子結(jié)構(gòu)法在齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)輻射噪聲仿真中的應(yīng)用研究

王晉鵬，宋 敏，王 鵬，劉 嵐，王 瑩

(1.西安航空學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，西安710077；2.西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機(jī)電傳動與控制工程實(shí)驗室，西安710072)

齒輪傳動由于具有傳動比精確、效率高、工作可靠、壽命長等優(yōu)點(diǎn)已成為工業(yè)領(lǐng)域中最常用的傳動形式之一。齒輪傳動裝置在工作過程中由于嚙合剛度波動、制造和安裝誤差等內(nèi)部激勵的影響會產(chǎn)生振動并輻射噪聲，不僅影響工作環(huán)境的舒適性，甚至?xí)ぷ魅藛T的身體造成危害。如何快速準(zhǔn)確低預(yù)估齒輪傳動裝置的輻射噪聲是實(shí)現(xiàn)對其有效控制的基礎(chǔ)，有著重要意義。

齒輪傳動裝置的輻射噪聲主要由以下3 部分組成：

（1）齒輪、軸等的噪聲穿透箱體產(chǎn)生的空氣噪聲；

（2）軸端部振動產(chǎn)生的輻射噪聲；

（3）箱體振動產(chǎn)生的輻射噪聲[1]。

由于箱體的隔聲作用，第三部分是齒輪傳動裝置輻射噪聲的主要來源，目前對于齒輪傳動裝置的輻射噪聲分析就是對該部分進(jìn)行分析。通過建立并求解齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)方程獲得軸承動載荷，以軸承動載荷為激勵采用有限元/邊界元法對箱體的輻射噪聲進(jìn)行分析是目前齒輪傳動裝置輻射噪聲分析中常用的方法之一，其準(zhǔn)確性已經(jīng)得到了廣泛驗證[2-3]。

齒輪傳動裝置通常安裝在基座上，在齒輪箱傳動裝置的輻射噪聲分析中必須計入基座的影響。通過建立基座的有限元/邊界元模型可計入其影響，但該方法同時也會增加計算規(guī)模，降低計算效率。如何提升齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)輻射噪聲的分析效率是目前需要解決的問題之一。

子結(jié)構(gòu)法是提升計算效率的常用方法之一，其在機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動分析中已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用。柴國棟[4]、王雪仁[5]、陳冬冬[6]和張忠[7]等分別應(yīng)用該方法對電子設(shè)備、圓柱殼體、鋁合金車體和運(yùn)載火箭的固有特性進(jìn)行了分析。但該方法在輻射噪聲分析中的應(yīng)用還較少。

本文以一個安裝在基座上的齒輪傳動裝置為對象，采用靜態(tài)子結(jié)構(gòu)法對基座進(jìn)行了等效，在此基礎(chǔ)上建立了輻射噪聲分析模型，通過求解獲得了齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)在不同場點(diǎn)上的聲壓級頻譜，并與全有限元/邊界元模型的分析結(jié)果進(jìn)行了對比，證明了文中方法的準(zhǔn)確性和有效性。

1 模型建立

在已知齒輪系統(tǒng)參數(shù)（包括齒輪參數(shù)、軸的尺寸、軸承型號等）、箱體和基座結(jié)構(gòu)的條件下，可根據(jù)以下流程建立齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)輻射噪聲分析模型。

首先根據(jù)齒輪參數(shù)建立齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)方程，求解該方程可獲得各軸承在不同方向上的動載荷。接著將箱體離散成有限個單元，在每個軸承孔的中心處建立中心節(jié)點(diǎn)，并在各中心節(jié)點(diǎn)與對應(yīng)軸承孔內(nèi)壁所有節(jié)點(diǎn)之間建立剛性耦合，將軸承動載荷施加在對應(yīng)軸承孔的中心節(jié)點(diǎn)處，可建立齒輪-箱體耦合系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)方程，如式(1)所示。

式中：Mgb，Cgb和Kgb分別表示箱體的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；qgb表示位移向量；Fgb表示載荷向量；fbix，fbiy和fbiz表示第i個軸承處x，y和z方向上的載荷；Nb表示軸承個數(shù)；fgbjx，fgbjy和fgbjz表示第j個連接點(diǎn)處x，y和z方向上基座對箱體的載荷；Nc表示連接點(diǎn)數(shù)。

