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      偶合KdV方程的行波解分支

      2019-06-26 07:23:54全壽湘趙海霞唐生強(qiáng)
      關(guān)鍵詞:代數(shù)方程波解軌線

      全壽湘, 趙海霞, 唐生強(qiáng)

      (1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004;2.桂林電子科技大學(xué) 廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 桂林 541004)

      在非線性波研究中,偶合KdV方程為[1]:

      qt+aqnqx+brmrx+βqxxx=0;

      (1)

      rt+kqlrx+αrxxx=0。

      (2)

      其中,q=q(x,t),r=r(x,t),a、b、α、β、k為非零常數(shù),l、m、n為正整數(shù)。偶合KdV方程是描述雙層淺水波動(dòng)力學(xué)的主要模型,能解釋諸如漏油事件引起的雙層流體的物理現(xiàn)象。Krishnan等[1]用圖方法推導(dǎo)了偶合KdV方程解的結(jié)構(gòu),討論了在非線性冪律的情形下,當(dāng)方程僅有1個(gè)或2個(gè)非線性冪律參數(shù)支持拓?fù)涔伦咏饣蚣げń鈺r(shí),該方程有拓?fù)涔伦咏?,并用乘方法推出守恒定律,以此求出偶合KdV方程的守恒量,但其并未研究該方程的行波解的動(dòng)力系統(tǒng)分支性態(tài)。為此,研究l=m=n條件下偶合KdV方程行波解的動(dòng)力系統(tǒng)分支性態(tài),并給出在這個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)空間的所有行波解。

      1 偶合KdV方程的動(dòng)力系統(tǒng)

      令r(x,t)=σq(x,t),σ≠0,l=m=n,則式(1)、(2)可化為:

      (3)

      (4)

      ?=0,

      (5)

      (6)

      (7)

      顯然,式(7)是一個(gè)Hamilton系統(tǒng),它的首次積分為

      (8)

      系統(tǒng)(7)是一個(gè)五參數(shù)空間(k,n,α,c,g)的平面自治動(dòng)力系統(tǒng),對(duì)一個(gè)固定的α和不同的n、k,研究當(dāng)參數(shù)c、g變化時(shí),在相平面(φ,y)內(nèi)系統(tǒng)(7)的相圖的分支。由于所考慮的物理模型對(duì)有界行波解才有意義,僅關(guān)注系統(tǒng)(7)的有界解。

      2 系統(tǒng)(7)的相圖分支

      只討論α>0,k>0時(shí)的情形,若α<0或k<0,則可作α→-α,k→-k,c→-c,g→-g變換,將其轉(zhuǎn)化為原系統(tǒng)。記

      當(dāng)f(φ0)<0時(shí),系統(tǒng)(7)無(wú)奇點(diǎn);當(dāng)f(φ0)>0,c>0,f(0)=g>0或g<0時(shí),系統(tǒng)(7)存在2個(gè)奇點(diǎn):Si(φi,0),i=1,2,φ1<0<φ2或0<φ1<φ2;當(dāng)f(φ0)>0,c<0,f(0)=g>0或g<0時(shí),系統(tǒng)(7)存在2個(gè)奇點(diǎn):Si(φi,0),i=1,2,φ1<0<φ2或φ1<φ2<0。

      在(c,g)參數(shù)平面分別隱含下述關(guān)系:

      假設(shè)M(φi,yi)是系統(tǒng)(7)的線性化系統(tǒng)在奇點(diǎn)(φi,yi)的系數(shù)矩陣,則有

      由平面動(dòng)力系統(tǒng)理論可知,對(duì)一個(gè)平面自治可積系統(tǒng)的奇點(diǎn):若J<0,則奇點(diǎn)是一個(gè)鞍點(diǎn);若J>0,且tr(M(φi,yi))=0,則奇點(diǎn)是一個(gè)中心點(diǎn);若J>0,且(tr(M(φi,yi)))2-4J(φi,yi)=0,則奇點(diǎn)是一個(gè)結(jié)點(diǎn);若J=0,且奇點(diǎn)的指標(biāo)為0,則奇點(diǎn)是一個(gè)高階奇點(diǎn)。

      對(duì)式(8)所定義的函數(shù)H(φ,y),記

      在(c,g)參數(shù)平面,系統(tǒng)(7)的相圖分支曲線Li,i=1,2,3,直線g=0和c=0將參數(shù)空間劃分成若干個(gè)區(qū)域,如圖1所示。

      圖1 k>0時(shí),系統(tǒng)(7)在(c,g)參數(shù)平面內(nèi)的分支曲線

      當(dāng)n=2l1-1時(shí),A2區(qū)域無(wú)奇點(diǎn),系統(tǒng)(7)相圖

      如圖2所示。

      當(dāng)n=2l1時(shí),B1與B4、B2與B3、B5與B6區(qū)域的相圖分別關(guān)于y軸對(duì)稱,如圖3所示。

      3 當(dāng)n=1,n=2,g≠0時(shí),方程(5)的顯式精確行波解

      3.1 n=1時(shí)方程(5)的顯式精確行波解

      當(dāng)n=1時(shí),對(duì)系統(tǒng)(7),分支曲線如圖1(a)所示。

      圖2 n=2l1-1時(shí)系統(tǒng)(7)的相圖

      圖3 n=2l1時(shí),系統(tǒng)(7)的相圖

      當(dāng)(c,g)∈A1時(shí),由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h,h∈(h2,h1)有代數(shù)方程:

