協(xié)變量缺失下變系數(shù)部分非線性 模型的統(tǒng)計推斷

杜海燕 王連國 王秀麗

( 1)山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，250358，濟南； 2)濟南市龍奧學(xué)校，250000，濟南 )

1 引 言

本文考慮變系數(shù)部分非線性模型，其一般形式為

Y=XTα(U)+g(Z,β)+ε，

(1)

其中X∈Rq,Z∈Rr,U∈R,g(·,·)是已知的非線性函數(shù)，β=(β1,…,βp)T為未知的參數(shù)向量，α(·)=(α1(·),…,αq(·))T是未知的q-維系數(shù)函數(shù)，ε為模型誤差且滿足E(ε|X,Z,U)=0，Var(ε|X,Z,U)=σ2,X,Z及U為協(xié)變量，Y為響應(yīng)變量.關(guān)于模型(1)的統(tǒng)計推斷，已經(jīng)有部分學(xué)者對其進行了研究，Li和Mei[1]最先提出了該模型的統(tǒng)計推斷問題，他們主要采用了非線性最小二乘方法對參數(shù)部分和非參數(shù)部分進行了估計. Zhou 、Zhao和Wang[2]研究了變系數(shù)部分非線性模型的經(jīng)驗似然統(tǒng)計推斷，構(gòu)造了參數(shù)和非參函數(shù)的置信域. 模型(1)具有良好的靈活性，它包含了多種模型，比如，當(dāng)g(Z,β)=0時,該模型就是變系數(shù)模型，該模型的討論在Fan和Zhang[3]的文章中可見. 當(dāng)g(Z,β)=ZTβ時，該模型就變成了常見的變系數(shù)部分線性模型. 若X=1和q=1，模型(1) 就成為Li和Nie[4]研究的部分非線性模型. 若模型(1) 中不存在協(xié)變量X,U,則模型就是非線性模型，Bates 和Watts[5]對其進行了研究.

在實際應(yīng)用中，我們往往不能獲得全部的觀測數(shù)據(jù)，經(jīng)常遇到數(shù)據(jù)缺失的情形，處理該情形的常用方法有: 完全數(shù)據(jù)分析法，逆概率加權(quán)法，似然方法等.在協(xié)變量缺失下情形下，Liang[6]研究了協(xié)變量缺失時的半?yún)?shù)廣義部分線性模型，將局部線性回歸與局部擬似然方法和加權(quán)估計方程相結(jié)合，估計了參數(shù)分量和非參數(shù)分量.Liang和Qin[7]運用經(jīng)驗似然的方法對部分線性模型中的參數(shù)分量和非參數(shù)分量進行估計，并得到了相關(guān)的漸近性質(zhì). Chen、Feng和Xue[8]基于逆概率加權(quán)最小二乘方法研究了協(xié)變量缺失數(shù)據(jù)下半?yún)?shù)變系數(shù)部分線性模型的估計問題. 本文基于逆概率加權(quán)最小二乘方法，考慮了協(xié)變量Z缺失下變系數(shù)部分非線性模型的統(tǒng)計推斷.

2 估計方法

設(shè){(Yi,Xi,Zi,Ui),i=1,…,n}是來自以下變系數(shù)部分非線性模型的獨立同分布觀測樣本

Yi=XiTα(Ui)+g(Zi,β)+εi,i=1,2,3,…,n,

(2)

其中(Yi,Xi,Ui)可以完全觀測，協(xié)變量Zi隨機缺失.引入示性變量δi，當(dāng)δi=1時，Zi可觀測，當(dāng)δi=0時，Zi缺失.進一步假定Zi為隨機缺失(MAR),詳細(xì)介紹可參考文獻[9]，即

P(δi=1|Yi,Ui,Xi,Zi)=P(δi=1|Yi,Ui,Xi)=π(Yi,Ui,Xi).

(3)

(3)式中暗含在給定Yi,Ui和Xi的條件下，δi和Zi是獨立的.

在實際應(yīng)用中，π(Yi,Ui,Xi)往往是未知的，通常使用logistic回歸模型作為缺失機制，即

Yi-g(Zi,β)=XiTα(Ui)+εi,i=1,2,…,n.