然后，將基座離散成有限個單元，并將基座與箱體的各連接點(diǎn)設(shè)置為主節(jié)點(diǎn)（外部節(jié)點(diǎn)），將其它節(jié)點(diǎn)設(shè)置為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。此時基座剛度矩陣以及相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移和載荷向量可以寫成如式(3)所示的分塊形式。

式中，下標(biāo)I代表內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度，下標(biāo)B代表外部節(jié)點(diǎn)自由度。

式(3)的展開形式如式(4)和式(5)所示。

根據(jù)式(4)可以得到內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移，如式(6)所示。

將式(6)帶入式(5)可以得到凝聚后的基座的運(yùn)動方程，如(7)所示。

式(7)的簡化形式如式(8)所示。

式中：K*BB和F*B就是經(jīng)凝聚后基座的剛度矩陣和載荷向量。同理可得到經(jīng)凝聚后基座的質(zhì)量矩陣M*BB?？梢钥闯鯧*BB(M*BB)綜合了原始剛度（質(zhì)量）矩陣中各分塊矩陣的影響。

矩陣M*BB中非對角線元素（耦合項）對振動噪聲的影響要明顯小于對角線元素（非耦合項）。因此可以忽略該矩陣中的非對角線元素，得到基座的等效質(zhì)量矩陣，如式(9)所示

式中：mjx、mjy、mjz(j=1,2,…,Nc)表示凝聚后基座在各連接點(diǎn)處不同方向上的等效質(zhì)量。

同理可得到基座的等效剛度矩陣，如式(10)所示

式中：kjx、kjy、kjz(j=1,2,…,Nc)表示基座在各連接點(diǎn)處不同方向上的等效剛度。

在獲得了基座的等效質(zhì)量矩陣和等效剛度矩陣后，可建立其運(yùn)動學(xué)方程，如式(11)所示。

式中：qb表示基座的位移向量；fbjx，fbjy和fbjz表示第j個連接點(diǎn)處x，y和z方向上箱體對基座的載荷。

每個連接點(diǎn)處，箱體與基座的位移相等；載荷大小相等，方向相反。根據(jù)該邊界條件對箱體和基座的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣進(jìn)行組裝可建立齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)方程，如式(13)所示。（注：文中未考慮基座的阻尼特性，即基座等效阻尼矩陣中的各元素均為0）。

式中：M、C、K分別為耦合系統(tǒng)的整體質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣分別為耦合系統(tǒng)的加速度，速度和位移向量；f為載荷向量。

采用模態(tài)疊加法對方程(13)進(jìn)行求解可以得到箱體表面各節(jié)點(diǎn)的法向振動速度，如式(14)所示。

式中：vn表示箱體表面的法向速度；ω表示角頻率；j表示模態(tài)階數(shù)；N表示模態(tài)總階數(shù)；Qj(ω)為結(jié)構(gòu)模態(tài)參與因子，代表了各階模態(tài)在結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)中的重要程度；φnj表示箱體的第j階主振型在各表面上的法向分量。

高階模態(tài)對結(jié)果振動的貢獻(xiàn)非常小，因此為了在計算精度和計算規(guī)模之間更好地達(dá)到平衡，一般只取系統(tǒng)的前l(fā)階模態(tài)進(jìn)行求解。

箱體一般具有較大的結(jié)構(gòu)剛度，聲壓變化對結(jié)構(gòu)振動的影響非常小，可忽略不計，其在空氣中的穩(wěn)態(tài)聲學(xué)響應(yīng)可用Helmholtz 方程表示[8]，如式(15)所示。

式中：?為拉格朗日算子；p(r)表示聲場中任意位置r處的聲壓；k為波數(shù)。

采用間接邊界元法對式(15)求解可以得到聲場中任意場點(diǎn)在不同頻率下的聲壓如式(16)所示。

式中：ATV(r，ω)為聲學(xué)傳遞向量，代表了聲場中任意場點(diǎn)處的聲壓與箱體表面法向振動速度間的關(guān)系。

2 結(jié)果與討論

2.1 分析對象

采用上述模型，對一個剛性安裝在基座上的齒輪傳動裝置的輻射噪聲進(jìn)行了仿真分析。齒輪傳動系統(tǒng)的簡圖如圖1所示。

圖1 齒輪系統(tǒng)簡圖

可以看出傳動系統(tǒng)中的齒輪副為斜齒輪副，其參數(shù)如表1所示。箱體的實(shí)體模型如圖2(a)所示，為了方便計算，在建模時忽略了箱體上一些細(xì)小的結(jié)構(gòu)特征，如小的倒角，小的螺栓孔等?；膶?shí)體模型如圖2(b)所示。箱體與基座通過6個螺栓相連，對應(yīng)的連接點(diǎn)編號如圖2(b)所示。

