一道常見高三?？碱}的解法探究及推廣

江蘇省灌南高級中學

熊壽權(quán) (郵編：222500)

1 例題呈現(xiàn)

(2017南京模擬試題)△ABC中，a、b、c分別表示角A、B、C的對邊.若a2+b2+2c2=8，則S△ABC的最大值為.

這是一道江蘇近幾年高三會經(jīng)常碰到的熟題，一般放在填空題壓軸位置，但計算量不算太小，因此筆者做了一些研究，希望能得到一些結(jié)論.先給出幾種常見解法：

解法一△ABC中，a2+b2+2c2=8，

解法二解法一中得到關(guān)于a、b的二元四次函數(shù)時，也可將其化成以a為主元的一元二次函數(shù)先處理再求關(guān)于b的函數(shù)的最值，本處從略；

解法三在三角形中由余弦定理結(jié)合條件有：(b2+c2-2bccosA)+b2+2c2=8，故

解法五(解析法)令條件中的c為定值，則條件變?yōu)閍2+b2=8-2c2，以AB所在直線為x軸，AB中垂線所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.

圖1

解法六如圖所示，設(shè)AB邊上的高為h，垂足分AB兩段長分別為x和y，則AB=c=x+y，

8=a2+b2+2c2=2h2+2c2+x2+y2，

2 本著從特殊到一般的思想，可猜想一般性結(jié)論：

△ABC中，a、b、c分別表示角A、B、C的對邊.

3 反思

在高三繁重的復習過程中，如何通過研究一道題滲透數(shù)學思想，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，當是一線教師必須重視的課題.英國著名數(shù)學家哈代曾說過：“嚴格來說，沒有所謂證明這個東西，歸根結(jié)底，我們只是在指指點點.”數(shù)學學科很多東西都是在前人或已知結(jié)論的基礎(chǔ)上研究新的問題，因此作為高中生特別是高三學生熟悉某些常見結(jié)論或方法也顯得彌足珍貴了.