二維含多孔介質(zhì)周期復(fù)合結(jié)構(gòu)聲傳播分析*

喬厚 何锃 張恒堃 彭偉才 江雯?

1)(華中科技大學(xué)力學(xué)系,結(jié)構(gòu)分析與安全評(píng)定湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430074)

2)(中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心,武漢 430064)

1 引 言

多孔介質(zhì)是一類利用內(nèi)阻尼耗散能量進(jìn)而達(dá)到減振降噪的材料,由于造價(jià)低適用性好,這類材料和彈性體組成的復(fù)合結(jié)構(gòu)在建筑、機(jī)械和航空航天等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.

在含多孔介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu)的建模中,通常利用Biot理論[1]和等效流體模型[1]兩類模型描述彈性波在多孔介質(zhì)中的傳播;但是,當(dāng)考慮多孔介質(zhì)固相骨架彈性特征時(shí),等效流體模型不再適用[1,2],必須采用基于Biot理論的多孔介質(zhì)模型.這類采用Biot理論討論的多孔介質(zhì)夾層復(fù)合結(jié)構(gòu)聲振問(wèn)題,已經(jīng)有很多研究[3-6].利用Allard等[7]和Deresiewicz[8]的簡(jiǎn)化模型,Bolton等[3]采用Biot理論對(duì)二維夾層板結(jié)構(gòu)的隨機(jī)聲傳播損失(STL)進(jìn)行了研究,分析了幾種邊界條件下的結(jié)果;此后,Zhou等[4,9]、Liu等[5,10]以及Talebitooti等[11,12]也利用Biot理論對(duì)此類含多孔介質(zhì)板殼夾層結(jié)構(gòu)問(wèn)題的三維情況進(jìn)行了分析,并討論了外流等因素對(duì)STL的影響.此外,也有利用Biot模型結(jié)合數(shù)值方法進(jìn)行這類復(fù)合結(jié)構(gòu)問(wèn)題研究[13-15].盡管這類含多孔介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu)具有優(yōu)異聲學(xué)性能,對(duì)于中低頻問(wèn)題,由于多孔介質(zhì)在此頻域效果有限,并不能很好地提高復(fù)合結(jié)構(gòu)的聲學(xué)性能[6].

由于具有優(yōu)秀的中低頻特性,周期結(jié)構(gòu)從20世紀(jì)50年代起就被廣泛研究[16,17];近年來(lái),周期結(jié)構(gòu)相關(guān)理論在聲子晶體[18]及超材料研究[19]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.研究表明,周期結(jié)構(gòu)對(duì)彈性波的調(diào)控機(jī)理有兩種[20,21],即布拉格散射和局域共振,前者對(duì)于低頻長(zhǎng)波長(zhǎng)彈性波適用性有限;因此,在中低頻短波長(zhǎng)彈性波調(diào)制中,利用周期結(jié)構(gòu)理論,由彈性體結(jié)合局域共振系統(tǒng)(彈簧-振子系統(tǒng)、Helmholtz振子等)構(gòu)成的具有反常特性的周期復(fù)合結(jié)構(gòu)(“超材料結(jié)構(gòu)”)得到了廣泛研究和應(yīng)用.近年來(lái),此類周期復(fù)合結(jié)構(gòu)在彈性波吸收[22]、聲波調(diào)控[21,23-25]與振動(dòng)抑制[26,27]方面有很多研究進(jìn)展,其中,理論[23,24,27]、實(shí)驗(yàn)[23,27]和數(shù)值[22,26]方法都有應(yīng)用.盡管如此,低頻寬帶輕質(zhì)高效的聲振抑制問(wèn)題,仍是理論與工程中有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題[28].

多孔介質(zhì)是聲振控制中的輕質(zhì)高效方案,而周期結(jié)構(gòu)在中低頻應(yīng)用中有優(yōu)勢(shì).研究表明,結(jié)合兩種方案可以取得更好的聲調(diào)控效果[29,30];然而,相關(guān)研究目前還不充分[6,31-33],其理論研究手段仍需要進(jìn)一步發(fā)展;二者的協(xié)同機(jī)理也需要進(jìn)一步探究.

為取得理想的中低頻隔聲特性,本文結(jié)合含多孔介質(zhì)復(fù)合板和周期振子系統(tǒng),組成了一種新型周期復(fù)合結(jié)構(gòu);隨后,采用等效動(dòng)態(tài)質(zhì)量描述振子系統(tǒng),利用薄板理論和Biot多孔彈性方程建立了復(fù)合結(jié)構(gòu)理論模型,分析了其在中低頻域的聲振特性,討論了多孔介質(zhì)、周期振子等對(duì)此復(fù)合結(jié)構(gòu)STL的影響.此外,對(duì)隔振結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)的組合振子系統(tǒng),也討論了其隔聲可行性,并與簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析.值得注意的是,結(jié)合周期振子和薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)及聲學(xué)特征研究國(guó)內(nèi)外已有很多[34-37],這里主要關(guān)注加入多孔介質(zhì)后的復(fù)合結(jié)構(gòu)隔聲特性,不再詳細(xì)說(shuō)明附周期振子薄板結(jié)構(gòu)結(jié)果,必要時(shí)直接引用對(duì)照.

