改進加權(quán)空間平滑MUSIC算法*

鄭 棋 ，肖曼琳 ，施華杰 ，趙旻杰

（1.上海工程技術(shù)大學 城市軌道交通學院，上海 201600；2.上海地鐵維護保障有限公司，上海 201600）

0 引 言

相干環(huán)境下信源波達方向估計是陣列信號處理領(lǐng)域里的一個重要分支，而基于空間譜估計的MUSIC算法，以其高精度的角度估計性能成為研究重點[1-2]。但在相干信源環(huán)境下，因信號子空間和噪聲子空間不滿足正交性，奇異的信源協(xié)方差矩陣的秩小于信號源數(shù)，使得該類方法失效。相干環(huán)境下信源波達方向估計的主要思路是先對陣列接收信號做預(yù)處理，在保持方位信息的前提下最大限度地對空間信源去相關(guān)，使信源協(xié)方差矩陣的秩恢復到信源數(shù)，并盡可能使其與對角陣，然后再利用常規(guī)的信號子空間類算法估計信源的到達角。

現(xiàn)有的對相干信源波達方向估計的算法，最典型的方法是空間平滑算法[3-4]。文獻[5]對前向空間平滑算法（Forward Spatial Smoothing，F(xiàn)SS）進行了深入的研究和討論；文獻[6]提出了前后向空間平滑算法，通過增加子陣間的平滑次數(shù)，提高對相干信源的估計性能；文獻[7]分析了前后向空間平滑算法的局限性，證明了前后向空間平滑算法的性能與相干信源的相對相位關(guān)系有較大的關(guān)系。為了進一步利用信號間的協(xié)方差矩陣信息，文獻[8]提出了加權(quán)空間平滑算法（Weighted Spatial Smoothing，WSS），先利用常規(guī)的估計算法粗略得到信源方位信息，構(gòu)造加權(quán)因子，實現(xiàn)相干信源的方向估計，但其角度估計精度受加權(quán)因子的優(yōu)劣影響很大；文獻[9]對構(gòu)造加權(quán)因子提出改進，不需要預(yù)估計信源方向，直接利用陣列的輸出數(shù)據(jù)計算最優(yōu)加權(quán)矩陣，并得到信源方向；本文在文獻[9]的基礎(chǔ)上，提出了改進加權(quán)空間平滑算法（Main Weighted Spatial Smoothing，MWSS），利用子陣間的協(xié)方差矩陣的特殊關(guān)系，對加權(quán)矩陣進行空間平滑，充分利用子陣輸出的自相關(guān)和互相關(guān)信息，從而進一步提高算法對相干信源的估計性能。

本文結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)，對信號模型進行理論分析；第2節(jié)，介紹加權(quán)空間平滑算法。第3節(jié)，對原改進加權(quán)空間平滑算法進行分析；第4節(jié)，提出改進加權(quán)空間平滑算法；第5節(jié)，對上述算法進行仿真，驗證其性能；第6節(jié)，總結(jié)改進加權(quán)空間平滑算法對相干信源的測向性能。

1 信號模型

假設(shè)天線的陣元數(shù)為M，陣元間隔為d的均勻線陣，有k個入射的窄帶信號，入射角度分別為θk（k=1,2,…,K），以第一個陣元為參考陣，則信號入射到天線的示意圖如圖1所示。

圖1 天線陣列模型

則第m個陣元的接收數(shù)據(jù)為：

式中，am（θk）為第m個陣元上第k個信號的響應(yīng)矢量，sk（t）為第 k 個信源，nm（t）為第 m 個陣元的噪聲值。

則線陣所接收的輸入信號的向量形式：

定義陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為：

式中，RS和RN分別表示信號的協(xié)方差矩陣和噪聲的協(xié)方差矩陣。

2 加權(quán)空間平滑算法

為解決相干信源的波達方向（Direc tion of Arriva，DOA）估計問題，文獻[8]提出了加權(quán)前向空間平滑算法（Weighted Forward Spatial Smoothing，WFSS）。將前向陣列協(xié)方差矩陣中L2個p階子矩陣進行加權(quán)平均，而權(quán)值的優(yōu)化以平滑后等價的信源協(xié)方差矩陣與對角陣的逼進為約束條件。平滑后的協(xié)方差矩陣Rwf如式（6） 所示：

其中，F(xiàn)i=[0p×（ i-1）|Ip|0p×（N-i-p+1）]，F(xiàn)j=[0p×（ j-1）|Ip|0p×（N-j-p+1）]，wij為子矩陣Rij的加權(quán)系數(shù)，Rij為子陣i和子陣j的互相關(guān)協(xié)方差矩陣。定義加權(quán)矩陣W如式（5）所示：

其 中，W=（B·BH）+，（·）+表 示 復 共 軛 矩 陣，B=[b（θ^1）,b（θ^2）,…,b（θ^L）]，b（θ^i）為預(yù)估計的信源導向矢量?？芍訖?quán)矩陣W的選取與矩陣B有關(guān)，而矩陣B與信源方位有關(guān)。文獻[8]采用不受相干信源影響的DOA估計算法進行DOA 的粗估，再選取矩陣B構(gòu)造加權(quán)矩陣W。

