多邊時(shí)滯脈沖反饋方法控制SAS的混沌與降低損失率

陳 明，朱學(xué)帥

(1.湖北中醫(yī)藥高等?？茖W(xué)校公共基礎(chǔ)部，湖北 荊州 434020；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)化學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083)

0 引言

開關(guān)流系統(tǒng)(switched flow system,SFS)[1]是一種典型的混合系統(tǒng)，分為開關(guān)到達(dá)系統(tǒng)(switched arrival system,SAS)[1-3]和開關(guān)服務(wù)系統(tǒng)(switched service system,SSS)兩類。SAS具有廣泛的工程背景，常用來(lái)研究復(fù)雜工業(yè)控制系統(tǒng)?；煦邕\(yùn)動(dòng)[3]是一種無(wú)法精確重復(fù)、貌似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)。由于混沌運(yùn)動(dòng)的不確定性，多數(shù)情況下應(yīng)該抑制混沌運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生。SAS在某些情況下會(huì)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，且系統(tǒng)本身存在周期軌[4-5]。為此，以周期軌為控制目標(biāo)，實(shí)施多邊時(shí)滯脈沖反饋方法[5-7]來(lái)控制SAS中混沌現(xiàn)象，但該方法是基于開關(guān)時(shí)間[1,2,5]為0的情況。而實(shí)際工業(yè)控制中，開關(guān)時(shí)間一般大于0。此時(shí)系統(tǒng)不僅有混沌現(xiàn)象，還會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)損失。為此對(duì)多邊時(shí)滯脈沖反饋方法加以改進(jìn)[8-12]，使其既能控制SAS中混沌現(xiàn)象，又能降低系統(tǒng)的損失率,同時(shí)還能探測(cè)目標(biāo)周期軌道。

1 開關(guān)到達(dá)系統(tǒng)與系統(tǒng)損失

1.1 開關(guān)到達(dá)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型與開關(guān)時(shí)間

服務(wù)器切換方法：當(dāng)某緩沖器i量值為0，服務(wù)器當(dāng)即轉(zhuǎn)到緩沖器i上進(jìn)原料，設(shè){tn}是服務(wù)器在緩沖器之間轉(zhuǎn)換的時(shí)間序列。根據(jù)服務(wù)器切換方法，可得:

(1)

當(dāng)t∈[tn、tn+1),服務(wù)器正向緩沖器q(tn)進(jìn)原料，而xi(t)為:

(2)

當(dāng)n=3時(shí)，開關(guān)到達(dá)系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 開關(guān)到達(dá)系統(tǒng)(n=3)

假設(shè)服務(wù)器從某個(gè)緩沖器轉(zhuǎn)換到另外一個(gè)緩沖器所需要的時(shí)間為開關(guān)時(shí)間，而服務(wù)器在緩沖器之間來(lái)回切換則為開關(guān)事件。上述開關(guān)時(shí)間是忽略不計(jì)的，即開關(guān)時(shí)間為0。而實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)控制中，服務(wù)器在緩沖器之間切換是需要時(shí)間的，且有時(shí)不可避免或有意為之。為了更加接近工業(yè)生產(chǎn)控制實(shí)際，下文將系統(tǒng)開關(guān)時(shí)間設(shè)為定值λ>0。為便于論述以及數(shù)值模擬，不失一般性，以n=3為例。

1.2 開關(guān)時(shí)間大于0時(shí)系統(tǒng)損失

系統(tǒng)損失是指緩沖器在某一時(shí)間段內(nèi)因產(chǎn)出速度為0，使系統(tǒng)整體產(chǎn)出小于1，以降低生產(chǎn)效率。已知開關(guān)時(shí)間λ>0,{tn}為服務(wù)器在緩沖器之間切換的時(shí)間序列。兩種情況下，系統(tǒng)產(chǎn)生損失。首先，根據(jù)SAS中服務(wù)器切換方法可知，當(dāng)t=tn時(shí)，系統(tǒng)中某個(gè)緩沖器排空，服務(wù)器并不能立即切換該緩沖器，而是繼續(xù)向以前選定的緩沖器進(jìn)入，直到t=tn+λ時(shí)，服務(wù)器才切換到空緩沖器上。而此時(shí)間段(t∈[tn,tn+λ])因空緩沖器存在，使該緩沖器產(chǎn)出速度變?yōu)?而導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)出速度減少，因而系統(tǒng)產(chǎn)生損失。再則，當(dāng)已有一個(gè)緩沖器排空時(shí)，會(huì)出現(xiàn)另一個(gè)緩沖器也排空情況。假定t=tn+γ(0<γ<λ)時(shí)，又一個(gè)緩沖器排空，則服務(wù)器首先在t=tn+λ時(shí)切換到首先排空的緩沖器上，接著在t=tn+λ+γ時(shí)切換到其次排空的緩沖器上。在t∈[tn,tn+γ]和t∈[tn+λ,tn+λ+γ)這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，系統(tǒng)有一個(gè)空緩沖器存在；在t∈[tn+γ,tn+λ)這個(gè)時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)有兩個(gè)空緩沖器存在，由于空緩沖器產(chǎn)出速度為0而導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生損失。為保持系統(tǒng)動(dòng)態(tài)平衡，這些時(shí)間段內(nèi)的服務(wù)器進(jìn)入速度要減少到與系統(tǒng)產(chǎn)出速度相等?；谙到y(tǒng)軌線運(yùn)行區(qū)域S描述，系統(tǒng)軌線會(huì)沿著某個(gè)邊界滑動(dòng)γ時(shí)間后到達(dá)某個(gè)頂點(diǎn)，駐留時(shí)間λ-γ后，繼續(xù)沿著另一個(gè)邊界滑動(dòng)γ時(shí)間后離開該邊界。

