成如下形式：

這里?μ=?μ+Γμ是由時(shí)空背景幾何決定的協(xié)變導(dǎo)數(shù);ωμab(x)有 如下關(guān)系：ωab(x)=ωμab(x)dxμ.根據(jù)(1)式,可以得到狄拉克哈密頓函數(shù),

其中β=γ0,αi=γ0γi,π=p-qA/c是物質(zhì)粒子的機(jī)械動(dòng)量.為了方便計(jì)算,本文引入旋轉(zhuǎn)矩陣?,

此外,(5)式中的二階項(xiàng)α·?·π已被忽略.與普通狄拉克哈密頓算子相比,還有三個(gè)附加項(xiàng).Γ0可看作電勢(shì),但在本文中Γ0=0,對(duì)本文研究不產(chǎn)生影響.α·Γ直接來(lái)自類(lèi)似最小相互作用的自旋聯(lián)絡(luò),并且表現(xiàn)得像一個(gè)隱藏動(dòng)量,它可以產(chǎn)生一個(gè)幾何相位.cα·?·π是由時(shí)空幾何結(jié)構(gòu)引起,由gμν(x)決 定.從這個(gè)意義上說(shuō),它代表了對(duì)α和 π之間普通內(nèi)積的修正.

根據(jù)文獻(xiàn)[26,27],通過(guò)使用Foldy-Wouthuysen(FW)變換,研究了在存在拓?fù)淙毕莸那闆r下對(duì)旋量動(dòng)力學(xué)的非相對(duì)論方法,

第一個(gè)項(xiàng)和最后一項(xiàng)分別是具有最小耦合類(lèi)型和變形Darwin項(xiàng)修正的運(yùn)動(dòng)學(xué)部分.第二、三項(xiàng)分別描述了塞曼和自旋軌道相互作用,表達(dá)式分別為

其中σ為泡利算符;Bs=(?×Γ)/q和Bm=c[?×(?·π)]/q是直接由旋量Γ產(chǎn)生的有效磁場(chǎng),而?·π是一個(gè)間接表示時(shí)空幾何的項(xiàng);有效電場(chǎng)分別 定 義 為Es=-?Γ0/q和Em=-? ·?V.Hso中的第一項(xiàng)描述了普通的自旋軌道相互作用,并且在參考文獻(xiàn)[16—18]中討論了可以產(chǎn)生非平庸的自旋電流.接下來(lái)的兩項(xiàng)與塞曼耦合HZ中的附加項(xiàng)有關(guān),它們描述了有效的自旋軌道相互作用,預(yù)計(jì)會(huì)產(chǎn)生額外的自旋電流,這些將在以后再進(jìn)行深入討論.本文只討論與自旋軌道相互作用相關(guān)的哈密頓量

其中E′=-(I-?)·?V(r)表示由于時(shí)空的非平凡幾何形狀而引起的總電勢(shì)V(r)的變形.(10)式是彎曲時(shí)空中自旋軌道相互作用的一般形式.