2 復(fù)合結(jié)構(gòu)及其相關(guān)理論和求解

圖1(a)為含多孔介質(zhì)周期復(fù)合結(jié)構(gòu)示意圖,此結(jié)構(gòu)由多孔介質(zhì)、薄板和周期分布的彈簧振子系統(tǒng)構(gòu)成;彈簧振子系統(tǒng)沿x方向周期分布,周期間距為a;在每個(gè)周期內(nèi),假設(shè)含有Ns個(gè)振子(或振子系統(tǒng)),第i個(gè)振子的剛度和質(zhì)量分別為ki和mi(i=1,2,· · ·,Ns).假定復(fù)合結(jié)構(gòu)在y方向無(wú)限延伸,單位平面波以仰角φ入射,其速度勢(shì)為Φi=exp(jωt-jkr),其 中k=(kx,kz)為入射波 矢,r=(x,z)為位置矢量,下文中,簡(jiǎn)諧時(shí)間項(xiàng) e xp(jωt)都不再顯式寫出.

圖1(c)—(g)給出了復(fù)合結(jié)構(gòu)的連接邊界條件和相應(yīng)部分受力情況.多孔介質(zhì)和板結(jié)構(gòu)連接類型采用文獻(xiàn)[3]中的分類,記O類型為多孔介質(zhì)開放邊界,即多孔介質(zhì)界面直接與外部聲學(xué)域接觸;U類型為多孔介質(zhì)間隔邊界,即多孔介質(zhì)界面與彈性體間存在間隙(例如,薄空氣層);B類型為多孔介質(zhì)固定邊界,即多孔介質(zhì)界面與彈性體固定粘連.OU和OB類型為幾種類型邊界條件的組合,分別如圖1(c)和圖1(d)所示.當(dāng)多孔介質(zhì)與彈性體間為固定邊界時(shí),由于多孔介質(zhì)固相骨架中正應(yīng)力和剪應(yīng)力同時(shí)存在,此時(shí)彈性體還會(huì)受到面內(nèi)外力和面外力矩作用,圖1(e)和圖1(f)給出了OU,OB兩種邊界情況下薄板法向的受力示意圖.

除采用圖1(a)所示簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)外,復(fù)合結(jié)構(gòu)中的周期振子單元也可由圖2(a)和圖2(b)所示的組合振子系統(tǒng)構(gòu)成,其相應(yīng)的剛度、阻尼和質(zhì)量如圖所示 (其中,參數(shù)kni,ζni和min中的n=1,2 為振子系統(tǒng)部件編號(hào),i為周期單元序號(hào)).采用周期振子系統(tǒng)排布時(shí),Ns≥1,可行的排布情況如圖3(暫不考慮三類振子系統(tǒng)混合分布的情況).為便于說(shuō)明和分析,下文采用表1中縮寫形式描述圖3所示振子系統(tǒng)分布情況.

圖1 含多孔介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu)及其子結(jié)構(gòu)示意圖 (a)含多孔介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu);(b)等效模型;(c)OU邊界;(d)OB邊界;(e)板受力情況(OU邊界);(f)板受力情況(OB邊界);(g)彈簧振子受力Fig.1.Schematic of the poroelastic composite structure and its substructures：(a)The poroelastic composite structure;(b)the equivalent model;(c)the OU boundary connection;(d)the OB boundary connection;(e)the forces in OU boundary case;(f)the forces in OB boundary case;(g)the forces in a simple spring-mass resonator.

圖2 組合振子系統(tǒng)示意圖 (a)串聯(lián)彈簧振子系統(tǒng)A;(b)復(fù)合彈簧振子系統(tǒng)BFig.2.Schematic of the composite-resonator-structure：(a)Composite resonator type A,two resonators placed in serial connection;(b)composite resonator type B,two resonators placed in composite connection.