      (9)

      由式(9)可得,

      解之得周期波解:

      當(dāng)(c,g)∈A1時(shí),由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h1為系統(tǒng)(7)過(guò)奇點(diǎn)(φ1,0)的同宿軌,其代數(shù)方程為

      (10)

      由式(10)可得,

      解之得孤立波解:

      3.2 n=2時(shí)方程(5)的顯式精確行波解

      當(dāng)n=2時(shí),對(duì)系統(tǒng)(7),分支曲線如圖1(b)所示。圖3中B1與B4、B2與B3、B5與B6的相圖分別關(guān)于y軸對(duì)稱,因此只討論(c,g)∈B1,(c,g)∈B2,(c,g)∈B5的精確解。

      當(dāng)(c,g)∈B1,由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h,h∈(h1,+∞)有代數(shù)方程:

      (11)

      由式(11)可得

      解之得周期波解:

      φ(ξ)=

      其中,

      當(dāng)(c,g)∈B2,由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h,h∈(h1,h3]及h∈(h2,+∞)的代數(shù)方程形同式(11),故其解的情形與(c,g)∈B1相似,此處不再贅述。由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h,h∈(h3,h2)有代數(shù)方程:

      φD<φE<φF<φG。

      (12)

      由式(12)可得,

      解之得周期波解:

      φ(ξ)=

      其中,

      由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h2為系統(tǒng)(7)過(guò)奇點(diǎn)(φ2,0)的同宿軌,其代數(shù)方程為:

      (13)

      由式(13)可得,

      解之得孤立波解:

      φ(ξ)=

      當(dāng)(c,g)∈B5,由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h,h∈(h1,+∞)的代數(shù)方程形同式(11),故其解的情形與(c,g)∈B1相似,此處不再贅述。

      4 g=0時(shí)方程(5)的顯式精確行波解

      4.1 方程(5)的孤立波解

      當(dāng)c>0時(shí),由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=0為系統(tǒng)(7)過(guò)奇點(diǎn)(0,0)的同宿軌(圖2(b),圖3(g)),其代數(shù)方程為

      (14)

      由式(14)可得,

      解之可得

      當(dāng)n=2l1時(shí),

      當(dāng)n=2l1-1時(shí),

      當(dāng)c<0,n=1時(shí),由(8)所定義的軌線H(φ,y)=h1為系統(tǒng)(7)過(guò)奇點(diǎn)(φ1,0)的同宿軌(圖2(c)),φ1=2c/k,其代數(shù)方程為

      (15)

      由式(15)可得

      解之得孤立波解:

      4.2 方程(5)的周期波解

      當(dāng)n=1時(shí),由式(8)所定義的H(φ,y)=h,h∈(h2,h1)(圖2(b)、(c))的代數(shù)方程形同方程(9),故其解與之相似,此處不再贅述。

      當(dāng)n=2,c>0時(shí)(圖3(g)),由式(8)所定義的H(φ,y)=h,h∈(h1,0)有代數(shù)方程:

      0<φM<φN。

      (16)

      由式(16)可得

      解之得周期波解:

      φ(ξ)=

      由式(8)所定義的H(φ,y)=h,h∈(0,+∞)有代數(shù)方程:

      (17)

      由式(17)可得,

      解之得周期波解:

      當(dāng)n=2,c<0(圖3(h)),由式(8)所定義的H(φ,y)=h,h∈(0,+∞)的代數(shù)方程形同方程(17),故其解的情形與之相似,此處不再贅述。

      5 方程(4)的光滑孤立波解和無(wú)窮多光滑周期波解

      2)若n=2l1-1,g=0,則相對(duì)于由(7)所定義的曲線H(φ,y)=h1的分支,方程(4)有1個(gè)光滑峰形孤立波解;相對(duì)于由系統(tǒng)(7)所定義的曲線H(φ,y)=h,h∈(h2,h1)的分支,方程(4)有一族光滑周期波解(見(jiàn)圖2(b)、(c))。

      3)若n=2l1,c>0,g=0,則相對(duì)于由系統(tǒng)(7)所定義的曲線H(φ,y)=0的分支,方程(4)有2個(gè)光滑孤立波解,分別為谷形光滑孤立波解和峰形光滑孤立波解;相對(duì)于由系統(tǒng)(7)所定義的曲線H(φ,y)=h,h∈(h1,0)及h∈(0,+∞)的分支,方程(4)有2族光滑周期波解(見(jiàn)圖(3(g)))。

      4)若n=2l1,c<0,則相對(duì)于由系統(tǒng)(7)所定義的曲線H(φ,y)=h,h∈(h1,+∞)的分支,方程(4)有1族光滑周期波解(見(jiàn)圖3(e)、(f)、(h))。

      一般地,在g≠0,h≠0情況下,使用首次積分式(8)和系統(tǒng)(7)的第一個(gè)方程,不可能得到方程(4)的用參數(shù)表示的顯式精確行波解。

      6 結(jié)束語(yǔ)

      利用平面動(dòng)力系統(tǒng)理論,分析系統(tǒng)(7)在給定參數(shù)區(qū)域內(nèi)的分支情況,并作出相應(yīng)的相圖。結(jié)合相圖,得到了幾種參數(shù)區(qū)域下偶合KdV方程的有界行波解的參數(shù)表達(dá)式。得到了不同參數(shù)條件下,偶合KdV方程存在孤立波解和無(wú)窮多光滑周期波解的充分條件。

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