為了討論這種相互作用的動(dòng)力學(xué)結(jié)果,本文假定以一般的海森伯方程為序是正確的.然后,利用海森伯代數(shù)的正則共軛變量r和p,有

(11)式中的第三項(xiàng)是彎曲時(shí)空中電子磁矩與有效電場(chǎng)的叉積.于是有

將(13)和(14)式代入(12)式中,可以得到具有牛頓第二定律形式的變量r的電荷載體動(dòng)力學(xué)方程：

這里一般的洛倫茲力F(q)有一個(gè)修正,它取決于自由度F′(σ).它由兩部分組成：由一般的自旋軌道相互作用產(chǎn)生的F(σ),

由于存在拓?fù)淙毕荻鴮?dǎo)致的Fcs(σ),

這里忽略了與 1 /c4成比例的項(xiàng).更有趣的是,(15)式中總的力相當(dāng)于洛倫茲力

電荷為q粒子受電場(chǎng)E=-?V(r)和磁場(chǎng)的作用,磁場(chǎng)為

其中

由上述分析,哈密頓量可以寫(xiě)成如下形式：

通過(guò)求解(15)式,可以得到自旋電流的普遍表達(dá)式.此方案是利用推廣的Drude模型[16,29],將自旋軌道相互作用納入電荷載體的動(dòng)力學(xué)中.該模型能夠得到獨(dú)立于散射機(jī)制的自旋霍爾電導(dǎo)的通用表達(dá)式,可以清楚地看到拓?fù)淙毕輰?duì)自旋電流和自旋霍爾電導(dǎo)的影響.

3 轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)影響的自旋流和自旋霍爾電導(dǎo)率

先介紹與宇宙弦時(shí)空相對(duì)應(yīng)的廣義相對(duì)論背景.宇宙弦時(shí)空中的線元由下式給出：

參數(shù)η可定義為η=1-4λG/c2,其中λ是宇宙弦的線性質(zhì)量密度.現(xiàn)在做一個(gè)坐標(biāo)變換,T=t,R=ρ,Φ=φ+ωt和Z=z,其中ω是轉(zhuǎn)動(dòng)框架的恒定角速度.由此,(23)式變?yōu)?/p>

注意到(24)式是在范圍為ρ的徑向坐標(biāo)值內(nèi)定義的,其中

(3)式中定義的四元組在這里應(yīng)該為

其中,定義β=ωηρ,a=(t,x,y,z),μ=(t,ρ,φ,z).當(dāng)取極限η→1 中恢復(fù)平滑時(shí)空.由(6)式能夠得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣是

第2節(jié)中回顧了一般彎曲時(shí)空中的自旋動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.通過(guò)(15)式,可以看到方程的通解是一個(gè)與自旋有關(guān)的力.在本節(jié)中求解該方程,并討論它的含義.本文采用與散射機(jī)制無(wú)關(guān)的推廣的Drude模型來(lái)求解這個(gè)方程.值得注意的是總電勢(shì)V(r)是 外部電勢(shì)Ve(r)和 晶格電勢(shì)Vl(r)的總和.而且,速度的弛豫時(shí)間τ由實(shí)驗(yàn)可以給出.本文假設(shè)直到一級(jí)近似,電荷載流子的速度弛豫時(shí)間τ與自旋極化無(wú)關(guān).然后,利用微擾的方法求解方程.(15)式可以寫(xiě)成下面的形式：

其中r0是自旋無(wú)關(guān)部分的解,

r1是自旋和轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)的解.對(duì)于一個(gè)恒定的外電場(chǎng)E=-?Ve(r),可以得到r1的微擾解,

對(duì)于立方晶格,所允許的唯一對(duì)稱(chēng)不變量為

在文獻(xiàn)[16]中,已經(jīng)確定了常數(shù)χ.本文計(jì)算中,(30)式包含了靜電晶體電勢(shì)的體積平均值?i?jVl(r)和 矩陣的導(dǎo)數(shù)?ik.由于觀察到真實(shí)時(shí)空沒(méi)有偏離平滑時(shí)空,忽略了包含?ik導(dǎo)數(shù)部分的貢獻(xiàn),得到