圖3 周期振子排布方式示意圖 (a)簡(jiǎn)單振子周期分布,按各個(gè)振子質(zhì)量mi和特征頻率fi分為多個(gè)振子情況 (N1SR,mi和fi均保持恒定)和多種振子情況 (NNSR,mi或fi不相同);(b)組合振子周期分布,按振子部件質(zhì)量和特征頻率分為多個(gè)振子情況 (N1CR,和均保持恒定)和多種振子情況 (NNCR,或不相同);圖中虛線框內(nèi)部分為單個(gè)振子單元,(b)中虛線框部分可替換為 圖2中B類組合振子Fig.3.Schematic of the arrangement of periodic resonators：(a)An array of simple resonators,denoted as multiple resonators(N1SR,with constantmiandfi)or multiple kinds of resonators (NNSR,with differentmiandfi);(b)an array of composite resonators,denoted as multiple resonators (N1CR,with constantand )or multiple kinds of resonators (NNCR,with different or).The area in the dash-line denotes the periodic lattice,in panel (b),the composite resonator can be type B in Fig.2.

2.1 彈性骨架多孔介質(zhì)模型

常見(jiàn)多孔介質(zhì)固相骨架可以有彈性變形,此時(shí)必須采用Biot理論[38]描述多孔介質(zhì)中彈性波的傳播.考慮圖1(a)所示周期復(fù)合結(jié)構(gòu),以多孔介質(zhì)固相位移和液相位移描述的多孔介質(zhì)中彈性波傳播方程為[38]

平面波入射情況下,二維多孔介質(zhì)域中的場(chǎng)變量,如應(yīng)力和位移等,都可以由6個(gè)待定未知諧波貢獻(xiàn)量Ci(i=1,2,···,6)唯一確定[3,6],詳細(xì)的推導(dǎo)方法和表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[3,6],這里不再贅述.

表1 振子系統(tǒng)分布情況簡(jiǎn)稱及其對(duì)應(yīng)含義Table 1.Abbreviations of the distribution of resonator systems and their meanings.

2.2 薄板-振子耦合結(jié)構(gòu)理論模型

對(duì)于中低頻問(wèn)題,關(guān)注的頻域低于板臨界頻率(coincidence frequency),故采用薄板理論描述彈性波在板中的傳播[39].在外力和外力矩同時(shí)作用時(shí),薄板的面內(nèi)振動(dòng)和面外振動(dòng)方程分別為[6]

其中,U1和為可由復(fù)合結(jié)構(gòu)邊界條件確定的待定諧波幅值.

根據(jù)文獻(xiàn)[35,41],對(duì)中低頻問(wèn)題,彈簧振子系統(tǒng)可以等效為板上的附加質(zhì)量塊,其效果相當(dāng)于增加了板密度,相應(yīng)結(jié)果與平面波展開法的結(jié)果完全一致,但是計(jì)算量大為降低[35].因此,這里采用等效介質(zhì)模型[35]描述薄板-振子耦合結(jié)構(gòu),其做法是將周期單元內(nèi)的彈簧振子系統(tǒng)等效為附加在均勻板上的額外質(zhì)量,相當(dāng)于改變了板密度.對(duì)圖1(a)所示的簡(jiǎn)單振子系統(tǒng),假定第i個(gè)振子的恢復(fù)力為fi,i=1,2,···,Ns,則

其中,wi為第i個(gè)振子的質(zhì)量塊位移.記第i個(gè)彈簧振子動(dòng)態(tài)質(zhì)量為meq,i(ω),根據(jù)fi=meq,i,則meq,i(ω)為

其中,mi為振子質(zhì)量,ωi為振子特征圓頻率,ηi為彈簧阻尼系數(shù);此結(jié)果與文獻(xiàn)[35,41]一致.根據(jù)(6)式,對(duì)于單位寬度薄板-簡(jiǎn)單振子耦合結(jié)構(gòu),其等效動(dòng)態(tài)密度為

其主結(jié)構(gòu)的位移傳遞率(displacement transmissibility)Ti(ω)=wi/w為

對(duì)于圖2(a)和圖2(b)兩種組合振子系統(tǒng)情況,相應(yīng)的振子系統(tǒng)方程為

其中,x=[x1,x2,x3]T=[w1/w,w2/w,f/w]T;f為主結(jié)構(gòu)(薄板)對(duì)振子系統(tǒng)作用力;F為右端參數(shù)項(xiàng);兩類組合振子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K均在附錄A給出.由(9)式可得

其中,上標(biāo)A,B分別對(duì)應(yīng)圖2中復(fù)合振子系統(tǒng)(a)和(b);式中,上標(biāo)A,B一一對(duì)應(yīng)取得.

