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      探秘牛頓植樹(shù)問(wèn)題

      2019-06-28 13:28:12王娜
      新高考·高二數(shù)學(xué) 2019年1期
      關(guān)鍵詞:條線六邊形交點(diǎn)

      王娜

      “每行植三株,九株栽十行;種法有多樣,請(qǐng)你試試看.”據(jù)說(shuō)這是牛頓曾經(jīng)提出并思考過(guò)的“九樹(shù)十行”問(wèn)題.

      同學(xué)們,動(dòng)動(dòng)手,相信你也能給出答案:作一個(gè)對(duì)稱(chēng)的圖形,三橫一豎、六根斜線(如圖1所示),輕松解決了這個(gè)“九樹(shù)十行”的植樹(shù)難題.

      按實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn),每行3棵,要栽10行,不是需要30棵樹(shù)嗎?現(xiàn)在只有9棵,那有些樹(shù)肯定應(yīng)栽在幾行的交點(diǎn)上.我們?yōu)楹螘?huì)想到畫(huà)出這樣的對(duì)稱(chēng)圖形?是否有據(jù)可依?

      我先給同學(xué)們普及一下帕普斯定理.帕普斯定理可以敘述成下面的形式:如圖2,設(shè)六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)交替分布在兩條直線a和b上,那么它的三雙“對(duì)邊”所在直線的交點(diǎn)X,Y,Z在一直線上.

      問(wèn)題初看有點(diǎn)復(fù)雜,為了讓同學(xué)們充分理解定理,我們把問(wèn)題具體劃分為幾個(gè)步驟進(jìn)行,同學(xué)們可以自己嘗試畫(huà)出這張圖形.

      三點(diǎn)A,E,C在直線a上,三點(diǎn)D,B,F(xiàn)在直線b上.順次連結(jié)線段AB,BC,CD,DE,EF,F(xiàn)A,得到一條封閉折線ABCDEF,此封閉折線也就是一般意義下的多邊形.看六邊形的名稱(chēng)ABCDEF,就能知道它的哪兩條邊是對(duì)邊.例如,在六邊形名稱(chēng)ABCDEF中,字母B和C相鄰,說(shuō)明BC是它的一條邊,那么EF就是BC的對(duì)邊.利用“六邊形"和“對(duì)邊”這兩個(gè)簡(jiǎn)單術(shù)語(yǔ),就能概括圖2中9個(gè)點(diǎn)和9條直線之間的復(fù)雜關(guān)系.

      (注:帕普斯定理的證明可參考《新概念幾何》(張景中,2002))

      可以看到,圖2中有9個(gè)點(diǎn),9條線,每個(gè)點(diǎn)上有3條線通過(guò),每條線上又有3個(gè)點(diǎn),由此可直接得到“九樹(shù)九行”。為了解答現(xiàn)實(shí)版的“九樹(shù)十行”問(wèn)題,需要在上面“九樹(shù)九行”的基礎(chǔ)上,增加一條新的直線,成為第十條.

      應(yīng)該怎樣安排,才能出現(xiàn)第十條直線呢?

      我們回顧文章開(kāi)頭所述問(wèn)題及圖1,顯然,運(yùn)用特殊化的數(shù)學(xué)思想,讓圖形具備對(duì)稱(chēng)性以后,就完美地出現(xiàn)了第10條直線BE(如圖3所示).

      繼續(xù)開(kāi)動(dòng)腦筋,如何在一般圖形中得到第10條線呢?

      如圖4所示,可采用下面的辦法:

      任意作兩條直線a和b;

      在a上任意取三點(diǎn)A,C,E;

      在b上任意取兩點(diǎn)B,D;

      連結(jié)直線AB,BC,CD,DE,AD,記AB與DE的交點(diǎn)為X,BC與AD的交點(diǎn)為Y;

      連結(jié)直線EY,交直線b于點(diǎn)F;

      連結(jié)直線FA,交CD于點(diǎn)Z,那么根據(jù)帕普斯定理,三點(diǎn)X,Y,Z在一直線上.

      這就是解答“九樹(shù)十行”問(wèn)題的一般方法.由于兩直線a和b的相關(guān)位置可以任意變化,六邊形頂點(diǎn)在a和b上的排列順序和距離也可大幅度調(diào)節(jié),所以能畫(huà)出千變?nèi)f化的解答圖形.同學(xué)們可以自己嘗試操作一下.

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