2 開關(guān)時(shí)間大于0時(shí)多邊時(shí)滯脈沖反饋控制

2.1 多邊時(shí)滯脈沖反饋控制

(3)

式中：α為存在且能改變的控制系數(shù)。

此方法優(yōu)點(diǎn)是不需要確定目標(biāo)周期軌具體位置，反而能夠探測(cè)到周期軌具體位置。

2.2 開關(guān)時(shí)間大于0時(shí)控制方法的改變

開關(guān)時(shí)間大于0時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生損失，所以降低開關(guān)事件的發(fā)生次數(shù)來(lái)降低損失率是可行的，同時(shí)還要控制系統(tǒng)混沌現(xiàn)象。該方法的改變是對(duì)實(shí)施控制時(shí)間進(jìn)行選擇，以避免在實(shí)施控制時(shí)發(fā)生開關(guān)事件，并且選定1-周期軌為控制目標(biāo)，即設(shè)m=1。

(4)

顯然{θni}是從{θni}選出的子序列，即有{θki}?{θni}，而第ki次控制量大小為:

(5)

因此，第ki次控制結(jié)束時(shí)間為:

(6)

控制時(shí)間的改變不僅可以避免在控制時(shí)間內(nèi)開關(guān)事件的發(fā)生，而且也不影響該方法的有效性，既能夠降低系統(tǒng)損失率，又能夠控制系統(tǒng)混沌現(xiàn)象。

2.3 周期軌道

選擇系統(tǒng)軌線運(yùn)行區(qū)域的某個(gè)邊界Si作為龐加萊截面(Poincare section,PS)[2,5]。采用系統(tǒng)軌線在不同時(shí)間到達(dá)此邊界的具體位置來(lái)研究軌線的運(yùn)行規(guī)律，并以此來(lái)定義周期軌道。

設(shè){θni}為系統(tǒng)軌線x(t)第ni次到達(dá)某邊界Si的時(shí)間序列，若有：

x(θni)=x(θni+m)

(7)

則邊界Si定義下的以m為周期的周期軌道，記為per[x(t)|Si]=m。

但是選定不同的邊界作為龐加萊截面，得到周期軌的周期可能不同。進(jìn)一步定義為：

(8)

SAS系統(tǒng)以m為周期的周期軌，記為m-周期軌。

3 數(shù)值驗(yàn)證

3.1 混沌控制與損失率比較

設(shè)系統(tǒng)初始值x=[0 0.25 0.75]T，開關(guān)時(shí)間為λ=0.2和λ=0.3時(shí)，α=0.95，以1-周期軌道為控制目標(biāo)，模擬有無(wú)施加控制情況下系統(tǒng)軌線分別如圖2、圖3所示。施加控制后不僅消除了混沌現(xiàn)象，而且將系統(tǒng)軌線穩(wěn)定到1-周期軌道上。

圖2 有無(wú)施加控制的系統(tǒng)軌線(λ=0.2)

圖3 有無(wú)施加控制的系統(tǒng)軌線(λ=0.3)

表1 有無(wú)施加控制的系統(tǒng)損失率

圖4 有無(wú)施加控制的系統(tǒng)損失率曲線

3.2 周期軌道探測(cè)

取系統(tǒng)初始值x=[0 0.28 0.8]T，開關(guān)時(shí)間為λ=0、0.25時(shí)，分別模擬有無(wú)開關(guān)時(shí)間情況下1-周期軌線，如圖5、圖6所示。注意到當(dāng)開關(guān)時(shí)間存在時(shí)，周期軌道在系統(tǒng)邊界上滑動(dòng)過(guò)程對(duì)應(yīng)為開關(guān)事件，時(shí)間上則對(duì)應(yīng)于開關(guān)時(shí)間。

圖5 1-周期軌道(λ=0)

圖6 1-周期軌道(λ=0.25)

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)更接近工業(yè)生產(chǎn)實(shí)際的開關(guān)時(shí)間大于0的SAS，時(shí)滯脈沖反饋控制方法優(yōu)點(diǎn)是不需要預(yù)先知道目標(biāo)周期軌，反而能探測(cè)周期軌。改進(jìn)后的多邊時(shí)滯脈沖控制方法不僅可以抑制系統(tǒng)混沌現(xiàn)象，還能有效降低系統(tǒng)損失，同時(shí)探測(cè)周期軌道。因此，該方法應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)實(shí)際中，可以提高生產(chǎn)效率，具有廣泛的實(shí)效性、推廣性和移植性。