2.3 復(fù)合結(jié)構(gòu)中的聲學(xué)域

復(fù)合結(jié)構(gòu)周圍的聲學(xué)域由聲速度勢(shì)Φ描述,它滿足聲學(xué)域波動(dòng)方程

其中,c為相應(yīng)聲學(xué)域中波速.對(duì)于OU邊界情況,假定其入射側(cè)聲學(xué)域速度勢(shì)Φ1,多孔介質(zhì)和薄板間空氣層速度勢(shì)Φ2和透射側(cè)速度勢(shì)Φ3分別如下：

其中R1,I2,R2和T3為待定諧波幅值,由下文邊界條件確定.由(12)—(15)式可得

2.4 復(fù)合結(jié)構(gòu)邊界條件及求解

在文獻(xiàn)[3,4]中,多孔介質(zhì)和相鄰聲學(xué)域或彈性體連接的O,U和B三種情況邊界條件方程已經(jīng)被詳細(xì)討論給出,這里不再說(shuō)明.以O(shè)U邊界情況為例,以下給出與本文相關(guān)的復(fù)合結(jié)構(gòu)邊界條件來(lái)說(shuō)明求解過(guò)程.相關(guān)方程為

其中,?為多孔介質(zhì)孔隙率;ρi,ρa(bǔ)和ρt分別為入射側(cè)、空氣夾層和透射側(cè)聲學(xué)域介質(zhì)密度;s為多孔介質(zhì)液相壓力;σz和τzx為多孔介質(zhì)固相正應(yīng)力和切應(yīng)力;式中方程 (i)—(xi)都施加在復(fù)合結(jié)構(gòu)中不同域交界面或薄板中面上.

根據(jù)文獻(xiàn)[3,4,6],利用(4),(13)—(15)式,(17)式可整理為

其中,未知矢量x=[C1,C2,C3,C4,C5,C6,W1,R1,I2,R2,T3]T,系數(shù)矩陣A和力向量f在附錄B中給出.根據(jù)(18)式,可求得x=A-1f,由此可得聲學(xué)域聲速度勢(shì)和多孔介質(zhì)場(chǎng)及薄板位移.

聲學(xué)域聲功率定義為

其中,聲壓p=ρ?Φ/?t,速度v=-?Φ,v*為法向速度v的共軛復(fù)數(shù).聲功率傳遞系數(shù)定義為τ=It/Ii,Ii和It分別為入射聲功率和透射聲功率;對(duì)于散射聲場(chǎng),其隨機(jī)傳聲損失(STL)為[3,35]

根據(jù)(18)式的結(jié)果即可求得復(fù)合結(jié)構(gòu)的聲功率傳遞系數(shù)和STL.

3 模型驗(yàn)證及分析

選取薄板、空氣域及簡(jiǎn)單振子參數(shù)如表2所列.

表2中,fr為圖1 (a)簡(jiǎn)單振子特征頻率;γ=msum/(ρpha)為振子系統(tǒng)總質(zhì)量與薄板單位寬度總質(zhì)量的比值,以下簡(jiǎn)記為振子系統(tǒng)質(zhì)量比.多孔材料參數(shù)如表3所列.

表3中,ρs和ρf分別為多孔介質(zhì)固相和氣相密度,Es和νs為其固相楊氏模量和泊松比,?為孔隙率,τ∞為幾何形狀因子,σ0為流阻,hp為多孔介質(zhì)厚度.采用一維Simpson積分計(jì)算復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL,積分步長(zhǎng)取為 π /180,計(jì)算頻域?yàn)?—1000 Hz.下文如無(wú)特殊說(shuō)明,所有計(jì)算均采用上述計(jì)算設(shè)置.

表2 薄板、空氣域及振子參數(shù)Table 2.Parameters of plate and resonators.

表3 多孔材料參數(shù)Table 3.Parameters of the porous media used here.

3.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文的理論模型,分別將其退化為文獻(xiàn)[35]中附加亞波長(zhǎng)周期振子的均勻薄板結(jié)構(gòu)模型(?=1,hp=ha=0,圖4(a)為隨機(jī)入射情況,圖4(b)為斜入射情況)及文獻(xiàn)[3]中多孔介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu)模型(msum=0,圖4(c)),并選用相同計(jì)算參數(shù)與相應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照,驗(yàn)證算例模型示意圖及其結(jié)果在圖4中給出.

從圖4可以看出,對(duì)于附加周期振子均勻薄板和含多孔介質(zhì)復(fù)合板兩種情況,本文方法計(jì)算得出的結(jié)果與相應(yīng)文獻(xiàn)中數(shù)據(jù)都符合良好,表明本文方法是可靠的.

3.2 附加多孔介質(zhì)對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)STL的影響

保持振子系統(tǒng)質(zhì)量比γ=0.2,取復(fù)合結(jié)構(gòu)中周期簡(jiǎn)單振子質(zhì)量塊m0=27g (N1SR情況),有無(wú)多孔介質(zhì)時(shí)兩種邊界條件下的STL情況見(jiàn)圖5.