3 原改進加權(quán)空間平滑MUSIC算法

文獻[9]為了簡單、有效地得到加權(quán)矩陣W，直接用陣列的協(xié)方差矩陣構(gòu)造W，降低了WSS算法的信源方向預(yù)估計誤差，提高了估計精度。原改進加權(quán)空間平滑MUSIC算法（Weighted Spatial Smoothing MUSIC，WFB-MUSIC）的實質(zhì)是采用兩次不同的方法劃分原陣列，保證第1次劃分的子陣數(shù)等于第2次劃分的子陣的陣元數(shù)，即第1次劃分的子陣的陣元數(shù)與第2次劃分的子陣數(shù)相等。以此保證加權(quán)矩陣元素的數(shù)目等于被加權(quán)矩陣的個數(shù)，使加權(quán)因子與被加權(quán)矩陣相對應(yīng)；具體步驟如下。

（1）分割天線陣列，分割后子陣的陣元數(shù)目為p，則子陣數(shù)為L=M-p+1，取L,p＞m。采用前后向空間平滑算法得協(xié)方差矩陣為：

式中：J為置換矩陣，（·）*表示共軛。利用R1求加權(quán)矩陣W，即W=（R1）*，可知W為p×p維對角矩陣。

（2）分割天線陣列，保證所取子陣的陣元數(shù)L，子陣數(shù)為p，滿足M-L+1=p。利用所求的W對前后向陣列協(xié)方差矩陣中p2個自、互相關(guān)矩陣Rij加權(quán)，得到新的協(xié)方差矩陣。

（3）對Rwf進行特征分解，應(yīng)用MUSIC超分辨算法進行DOA估計。

4 改進加權(quán)空間平滑MUSIC算法

為了充分利用陣列輸出的自相關(guān)和互相關(guān)信息，提高信號子空間與噪聲子空間的正交性，本文在文獻[9]的基礎(chǔ)上提出了改進加權(quán)空間平 滑MUSIC算法（Main Weighted Spatial Smoothing MUSIC，MWFBMUSIC）。利用文獻[9]原改進加權(quán)空間平滑MUSIC算法得到信源的預(yù)估計值 [θ^1,θ^2,…,θ^K]，再利用預(yù)估值構(gòu)建加權(quán)矩陣W，并對W進行平 滑處理，獲得最優(yōu)加權(quán)矩陣Wopt。具體步驟如下：

（1）利用文獻[9]所得到的信源信息構(gòu)造加權(quán)矩陣W：

（2）對加權(quán)矩陣W做平滑處 理，如圖2所示，保證所取子矩陣為p×p維，平滑次數(shù)為M-p+1=M-（M-L+1）+1=L，求得加權(quán)矩陣 Wopt：

圖2 加權(quán)矩陣平滑示意圖

式中，F(xiàn)k=[0p×（k-1）|Im|0p×（N-k-p+1）]，可知 Wopt為 p×p維對角矩陣。

（3）利用所求的Wopt，對前后向陣列協(xié)方差矩陣中p2個自、互相關(guān)矩陣Rij加權(quán)，得到新的協(xié)方差矩陣Rmwf：

（4）對Rmwf進行特征分解，應(yīng)用MUSIC超分辨算法進行DOA估計。

改進加權(quán)空間平滑MUSIC算法，相比加權(quán)空間平滑算法，不需要預(yù)估計信源方向，直接利用陣列的輸出數(shù)據(jù)計算最優(yōu)加權(quán)矩陣，提高了算法的穩(wěn)健性。相比于原改進加權(quán)空間平滑算法，更加充 分的利用了陣列輸出的自相關(guān)和互相關(guān)信息，提高了信號子空間與噪聲子空間的正交性，對相干信源具有更好的角度估計性能。

5 算法仿真及性能比較

圖3給出了上述MWFB-MUSIC算法、WFBMUSIC算法和MMUSIC算法在信噪比為10 dB時的DOA估計的性能仿真圖。由圖3可知，在多相干信源條件下，常規(guī)的MMUSIC算法已經(jīng) 完全失效，不能 對相干信源的方向進行準確的估計，MWFB-MUSI C算法和WFB-MUSIC算法均能對信源方向有較準確的估計，但在10°，15°，25°方向角時，MWFB-MUSIC算法均比WFB-MUSIC算法具有更高的精確度，說明MWFB-MUSIC算法對相干信源具有更好的效果。實驗2，采用陣元間距為半波長總陣元數(shù)M=16的均勻線陣。第1次空間平滑子陣的陣元數(shù)p1=5，第2次空間平滑子陣的陣元數(shù)p2=12。并假設(shè)相干信號源入射 角度為10°， 15°，30°，對MWFB-MUSIC算法和WFB-MUSIC算法在不同信噪比和快拍數(shù)下分別進行了10000次Monte Carlo實驗。

圖3 精確度仿真圖

圖4 和圖5給出了上述MWFB-MUSIC算法和WFB-MUSIC算法在不同信噪比和快拍數(shù)下的均方根誤差。由圖可知，兩種改進的加權(quán)空間平滑MUSIC算法均能對相干信源方向有較準確的估計，但同樣的環(huán)境下MWFB- MUSIC算法明顯比WFB-MUSIC算法的角度誤差小，表明了MWFB-MUSIC算法在相同環(huán)境下優(yōu)于WFB-MU SIC算法。

圖4 不同信噪比估計方差比較

圖5 不同快拍數(shù)估計方差比較

6 結(jié) 語

本文提出了一種改進加權(quán)空間平滑MUSIC算法（MWFB-MUSIC），該算法充分利用了陣列輸出的自相關(guān)和互相關(guān)信息，提高了信號子空間與噪聲子空間的正交性，使其對相干信源的 處理具有較好的效果。通過實驗得 出，MWFB-MUSIC算法比原加權(quán)空間平滑算法（WFB-MUSIC）具有更高的精確度，在相同信噪比和快拍數(shù)下，MWFB-MUSIC算法均優(yōu)于WFB-MUSIC算法，表明了新算法的有效性。