表1 斜齒輪副的基本參數(shù)

圖2 箱體和基座的實(shí)體模型

2.2 軸承動載荷

將圖1所示的齒輪系統(tǒng)離散成一系列節(jié)點(diǎn)并組成不同類型單元，建立了其有限單元模型[9]，如圖3所示。從圖3中可以看出，齒輪系統(tǒng)的有限單元模型中共包含4 類節(jié)點(diǎn)和3 類單元。其中軸節(jié)點(diǎn)通常選取在軸的端點(diǎn)、軸截面尺寸有突變處、軸承寬度端點(diǎn)處以及齒輪齒寬端點(diǎn)處。功率節(jié)點(diǎn)通常選取在功率輸入端（輸出端）平鍵、花鍵或聯(lián)軸器的中點(diǎn)處。軸承節(jié)點(diǎn)通常選取在軸承中點(diǎn)處。齒輪節(jié)點(diǎn)通常選取在齒寬中點(diǎn)處。軸單元建立在同一根軸上的相鄰節(jié)點(diǎn)之間，文中用Timoshenko 梁單元來模擬軸單元。嚙合單元建立在兩嚙合齒輪節(jié)點(diǎn)之間，文中在建立嚙合單元時忽略了兩嚙合齒輪間的相互摩擦。軸承單元建立在軸承節(jié)點(diǎn)和固定點(diǎn)之間，文中通過滾動軸承在各方向上的剛度和阻尼來等效軸承單元。

圖3 齒輪系統(tǒng)的有限單元模型

通過求解齒輪系統(tǒng)的有限單元模型，獲得了各軸承節(jié)點(diǎn)在不同方向上的位移和速度，將該位移和速度與對應(yīng)的軸承剛度和阻尼相乘并求和獲得了各軸承在不同方向上的動載荷。輸入轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，輸出扭矩為2 000 N·m 時各軸承在不同方向上的動載荷如圖4所示。從圖4中可以看出，各軸承上動載荷的峰值主要出現(xiàn)在嚙合頻率（1 450 Hz）及其二倍頻（2 900 Hz）處。輸入軸各軸承（軸承1和軸承2）上的動載荷明顯大于輸出軸各軸承（軸承3 和軸承4），主要因為輸入軸的剛度小于輸出軸，在相同工作條件下，輸入軸的振動比輸入軸明顯。

2.3 基座的等效質(zhì)量和剛度

由箱體振動產(chǎn)生的輻射噪聲是齒輪傳動裝置輻射噪聲的主要來源，因此為了提升計算效率對基座進(jìn)行了等效。建立基座的有限元模型并在各連接點(diǎn)處設(shè)置主節(jié)點(diǎn)，通過子結(jié)構(gòu)法獲得了基座在各連接點(diǎn)處不同方向上的等效質(zhì)量，結(jié)果如表2所示。由于基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的對稱性，連接點(diǎn)1、3、4和6處的等效質(zhì)量基本相同，連接點(diǎn)2和5處的等效質(zhì)量基本相同。

表2 基座在各連接點(diǎn)處的等效質(zhì)量

建立基座的有限元模型，分別在各連接處的不同方向上施加單位載荷，通過靜力學(xué)分析獲得了各連接點(diǎn)處不同方向上的位移，用載荷除以對應(yīng)的位移獲得了基座在各連接點(diǎn)處不同方向上的等效剛度，結(jié)果如表3所示。

表3 基座在各連接點(diǎn)處的等效剛度

可以看出連接點(diǎn)1、3、4 和6 處的等效剛度基本相同，連接點(diǎn)2 和5 處的等效剛度基本相同，產(chǎn)生該現(xiàn)象的主要原因是基座結(jié)構(gòu)的對稱性。

