理解復(fù)數(shù)定義，求解軌跡問題

林光勇

如何利用復(fù)數(shù)幾何意義求有關(guān)點(diǎn)的軌跡等問題呢？首先要理解復(fù)數(shù)的定義z=a+bi，理解i2=-1，然后理解復(fù)平面，知道復(fù)數(shù)

有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）

點(diǎn)Z（a，b）的關(guān)系.這為討論復(fù)數(shù)建立了數(shù)學(xué)模型，也為用數(shù)形結(jié)合求解有關(guān)復(fù)數(shù)問題提供了依據(jù);最后，要理解復(fù)數(shù)模的意義，因?yàn)閺?fù)數(shù)的幾何圖形基本都是由模聯(lián)系起來的.

一、一一對(duì)應(yīng)要厘清

例1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i，-2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_____.

解析利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)間的一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知點(diǎn)A（6，5），B（-2，3），于是可以設(shè)AB中點(diǎn)C（x，y），在平面直角坐標(biāo)系中由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，x=6-2/2=2，y=5+3/2=4即C（2，4），所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.

解題感悟看到復(fù)平面要想到初中已學(xué)習(xí)過的平面直角坐標(biāo)系，理解復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)是一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.具體怎么對(duì)應(yīng)法？復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），要注意，比如復(fù)數(shù)2-3i對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3），而不是（2，3）.先將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)到平面上的點(diǎn)，利用解析幾何有關(guān)知識(shí)求解，然后再將求得的點(diǎn)坐標(biāo)返回對(duì)應(yīng)到復(fù)數(shù).

二、軌跡問題實(shí)數(shù)化

例2復(fù)數(shù)滿足|z-1|2-|z+i|2=4，求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的曲線.

解析設(shè)z=x+yi（x，y∈R），則|x-1+yi|2-|x+（y+1）i|2=4.

即（√x-1）+y）2-（√x+（y+1）2=4，化簡(jiǎn)得x+y+2=0.

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的軌跡為直線x+y+2=0.

解題感悟首先要將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，設(shè)z=x+yi（x，y∈R）代人化簡(jiǎn)是最扎實(shí)可靠的方法;其次，“取?！笔前褟?fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的一種重要手段.

例3滿足|z|2-2|z|-3=0的復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是_____.

解析按常理設(shè)z=x+yi（x，y∈R）代入化簡(jiǎn)，效果不理想.

回頭再看看，復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0，若是把|z|看成一個(gè)整體，那么這便是一個(gè)關(guān)于|z|的一元二次方程.

分解因式得（|z|-3）（|z|+1）=0，解得|z|=3或|z|=-1（舍）.

它表示以原點(diǎn)為中心，半徑為3的圓.

解題感悟復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的思想方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算及性質(zhì).

三、數(shù)形結(jié)合是工具

例4已知z∈C，且|z-（4-5i）|=1，求|z+i|的最大值和最小值.

解通過觀察發(fā)現(xiàn)：其實(shí)|z-（4-5i）|=1表示Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示的曲線是以Z。（4，-5）為圓心，1為半徑的圓，|z十i|表示Z與Z：（0，一1）兩點(diǎn)的距離.

因?yàn)閆0Z1=4√2，所以|z+i|max=4√2+1，|z+i|min=4√2-1.

解題感悟本例解法采用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，直觀簡(jiǎn)單，但要特別注意|z+i|的意義，容易被誤認(rèn)為是Z與Z1（0，1）兩點(diǎn)的距離.此類問題一般類型是：設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足|z-z0|=r，求d=|z-z|的最值.連結(jié)過Z0，Z'兩點(diǎn)的直線交圓|z-zo|=r于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離即為所求的d，其中dmax=|z0-z'|+r，dmin=|Z0-z|-r.

四、向量問題聯(lián)系緊

例5如圖2所示，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0，3+2i，-2+4i，試求：

（1）AO，BC所表示的復(fù)數(shù);

（2）對(duì)角線CA所表示的復(fù)數(shù);

（3）求B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

解（1）AO=-OA，所以AO所表示的復(fù)數(shù)為—3—2i.因?yàn)锽C=AO，所以BC所表示的復(fù)數(shù)為—3—2i.