由圖5可以看出,在OU和OB兩種邊界條件下,附加多孔介質(zhì)對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)STL影響情況基本一致.采用某一特征頻率振子時(shí),多孔材料的引入可以在遠(yuǎn)離振子特征頻率頻域提升其STL,這是由多孔介質(zhì)的聲學(xué)性能決定的.周期振子特征頻率附近,有無(wú)多孔介質(zhì)對(duì)STL提升并不明顯,此區(qū)域STL主要由周期振子決定,但由于多孔介質(zhì)的引入,在振子系統(tǒng)特征頻率后的STL降低趨勢(shì)被削弱.因此,多孔介質(zhì)的引入,總體上增大了結(jié)構(gòu)的隔聲能力,這與文獻(xiàn)[1]中對(duì)多孔介質(zhì)的特性描述一致.

圖4 不同類型隔聲結(jié)構(gòu)驗(yàn)證算例 (a)文獻(xiàn)[35]隨機(jī)入射情況;(b)文獻(xiàn)[35]斜入射情況;(c)文獻(xiàn)[3]含多孔介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu);其中,各曲線為本文結(jié)果,各標(biāo)記為文獻(xiàn)中結(jié)果Fig.4.Validation of the results here with previous results：(a)The diffuse case in Ref.[35];(b)the oblique incident cases in Ref.[35];(c)the composite poroelastic structure without resonator in Ref.[3].The lines are results obtained here,while the marks are the results in the references.

圖5 有無(wú)多孔材料對(duì)含不同特征頻率振子系統(tǒng)復(fù)合結(jié)構(gòu)STL的影響 (a)OU邊界情況;(b)OB邊界情況;有無(wú)多孔介質(zhì)分別與相應(yīng)實(shí)線和虛線對(duì)應(yīng)Fig.5.Influence of porous material on the STL of the multiple-single-type-resonator composite structure with different characteristic frequencies：(a)OU case;(b)OB case.The solid lines correspond to cases with porous materials.

圖6給出了兩種邊界條件下含相同簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)復(fù)合結(jié)構(gòu)(fr=300 Hz)有無(wú)多孔介質(zhì)情況,及相應(yīng)不含振子復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL.由圖6可知,采用某一特征頻率振子時(shí),多孔材料的引入可以在遠(yuǎn)離振子特征頻率頻域提升其STL,最終趨近于相應(yīng)不含振子復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL.采用多孔介質(zhì)和簡(jiǎn)單周期振子復(fù)合結(jié)構(gòu),可以使得結(jié)構(gòu)的隔聲性能在保有多孔介質(zhì)寬頻優(yōu)勢(shì)情況下,在特定頻點(diǎn)或頻段有一定提升;或保有簡(jiǎn)單周期振子系統(tǒng)特定頻點(diǎn)或頻段優(yōu)勢(shì)情況下,在寬頻域有一定提升.

圖6 含相同簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)復(fù)合結(jié)構(gòu)(fr=300 Hz)有無(wú)多孔介質(zhì)及相應(yīng)不含振子復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL (有多孔介質(zhì),Porous +Resonator;無(wú)多孔介質(zhì),Resonator;相應(yīng)不含振子復(fù)合結(jié)構(gòu),Porous)(a)OU邊界情況;(b)OB邊界情況.Fig.6.The STL of multiple-single-type-resonator composite structure (fr=300 Hz)with/without porous,and composite structure without resonators：(a)OU case;(b)OB case.Composite structure here with porous material：Porous + Resonator.Without porous material：Resonator.Composite structure without resonators：Porous.

3.3 周期間隔內(nèi)分布多個(gè)振子系統(tǒng)時(shí)STL情況

3.3.1 N1SR-簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)情況

保持振子系統(tǒng)質(zhì)量比γ=0.2,取復(fù)合結(jié)構(gòu)中周期簡(jiǎn)單振子質(zhì)量塊m0=27 g,采用不同特征頻率簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)時(shí),復(fù)合結(jié)構(gòu)在OU和OB兩類邊界條件下的STL如圖7(a)和圖7(b).由圖7可知,采用不同特征頻率的周期振子系統(tǒng),都使得在此特征頻率附近STL先顯著提升然后降低,最后恢復(fù)到不含振子時(shí)STL的水平.這表明,合適引入和布置周期振子,可以在一定頻域內(nèi)達(dá)到提升STL的目的.

圖7 采用不同特征頻率簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)STL的影響 (a)OU邊界;(b)OB邊界Fig.7.Influences of resonators with different characteristic frequencies on the STL：(a)OU case;(b)OB case.