圖4 各軸承上的動載荷頻譜

2.4 輻射噪聲

將箱體離散成有限個單元，并在各連接點(diǎn)處以質(zhì)量單元和彈簧單元等效基座，以各軸承上的動載荷作為激勵采用有限元/邊界元法分析獲得了各場點(diǎn)上的輻射噪聲。輸入轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，輸出扭矩為2 000 N·m 時各場點(diǎn)（場點(diǎn)位置如圖5所示）上的聲壓級頻譜如圖6所示。從圖6中可以看出各場點(diǎn)上聲壓級的峰值均出現(xiàn)在嚙合頻率（1 450 Hz）及其2 倍頻（2 900 Hz）處，與軸承動載荷的分布規(guī)律一致。

圖5 各主要場點(diǎn)的位置

3 模型驗證

為了驗證文中提出的基于子結(jié)構(gòu)法的齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)輻射噪聲分析模型的準(zhǔn)確性，建立了箱體-基座的全有限元/邊界元模型（如圖7所示），在軸承孔處施加對應(yīng)的軸承動載荷對齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)的輻射噪聲重新進(jìn)行了分析，并與通過子結(jié)構(gòu)法獲得的分析結(jié)果進(jìn)行了對比。

圖6 各場點(diǎn)上的輻射噪聲頻譜

圖7 齒輪-箱體-基座的全有限元/邊界元模型

輸入轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，輸出扭矩為2 000 N·m時通過不同方法獲得的各場點(diǎn)上的輻射噪聲頻譜如圖8-圖12所示。

從圖8-圖12中可以看出通過子結(jié)構(gòu)法和全有限元/邊界元法分析獲得的各場點(diǎn)上聲壓級頻譜的峰值均出現(xiàn)在嚙合頻率及其2 倍頻處，并且峰值都比較接近。

表4中對比了輸入轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，輸出扭矩為2 000 N·m時通過子結(jié)構(gòu)法和全有限元/邊界元法分析獲得的各場點(diǎn)上的有效聲壓級。

圖8 場點(diǎn)1上輻射噪聲頻譜對比

圖9 場點(diǎn)2上輻射噪聲頻譜對比

圖10 場點(diǎn)3上輻射噪聲頻譜對比

圖11 場點(diǎn)4上輻射噪聲頻譜對比

圖12 場點(diǎn)5上輻射噪聲頻譜對比

從表4中可以看出通過子結(jié)構(gòu)法和全有限元/邊界元法分析獲得的各場點(diǎn)上有效聲壓級間的最大差值未超過4.5 dB（其中4個場點(diǎn)上的差值均未超過4 dB），證明了文中提出的基于子結(jié)構(gòu)法的齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)輻射噪聲分析模型的準(zhǔn)確性。

表4 不同方法獲得的各場點(diǎn)上有效聲壓級的對比/(dB)

在對分析結(jié)果進(jìn)行對比和驗證的同時，還對兩種方法的求解時間進(jìn)行了對比。結(jié)果表明對于文中的齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)，用子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行輻射噪聲分析共需要1 975 s，而用全有限元/邊界元法進(jìn)行分析共需要6 034 s。采用子結(jié)構(gòu)法后，計算時間縮短了67.3%。

4 結(jié)語

本文采用靜態(tài)子結(jié)構(gòu)法對基座進(jìn)行了等效，在此基礎(chǔ)上建立了齒輪-箱體-基座耦合系統(tǒng)的輻射噪聲分析模型，通過求解獲得了箱體-耦合系統(tǒng)各場點(diǎn)處的輻射噪聲頻譜；并與全有限元/邊界元法的分析結(jié)果進(jìn)行了對比。主要結(jié)論如下：

(1)各連接點(diǎn)處加速度級的峰值均出現(xiàn)在嚙合頻率及其2倍頻處，與軸承動載荷的分布規(guī)律一致。

(2)通過子結(jié)構(gòu)法分析獲得的箱體-基座耦合系統(tǒng)在各場點(diǎn)處的有效聲壓級與全有限元/邊界元法分析結(jié)果間的差距均未超過4.5 dB，證明了文中提出的用子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行箱體-基座耦合系統(tǒng)輻射噪聲分析的準(zhǔn)確性。

(3)結(jié)合子結(jié)構(gòu)法和有限元/邊界元法進(jìn)行箱體-基座耦合系統(tǒng)輻射噪聲分析需要的時間僅為全有限元/邊界元法的32.7 %。表明文中提出的方法方法可極大地提高計算效率。