下面僅討論坐標(biāo)架轉(zhuǎn)速很小的情況,即ω→0時(shí),β →0,忽略β的高階項(xiàng),(33)式可近似為

對(duì)于密度矩陣描述的極化電荷載體

其中ρ是電流的電荷總濃度,而λ是電子流體的自旋極化矢量.自旋流可以通過(guò)將速度與密度矩陣進(jìn)行卷積得到,因此有

自旋霍爾電導(dǎo)率由下式給出：

并且變形的偏振矢量為

其中 和 是方向夾角.得到

從以上分析可以看到,由于存在轉(zhuǎn)動(dòng)慣性效應(yīng),不僅使得自旋電流的大小和方向發(fā)生了變化,而且自旋霍爾電導(dǎo)率也得到了修正,同時(shí)偏振矢量也發(fā)生了變形,對(duì)于實(shí)驗(yàn)靈敏度δθ～10-3來(lái)說(shuō),可以在納米尺度系統(tǒng)中研究 1 0-12量級(jí)上的物理效應(yīng).文獻(xiàn)[23,29]中給出了宇宙弦的存在對(duì)自旋霍爾電導(dǎo)率有重要貢獻(xiàn),其數(shù)量級(jí)為λG/c2.與文獻(xiàn)[16]中的普通結(jié)果相比較,由于慣性效應(yīng)使得自旋霍爾電導(dǎo)率有一個(gè)附加項(xiàng),見(jiàn)(37)式,使得自旋霍爾電導(dǎo)率得到了有效修正.

4 結(jié) 論

量子自旋霍爾效應(yīng)的本質(zhì)是自旋軌道相互作用.自旋動(dòng)力學(xué)由Pauli-Schr?dinger哈密頓量給出,從中可得到帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程.Pauli-Schr?dinger哈密頓量利用Foldy-Wouthuysen變換可以得到,該變換給出了自旋為1/2的非相對(duì)論粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的信息.在存在拓?fù)淙毕萸闆r下,可以通過(guò)(7)式看到哈密頓量會(huì)出現(xiàn)一些一般結(jié)論沒(méi)有的附加項(xiàng),包括塞曼耦合與自旋軌道耦合的修正等,這些附加項(xiàng)描述了在平滑時(shí)空中自旋和電磁場(chǎng)的有效相互作用.這些相互作用的結(jié)果是通過(guò)位置算符在量子力學(xué)中的牛頓方程的比喻得到.此外,除了普通的洛倫茲力以外,還存在類(lèi)似洛倫茲力的力,這個(gè)力就是自旋電流和自旋霍爾電導(dǎo)率存在修正的原因.基于推廣的Drude模型,本文將運(yùn)動(dòng)方程通過(guò)微擾方法求解,與普通結(jié)果相比,彎曲時(shí)空中轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)自旋電流和自旋霍爾電導(dǎo)率都產(chǎn)生了影響.由于存在慣性效應(yīng),宇宙弦產(chǎn)生的力會(huì)使得自旋電流的大小和方向都會(huì)發(fā)生改變,見(jiàn)(37)和(41)式,相比參考文獻(xiàn)[16]中的普通結(jié)果,自旋霍爾電導(dǎo)率由于轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生了一個(gè)附加項(xiàng),對(duì)于實(shí)驗(yàn)靈敏度δθ～10-3來(lái)說(shuō),本文可在納米尺度系統(tǒng)中研究 1 0-12量級(jí)上的物理效應(yīng).本文采用的是不依賴(lài)于模型的一般方法,所以該結(jié)果能夠被用于量子霍爾系統(tǒng)中帶電旋量粒子的電磁動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.由于彎曲時(shí)空理論還可以分析晶體中的缺陷問(wèn)題,所以本文結(jié)論也可以提供幫助.本文結(jié)論還可以推廣到光子系統(tǒng)中,考慮到光子的自旋,由于光子的自旋軌道耦合,會(huì)在非均勻介質(zhì)中產(chǎn)生分光現(xiàn)象,就造成了光子的自旋霍爾效應(yīng).本文討論對(duì)于研究光子自旋霍爾效應(yīng)在靜態(tài)引力場(chǎng)中的行為有一定的參考價(jià)值,同時(shí)對(duì)于光子自旋霍爾效應(yīng)的應(yīng)用和利用光學(xué)芯片模擬彎曲時(shí)空、光子操控和精密測(cè)量方面,文獻(xiàn)[37—45]已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上成功實(shí)現(xiàn),希望本文討論能夠給予一定的理論支持.