對數(shù)均值不等式在高考及競賽中的運用

廣東省佛山市羅定邦中學(528300)陳紀剛 龍宇

一、對數(shù)均值不等式的證明

在拙作文[1]中，筆者利用“切線法”證明了該不等式的右半部分.接下來本文僅證明該不等式的左半部分.

證明不妨設(shè)a ＞b， 上不等式上不等式?2 ln t ＜構(gòu)造函數(shù)f(t)=t2+2t ln t，求導(dǎo)得：f′(t) = 2t+2 ln t+2.當t ∈(1,+∞)時，f′(t) ＞0 恒成立，即可知f(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.即有f(t) ＞f(1) = 1，所以原不等式成立.

二、對數(shù)均值不等式在高考中的運用

例1(2018年全國1 卷，21)已知函數(shù)a ln x.

(1) 略; (2) 若f(x) 存 在 兩 個 極 值 點x1,x2， 證 明：

解 析對 函 數(shù)f(x) 求 導(dǎo) 得：f(x) 存在兩個極值點x1,x2?-x2+ ax - 1 = 0 在(0,+∞) 上有兩個解x1,x2.由此可得? a ＞ 2.結(jié)合韋達定理可得：x1· x2= 1， x1+ x2= a.兩 式 相 減 得：f(x1) -結(jié)合題意及上韋達定理得：利用均值不等式可得：所以成立.

總結(jié)在本題中運用對數(shù)均值不等式避免了對的討論，若運用該不等式的另一端還可得：成立(證明過程留給讀者).根據(jù)表示過f(x)兩個極值點的“割線”的斜率，結(jié)合f(x)的“凹凸性”或“拉格朗日中值定理”也可解決該問題，但過程相對復(fù)雜，且不易被高中生掌握，本文不再贅述.

三、對數(shù)均值不等式在競賽中的運用

例2(2016年高中數(shù)學聯(lián)賽湖南預(yù)賽， 15) 已知函數(shù)

(1)略;(2)若f(x)由兩個極值點x1,x2，且x1＜x2，求證：x1x2＞e2.

解 析對 函 數(shù)f(x) 求 導(dǎo) 得：f′(x) = ln x -mx.因為 x1,x2為 f(x) 的兩個極值點.所以

由(1)+(2)得：

注意到題目中涉及的參數(shù)m， 在解答過程中通過化簡“約掉了”.那么對于參數(shù)m，有沒有什么限制呢?

無獨有偶，在2017年的高中數(shù)學聯(lián)賽湖南預(yù)賽的第15題也考察了類似的問題.問題如下：

例3(2017年湖南省高中數(shù)學聯(lián)賽，15)已知a,b ∈R+，且ab.如果a,b 是f(x) = ln x-2017x 的兩個零點，求證：ab ＞e2.

分析例4 可視為例3 的特例， 即取m = 2017.仿照例3 可得解析如下：因為a,b 是f(x) = ln x-2017x 的兩個零點，所以兩式相減，得根據(jù)對數(shù)均值不等式：兩式相加，得ln a+ln b = 2017(a+b)，因而ln(ab)=2017(a+b)＞2，故ab ＞e2.

總結(jié)表面上看，上面的解答過程“無懈可擊”.而事實上確存在一個誤區(qū)，為了確保兩個極值點(在例2 中為兩個零點)的存在，m 的取值是有范圍的.即設(shè)f(x)=ln x-mx有兩個零點x1,x2，且x1＜x2，求證：

證明對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得：當m ≤0 時，在(0,+∞)上f′(x)＞0 恒成立.即有f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，可知f(x)在(0,+∞)上至多一個零點，舍;當m ＞0時，在上，f′(x) ＞0，在上，f′(x) ＜0，即可知在(0,+∞) 上當時函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2，且x1＜x2.綜上可知，

顯然可知，例3 中的“2017”并不屬于m 的取值范圍，對應(yīng)的兩個零點并不存在.所以例3 的討論基礎(chǔ)并不成立.

四、練習

1、(2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建預(yù)賽， 14 (2)) 已知f(x) = ex-mx.若x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，求證：x1+x2＞2.

解析因為 x1,x2是函數(shù) f(x) 的兩個零點， 所 以成 立. 移 項可得：兩邊分別取對數(shù)可得：上兩式相減可得：利用對數(shù)均值不等式：即可得：x1+x2＞2 成立.