圖8(a)和圖8(b)給出了兩種邊界條件下,由特征頻率fr=300 Hz的簡(jiǎn)單振子構(gòu)成的復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL及其位移傳遞率Ti、振子動(dòng)態(tài)質(zhì)量meq和板等效動(dòng)態(tài)密度ρeq.從圖8可以看出,在振子特征頻率附近Ti,meq和ρeq變化趨勢(shì)一致,都由極大(f=290 Hz)下降為極小(f=307 Hz);STL也呈由極大(f=298 Hz)到極小(f=325或335 Hz)的變化趨勢(shì),但STL變化與Ti,meq和ρeq變化特征并不同步,存在一定的頻率滯后.這是由于局域共振板在特征頻率附近存在一個(gè)范圍約為fr到fr(1+γ)1/2的帶隙[34,35],而fr處板等效動(dòng)態(tài)密度呈極大值(無(wú)阻尼時(shí)為無(wú)窮大),fr(1+γ)1/2處呈極小;此頻域?yàn)橘|(zhì)量定律控制區(qū)域[42],其隔聲量(即STL)與結(jié)構(gòu)面密度呈正相關(guān),故該頻域內(nèi)STL呈極大過(guò)渡到極小趨勢(shì).

圖8 單一類型簡(jiǎn)單振子周期排布時(shí) (a)OU,OB情況下STL及其位移傳遞率Ti;(b)振子的等效質(zhì)量meq和板等效動(dòng)態(tài)密度ρeqFig.8.(a)STL of OU and OB case in periodically-arranged single simple resonator case,and its displacement transmissibilityTi;(b)equivalent massmeqof a single resonator and the dynamic densityρeq of the equivalent plate.

3.3.2 N1CR-組合振子系統(tǒng)情況

不同振子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性不同,使用合適的組合振子系統(tǒng)可以一定程度上拓寬振子系統(tǒng)的作用頻域,進(jìn)而達(dá)到更寬頻帶振動(dòng)調(diào)控[43].為便于討論,令組合振子系統(tǒng)A,B中振子質(zhì)量剛度分別滿足如下關(guān)系其阻尼比為對(duì)無(wú)阻尼情況 (即),組合振子系統(tǒng)A特征圓頻率為

(21)式與文獻(xiàn)[43]中無(wú)阻尼組合振子結(jié)果一致.同樣,無(wú)阻尼組合振子系統(tǒng)B的特征圓頻率為

由(21)和(22)式可知,組合振子A和B二特征頻率間的帶寬為B.根據(jù)前述分析,復(fù)合結(jié)構(gòu)STL在振子特征頻率附近呈由極大到極小變化趨勢(shì),為獲得較高STL,組合振子二特征頻率間帶寬 Δfi應(yīng)控制到合適水平,相關(guān)研究還在進(jìn)行中,這里僅給出一些初步結(jié)果.忽略彈簧質(zhì)量,保持振子系統(tǒng)質(zhì)量比γ=0.2,取組合系統(tǒng)參數(shù)如表4所列.

表4 振子系統(tǒng)參數(shù)Table 4.Parameters of the composite resonators.

組合振子系統(tǒng) A和B 的位移傳遞率T1,T2和動(dòng)態(tài)質(zhì)量meq變化情況見(jiàn)圖9.

由圖9(a1)和圖9(b1)可知,在組合振子系統(tǒng)A和B的共振頻率附近,系統(tǒng)中振子位移傳遞率均呈先增大至共振頻率再降低的趨勢(shì),且振子系統(tǒng)A和B兩個(gè)共振頻率之間形成了一段振動(dòng)抑制頻帶,此頻帶寬度與組合振子系統(tǒng)特征頻率有關(guān);組合振子系統(tǒng)A和B均可以對(duì)主結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生明顯抑制,但其抑制帶寬不同.由于聲波通過(guò)此復(fù)合結(jié)構(gòu)中薄板(主結(jié)構(gòu))向透射側(cè)傳播,針對(duì)薄板向外部輻射聲的振動(dòng)模態(tài)采用合適的組合振子系統(tǒng),預(yù)計(jì)可以改善結(jié)構(gòu)隔聲性能.

圖10顯示了保持振子系統(tǒng)質(zhì)量比γ=0.2,單周期內(nèi)分布Ns=4 個(gè)相同簡(jiǎn)單振子,組合振子A或B和不含振子時(shí)復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL情況.由圖10可知,在兩種邊界條件下,由于振子系統(tǒng)特征頻率附近其STL呈先升高后降低趨勢(shì),對(duì)單一共振頻率的簡(jiǎn)單振子系統(tǒng),其STL提升頻域較窄;選用合適參數(shù)的組合振子系統(tǒng)A或B,相對(duì)簡(jiǎn)單振子系統(tǒng),可以在較寬頻域提升復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL,同時(shí)不顯著降低其STL值.

圖9 兩類組合振子系統(tǒng)中質(zhì)量塊的位移傳遞率T1,T2和動(dòng)態(tài)質(zhì)量meq(a1)組合振子系統(tǒng)A中各質(zhì)量塊的位移傳遞率T1,T2;(a2)組合振子系統(tǒng)A的動(dòng)態(tài)質(zhì)量meq;(b1)組合振子系統(tǒng)B中各質(zhì)量塊的位移傳遞率T1,T2;(b2)組合振子系統(tǒng)B的動(dòng)態(tài)質(zhì)量meqFig.9.Displacement transmissibility and dynamic mass of the mass components in the two composite resonators：(a1)Displacement transmissibilityT1,T2of composite resonator type A;(a2)dynamic massmeqof composite resonator type A;(b1)displacement transmissibilityT1,T2of composite resonator type B;(b2)dynamic massmeqof composite resonator type B.