（2）CA=OA-OC，所以CA所表示的復(fù)數(shù)為（3+2i）-（-2+4i）=5-2i.

（3）OB=OA+AB=OA+OC，所以O(shè)B所表示的復(fù)數(shù)為（3+2i）+（-2+4i）=1+6i，即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+6i.

解題感悟復(fù)數(shù)加減法的幾何意義即為向量的合成與分解;應(yīng)用其解決與復(fù)數(shù)有關(guān)的軌跡問題來幫助討論代數(shù)問題，也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的思想方法.本題中要注意恰當(dāng)運(yùn)用向量的方法，即用共起點(diǎn)表示.

五、解析幾何顯神威

例6已知z∈C，且|z+4|+|z-4|=10，求z的軌跡.

突破點(diǎn)|z-z1|+|z-z2|=2a（a>0且2a>|z1-z2|）表示以Z1，Z2為焦點(diǎn)，2a為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓方程.

解設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)為Z，由于|z+4|可看作點(diǎn)Z到定點(diǎn)Z1（-4，0）的距離，而|z-4|可看作點(diǎn)Z到Z2（4，0）的距離，故|z+4|+|z-4|=10表示點(diǎn)Z到兩定點(diǎn)間的距離之和為定值10，由解析幾何知識(shí)得知，z的軌跡是橢圓.

不妨設(shè)z=x+yi，因?yàn)?a=10，2c=8，由a2十b2=c2，所以b=3，因此橢圓方程為x2/25+y2/9=1.

本題若用解析幾何方法，則必須設(shè)z=x+yi，原式轉(zhuǎn)化為√（x+4）2+y2+√（x-4）2+y2=10，將左邊任一項(xiàng)移項(xiàng)到右邊，通過兩次兩邊平方化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為x2/25+y2/9=1，從而得到橢圓方程.顯然這種方法太繁瑣，且這就是學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)化簡(jiǎn)橢圓的步驟.將復(fù)數(shù)問題與已學(xué)習(xí)的知識(shí)聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)的內(nèi)容，從而將未知轉(zhuǎn)化為已知，化繁為簡(jiǎn).

本題需要特別注意當(dāng)2a=|z1-z2|時(shí)，是線段，2a<|z1-z2|時(shí)，為空集.所以解題時(shí)一.定要注意條件的變化.

解題感悟

1.解決復(fù)平面上軌跡問題與平面解析幾何中的求軌跡問題實(shí)質(zhì)，上運(yùn)用的是相同的方法.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法.解決，幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決.如：若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線x=1上，則z=1+bi（b∈R）;若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線y=x上，則z=a+ai（a∈R），這在利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解題中能起到簡(jiǎn)化作用.

3.運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何定義求軌跡，需要理解復(fù)數(shù)的幾何意義，特別是模的意義，要數(shù)形結(jié)合，學(xué)會(huì)和相關(guān)的圖形意義聯(lián)系起來，如圓、橢圓、雙曲線等.

4.軌跡問題的易錯(cuò)點(diǎn)為軌跡所求的圖形有時(shí)會(huì)不符合題意，要根據(jù)條件的要求進(jìn)行取舍.

如：設(shè)動(dòng)點(diǎn)Z，定點(diǎn)Z1，Z2分別對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)z，z1，z2，a>0，那么雙曲線可以表示為：|z-z1|-|z-zz|=±2a（2a<|z1-z2|），其中z1，z2為對(duì)應(yīng)雙曲線的焦點(diǎn)，2a為實(shí)軸長(zhǎng)（當(dāng)2a=|z1-z2|時(shí)，表示兩條射線，即線段Z1Z2的延長(zhǎng)線及其反向延長(zhǎng)線;當(dāng)2a>|z1-z2|時(shí)，不表示任何圖形）.