拉普拉斯變換在廣義積分及微分方程求解中的應(yīng)用

董姍姍，宮原野

（1.安徽科技學院 信息與網(wǎng)絡(luò)工程學院，安徽 鳳陽 233100；2.蚌埠學院 計算機工程學院，安徽 蚌埠 233000）

0 引言

拉普拉斯變換作為積分變換的重要內(nèi)容，在通信類、控制類、電氣類等專業(yè)課中有著廣泛的運用［1-3］。如控制工程中研究阻尼振動需要用到狄利克雷積分，工程熱物理中研究熱傳導需要用到泊松積分，理論光學中研究光的衍射需要用到菲涅爾積分等。高等數(shù)學運用傳統(tǒng)的積分方法求解這類積分顯得非常復(fù)雜，在運算中還需要特殊的運算技巧［4-6］。物理學與工程（電路、線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等）方面的許多問題都可以歸結(jié)為微分方程的定解來考慮［7-11］，通過拉普拉斯變換可以很方便地對微分方程進行求解。本文通過大量的例子，重點討論拉普拉斯變換在廣義積分與微分方程中的應(yīng)用。

1 預(yù)備知識

定義［2-3］設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間(0,+∞)上有定義，且積分在 Res ＞c時收斂，由此積分結(jié)果記為F(s)，稱為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，記為F(s)=L{f(t)}，即

式中，F(xiàn)(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù)。

根據(jù)式（1）可以得到如下結(jié)論：若象函數(shù)F(s)的所有奇點都位于y軸左側(cè)，則

性質(zhì)1設(shè)L{f(t)}=F(s)，若函數(shù)f(t)可導，則

性質(zhì)2設(shè)L{f(t)}=F(s)，若函數(shù)f(t)可積，則

性質(zhì)3設(shè)L{f(t)}=F(s)，若象函數(shù)F(s)可導，則

性質(zhì)4設(shè)L{f(t)}=F(s)，若象函數(shù)F(s)可積，則

性質(zhì)5設(shè)L{f(t)}=F(s)，則

2 利用拉普拉斯變換求解廣義積分

例1計算。

解上述積分為傅汝蘭尼積分的一個推廣，利用拉普拉斯變換求解。

根據(jù)式（6）可知

再根據(jù)式（2）可知

例2計算狄利克雷積分。

解法一由于狄利克雷積分收斂，引入?yún)⒆兞縯，使其成為t的函數(shù)。令，設(shè)L[f(t)]=F(s)，則有

再取F(s)的拉普拉斯反變換，則。

解法二根據(jù)根據(jù)其積分性質(zhì)可知

再根據(jù)式（2）可得

解法三根據(jù)式（6）可知

例3計算。

解上述積分為狄利克雷積分的推廣，由，根據(jù)式（7）可得

根據(jù)象函數(shù)積分性質(zhì)可知

根據(jù)式（2）可知

例4計算。

解由積分，根據(jù)式（4）可知

例5計算歐拉-泊松積分。

解根據(jù)達朗貝爾判別法可知歐拉-泊松積分收斂，引入?yún)⒆兞縯，使其成為t的函數(shù)。

根據(jù)F(s)的反變換，由可以推導出進而得出。

3 采用拉普拉斯變換求解微分方程

利用拉普拉斯變換求解微分方程的解題思路：

1）微分方程兩端同時取拉普拉斯變換，將常系數(shù)的微分方程轉(zhuǎn)化為象函數(shù)的代數(shù)方程；

2）求解象函數(shù)滿足的微分方程，得到象函數(shù)；

3）對象函數(shù)進行拉普拉斯反變換，從而得到原方程的解。

例6求常微分方程y″(t)-3y′(t)+2y(t)=2e3t，滿足初值條件y(0)=2 ，y′(0)=3 的解。

解設(shè)L{y(t)}=Y(s)，在方程兩端取拉普拉斯變換可得

將初值條件代入，得到關(guān)于Y(s)的代數(shù)方程為

利用待定系數(shù)法將式（8）分解為3 個簡單分式和的形式，即

再利用拉普拉斯變換的逆變換，可以得到滿足初始條件方程的解為

例7求解分段微分方程

其中y(0)=0，y′(0)=0。

解方程兩邊同時進行拉普拉斯變換得

整理得

對式（9）求拉普拉斯反變換可以得到

例8求微分方程組的解。

解在方程兩邊同時進行拉普拉斯變換得

取X(s),Y(s)拉普拉斯反變換可得。

4 結(jié)語

狄利克雷積分、歐拉-泊松積分等工程領(lǐng)域常用的廣義積分計算有多重方法，本文通過引入?yún)⒆兞縯構(gòu)造新的函數(shù)，進而運用拉普拉斯變換的相關(guān)性質(zhì)對這類積分的計算給出了詳細的分析思路及計算方法。本文所提出的方法較為簡單，可以在求解這類廣義積分中進行推廣。在微分方程求解過程中，巧妙地運用拉普拉斯變換，可以在一定程度上簡化運算，豐富了微分方程求解的方法。