淺析微分在近似計算中的優(yōu)勢應用

霍龍龍

摘? 要：近似計算是在解決問題過程中常用的一種方法，其在數(shù)學問題解決中起到著巨大的作用，是一個非常有效的解題工具。在數(shù)學分析環(huán)節(jié)，此類形式應用較多，比如：在函數(shù)冪級數(shù)的運用、定積分中的運用以及微分中的運用等。微分是高等數(shù)學的關鍵構成內容，函數(shù)微分在數(shù)學中同樣有著廣泛的運用。該文就微分在近似計算中的優(yōu)勢應用進行簡單的研究。

關鍵詞：微分? 近似計算? 應用

中圖分類號：G64? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-3791（2019）03（c）-0224-02

微分是高數(shù)的重要知識點之一，近似計算是在解決問題過程中常用的一種方法。微分在近似計算中的運用有著大量優(yōu)勢。因此對微分在近似計算中的運用進行分析具有極為重要的實踐價值。

1? 微分簡介

定義? 如果在某個區(qū)間內存在定義，及包含在此區(qū)間內，則函數(shù)的增量為：

即：

其間，A并非是的常數(shù)，但比高階的無窮小，則在點處是可微的;A便是在點處對應自變量增量的微分，為dy，可表示為：。

2? 微分在近似計算中的應用

2.1 數(shù)列的極限近似計算

在{an}收斂時，則{an}是有極限的，一些數(shù)列的極限人們是能夠輕易求解出的，但是由一些數(shù)列的極限即使存在然而卻無法求解其定值，則此時便需進行近似計算。

假設 a是一個定數(shù)，{an}為數(shù)列;對于一切正數(shù)ε，均有正整數(shù)N，使時n>N存在：

那么便可判定數(shù)列{an}收斂于a，則a是的極限{an}，記為：

或

例1? 證明。

因為：

，，，（n≥3）

所以ε>0，對于任意的，僅需，則有：

也就是，在的時候，，便可成立，因為（n≥3），所以?。?/p>

證明：對于任意ε>0，可取。根據(jù)分析可知，在n>N時，，便可成立。

2.2 函數(shù)增量的近似計算

若在點處可微，那么便可得函數(shù)的增量為：

在||無限小的時候，便有：

例? 半徑為10cm的金屬原片在經(jīng)過加熱以后半徑增加了0.05cm，問面積增加了多少？

解：假設 A=πr2，r=10cm，△r=0.05cm，那么：

（cm2）

2.3 誤差估計

在具體生產(chǎn)過程中，往往需要對各式各樣的數(shù)據(jù)進行測量，然而部分數(shù)據(jù)是無法直接性進行測量的，此時便需測量與之相關的數(shù)據(jù)，按照具體公式推演出自己所需的數(shù)據(jù)。因為測量條件、設備以及方法等所造成的影響，取得的數(shù)據(jù)通常具備一定的誤差，而運用不精準的數(shù)據(jù)進行計算同樣會造成誤差。

（1）絕對誤差：若某個量的精準數(shù)值是A，其近似值是a，則δ=|A-a|便是a的絕對誤差。

（2）相對誤差：絕對誤差δ和|a|之間的比值被稱之為的a相對誤差。

（3）絕對誤差限：如果|A-a|≤δA，那么便是A的絕對誤差限。

（4）相對誤差限：是A的相對誤差限。

在正常狀況下，按照直接性測量的值，根據(jù)公式計算y值的時候，若已經(jīng)知曉測量的絕對誤差限為，也就是||≤，那么在y′≠0的時候，y的絕對誤差為：

也就是：y的絕對誤差限近似是，y的相對誤差限近似是。

后來，人們往往將相對誤差限與絕對誤差限簡稱為相對誤差與絕對誤差。

例如：若想求解圓的面積S，僅需測量其直徑d，接著根據(jù)公式便能夠求出面積S。因為直徑d存在絕對誤差△d，因此面積S同樣存在絕對誤差在近似計算中，當△d無限小的時候，（=dy）。因此能夠運用計算出面積S的絕對誤差，對存在，因此：

（絕對誤差）;（相對誤差）

如果已經(jīng)知曉，那么便能夠求解出相對誤差限與絕對誤差限的分布依次是：

如果是通過測量獲得的，量y是根據(jù)計算獲得的，在測量過程中，的近似值是，。如果已經(jīng)知道的誤差限是，也就是，在無限小時：有

例：如果想要給半徑為r的球外表涂上油漆，油漆厚度是△r，問：該層油漆的近似體積是多少？

解：

例：某圓鋼截面的直徑D=60.03mm，測量D的絕對誤差限為δD運用公式對截面積進行計算，問：面積的計算誤差是多少？

解：A的絕對誤差限近似是：

A的相對誤差限近似是：

3? 結語

該文主要研究微分的定義，以及微分在數(shù)列的極限近似計算、函數(shù)增量的近似計算、誤差估計的運用，未來我們更加需要研究微分在其他方面的運用。

參考文獻

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