圖10 復(fù)合結(jié)構(gòu)周期間隔內(nèi)分布4個(gè)相同簡(jiǎn)單振子(Single resonator),組合振子A或組合振子B時(shí)的STL和不含振子復(fù)合結(jié)構(gòu)(Without resonator)的STL (a)OU邊界情況;(b)OB邊界情況Fig.10.STL of the proposed composite structure with 4 identical simple resonators (Single resonator),composite resonators of type A or B versus its STL without any resonators (Without resonator)in a periodic lattice：(a)OU boundary case;(b)OB boundary case.

3.4 周期間隔內(nèi)分布多種振子系統(tǒng)時(shí)STL情況

在周期單元內(nèi)布置多種振子(或組合振子),可以拓寬復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制頻帶[35],進(jìn)而提高其STL水平.以下保持振子系統(tǒng)質(zhì)量比為0.2,分析采用多種振子系統(tǒng)對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)的聲調(diào)控效果.

3.4.1 NNSR-簡(jiǎn)單振子情況

選取不同特征頻率簡(jiǎn)單振子系統(tǒng),討論以下兩種情況復(fù)合結(jié)構(gòu)的聲調(diào)控特性：(A)等質(zhì)量振子,振子質(zhì)量mi為振子系統(tǒng)總質(zhì)量msum的 1/Ns;(B)振子質(zhì)量mi各不相同,mi=m0+(i-1)Δm,i=1,2,···,Ns.假定彈簧阻尼系數(shù)為ηi=0.05.圖11給出了OU,OB兩種邊界情況下NNSR分布時(shí)情況A,B的結(jié)果,其中振子特征頻率分別為=300+50(i-1)(Hz),i=1,2,· · ·,Ns,Ns=4,5,6,7.

由圖11可知,特征頻率各不相同的多振子系統(tǒng),無(wú)論其各振子質(zhì)量是否相等,都能在由振子特征頻率決定的頻帶提升復(fù)合結(jié)構(gòu)STL,此結(jié)論與文獻(xiàn)[35]中相似;同時(shí),非均勻質(zhì)量分布的周期振子對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL提升更為明顯,缺點(diǎn)是在振子特征頻率決定的頻帶之外,其STL下降也更為劇烈.這是由振子質(zhì)量的不均勻分布決定的.此外,兩類邊界情況下不含振子復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL變化情況不同,此結(jié)果決定了復(fù)合結(jié)構(gòu)STL的整體趨勢(shì).若僅考慮某頻率范圍的隔聲性能,采用不同振子,按照振子特征頻率依次增大,振子質(zhì)量依次遞增布置方案,可以提升對(duì)應(yīng)頻率范圍的隔聲性能.

圖11 NNSR分布時(shí)OU,OB邊界情況下的STL (a1),(a2)情況A;(b1),(b2)情況B,Δm/msum=0.04;其中,(a1)和(b1)為OU邊界情況,(a2)和(b2)為OB邊界情況Fig.11.STL of the composite structure with NNSR configuration under two boundary cases：(a1),(a2)Case A;(b1),(b2)case B,Δm/msum=0.04.Here (a1)and (b1)correspond to OU case,(a2)and (b2)correspond to OB case.

3.4.2 NNCR-組合振子情況

忽略組合振子中的彈簧質(zhì)量,保持振子系統(tǒng)質(zhì)量比γ=0.2,選取組合振子系統(tǒng)參數(shù)如表5所列.

表5 組合振子系統(tǒng)參數(shù)Table 5.Parameters of the composite resonators.

圖12 采用組合振子復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL (a1),(a2)采用組合振子A;(b1),(b2)采用組合振子B;其中,(a1)和(b1)對(duì)應(yīng)于OU邊界情況,(a2)和(b2)對(duì)應(yīng)于OB邊界情況Fig.12.STL of the proposed composite structure under NNCR configuration：(a1),(a2)Composite resonator type A;(b1),(b2)composite resonator type B.Here (a1)and (b1)correspond to OU case,(a2)and (b2)correspond to OB case.