(4)

首先，對αj(u)在任意給定u0的某個小鄰域內(nèi)泰勒展開

其中a=(a1,…,aq)T，b=(b1,b2,…,bq)T.對給定的β，由于協(xié)變量Z缺失，利用逆概率加權(quán)的思想，關(guān)于aj和bj極小化(5)式

(5)

可得aj和bj的估計，其中Kh(·)=K(·/h)/h,K(·)是核函數(shù)，h為帶寬. 為表示方便，引入記號：

Y=(Y1,…,Yn)T,g(Z,β)=(g(Z1,β),…,g(Zn,β))T,ε=(ε1,…,εn)T,

M=(X1Tα(U1),…,XnTα(Un))T,W(u0)=diag(Kh(U1-u0),…,Kh(Un-u0)),

(6)

從而可得α(u)的估計為

(7)

其中Iq和0q分別為恒等矩陣和零矩陣，從而M的估計可以表示為

(8)

(9)

(10)

3 估計的漸近性質(zhì)

下面提出以下假設(shè)：

C1 U有有界支撐Ω，它的密度函數(shù)f(u)是Lipschitz連續(xù)的，且在Ω上有f(·)>0.

C2 {αj(u),j=1,…,q}關(guān)于u有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù).

C3 對任意的Z,g(Z,β)是關(guān)于β的連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于β有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù).

C4 存在某個s>2，使得E(‖X‖2s)<且E(‖g′(z,β)‖2s)<，且存在某個ε<2-s-1，使得當(dāng)n→時，n2ε-1h→.

C5 矩陣E[g′(z,β)?2]和E[E(g′(z,β)|U)?2]在β的鄰域內(nèi)有界.

C6 核函數(shù)K(·)在有界支撐內(nèi)是對稱密度函數(shù)，帶寬h滿足nh8→0和nh2/(logn)2→.

C7 對任意U∈Ω,Γ(U)q×q為正定矩陣，且矩陣Γ(U),Γ-1(U)和Φ(U)均為Lipschitz連續(xù)的.

C8π(·)在(Yi,Ui,Xi)的支撐下與0是有界的，并且有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).

定理1假設(shè)條件C1-C8成立，若β為真值參數(shù)向量，則

定理2假設(shè)條件C1-C8成立，對任意u∈Ω有

4 主要結(jié)果的證明

4.1預(yù)備引理

引理1[11]假設(shè)(X1,Y1),…,(Xn,Yn)是n個獨立同分布的隨機向量，其中Yi是一維隨機變量，若進一步假設(shè)E|Y1|s<且，其中f(·,·)表示(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，令K(·)表示滿足Lipschitz條件且有有界支撐的有界正函數(shù)，那么給定某個ε<1-s-1使得n2ε-1h→時，有

(11)

引理2令g′(z,β)=(g′(z1,β),g′(z2,β),…,g′(zn,β))T,假設(shè)條件C1-C8成立，那么我們有

(12)

(13)

其中Σ1=E[g′(z,β)g′(z,β)T]-E[ΦT(U)Γ-1(U)Φ(U)],Δ=diag(δ1/π1,…,δn/πn),

證簡單計算可得

利用期望的平滑性及引理1易得

(14)

類似的，我們同樣可求得

X(u)TW(u)Δg′(z,β)=nf(u)Γ(u)?(1,0)T[1+Op(cn)].

(15)

由(14)、(15)可得

(XT0)[X(u)TW(u)ΔX(u)]-1X(u)TW(u)Δg′(z,β)=XTΓ(u)-1Φ(u)(1+Op(cn)).

(16)

由假設(shè)條件C3、C5及大數(shù)定理可得

類似于等式(16)的推導(dǎo)，我們得到

(XT0)[X(u)TW(u)ΔX(u)]-1X(u)TW(u)ΔM=XTα(u)(1+Op(cn))，

(17)

因為E(ε|X,U)=0,結(jié)合(12)式有

(XT0)[X(u)TW(u)ΔX(u)]-1X(u)TW(u)Δε=XTΓ(u)-1E(X|U=u)Op(cn).

在假設(shè)條件都成立的情況下，我們可以推出

=ξn+E[g′(z,β)-Φ(U)TΓ(U)-1X][1+op(1)]Op(cn)

(18)

其中A=E(τ1τ1Tπ1(1-π1)).

引理4假設(shè)條件C1-C8都成立，那么我們有

(19)

引理5假設(shè)條件C1-C8成立，那么我們有

(20)

4.2定理的證明

(21)

=：R1+R2+R3+R4+R5+R6+R7+R8.

(22)

且

通過(12)可得

tTQ″(β*)t=2n{tTΣ1t+Op(||t||3)}.

(23)

定理2的證明經(jīng)計算可得

=：s1+s2+s3+s4.