由圖12可知,在單個(gè)周期內(nèi)引入多個(gè)不同特征頻率的組合振子,同簡(jiǎn)單振子情況類似,可以提高復(fù)合結(jié)構(gòu)在其特征頻率決定的頻域內(nèi)的STL,在此頻域內(nèi),OU和OB兩種邊界條件下呈現(xiàn)了類似的STL提升趨勢(shì);在越過(guò)該頻域后,其STL相對(duì)不含振子復(fù)合結(jié)構(gòu)有降低,降低的幅度和復(fù)合結(jié)構(gòu)邊界條件及振子類型有關(guān).此特性與簡(jiǎn)單振子情況類似.

3.5 不同周期振子系統(tǒng)聲調(diào)控綜合分析

為對(duì)照不同振子系統(tǒng)分布對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)STL的影響,保持振子系統(tǒng)質(zhì)量比γ=0.2,取Ns=4,各振子系統(tǒng)特征頻率(簡(jiǎn)單振子)或(組合振子)取為300+50(i—1)(Hz),i =1,2,···,Ns.不同周期振子系統(tǒng)分布時(shí)復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL情況如圖13所示.

由圖13可知,幾類周期振子系統(tǒng)對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)STL的提升都表現(xiàn)為振子系統(tǒng)特征頻率附近頻域的局部提升,在越過(guò)該頻域后,振子系統(tǒng)會(huì)降低復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL,遠(yuǎn)離復(fù)合結(jié)構(gòu)特征頻率后恢復(fù)到無(wú)振子情況STL值.對(duì)比組合振子系統(tǒng)A,B和簡(jiǎn)單振子系統(tǒng) (Δm=0 和 Δm＞0)結(jié)果,簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)總體上可以取得不錯(cuò)的STL,組合振子系統(tǒng)并不能進(jìn)一步顯著提升復(fù)合結(jié)構(gòu)STL,只在STL提升帶寬上有優(yōu)勢(shì).在合適的振子參數(shù)下,相對(duì)簡(jiǎn)單振子系統(tǒng),組合振子系統(tǒng)可拓展復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL提升帶寬,且不顯著降低復(fù)合結(jié)構(gòu)STL水平.

綜合簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)和組合振子系統(tǒng)結(jié)果,在實(shí)際工程問(wèn)題中,采用簡(jiǎn)單振子系統(tǒng)預(yù)期可以取得合適的STL提升,如果要進(jìn)一步增大STL提升帶寬,可以考慮使用組合振子.

圖13 不同振子系統(tǒng)分布時(shí)STL對(duì)比 (a),(a1)OU邊界情況;(b),(b1)OB邊界情況;Δm=0 和 Δm＞0 對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單振子情況NNSR;Type A和Type B對(duì)應(yīng)組合振子情況NNCRFig.13.STL of different resonator system configuration：(a),(a1)OU case;(b),(b1)OB case.Δm=0 and Δm＞0 correspond to simple resonator case NNSR.Type A and Type B correspond to composite resonator case NNCR.

4 結(jié) 論

含多孔介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu)和局域共振周期結(jié)構(gòu)分別有各自的聲學(xué)優(yōu)勢(shì),然而目前對(duì)兩者協(xié)同效應(yīng)的研究尚不充分.為取得理想的中低頻隔聲性能,本文提出了一種結(jié)合以上兩類聲振抑制方案的復(fù)合結(jié)構(gòu)模型,并在中低頻域?qū)ζ銼TL進(jìn)行了理論求解和分析.研究表明,合適地引入和布置周期振子,可以在一定頻域內(nèi)提升復(fù)合結(jié)構(gòu)的STL.這是因?yàn)楦郊拥恼褡酉到y(tǒng)可以對(duì)主結(jié)構(gòu)(薄板)振動(dòng)產(chǎn)生明顯抑制,合適的振子系統(tǒng)參數(shù),可以抑制某些振動(dòng)模態(tài)的聲輻射,進(jìn)而提升其STL水平.對(duì)比簡(jiǎn)單振子和組合振子的結(jié)果可知,在實(shí)際問(wèn)題中,若要提升結(jié)構(gòu)在某段頻域的STL,可選取相應(yīng)特征頻率的簡(jiǎn)單振子系統(tǒng),按照非均勻質(zhì)量周期布置;如需進(jìn)一步增大其STL提升帶寬,可考慮使用更為復(fù)雜的組合振子系統(tǒng).盡管本文方法只適用于中低頻問(wèn)題[35],這些研究結(jié)果可以為寬頻減振降噪研究和中低頻減振降噪提供理論參考.

附錄 A (9)式中振子系統(tǒng)相關(guān)矩陣

A類組合振子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K為

B類組合振子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K為

其右端項(xiàng)F為

附錄 B (18)式中系數(shù)矩陣及力矢量

這里,參數(shù)Q0,R0,b1,b2,N0,g,k1z,k2z,k3z,k1,k2和k3都在文獻(xiàn)[3]中給出.

力向量f中非零項(xiàng)為f(1)=jωρi?,f(2)=jωρi×(1-?),f(3)=