一種新型的基于KCS算法在圖像重構(gòu)中的應用

劉 艷，錢 陽，李 雷

(南京工業(yè)大學浦江學院，江蘇 南京 211134)

1 概 述

1.1 壓縮感知理論基礎(chǔ)

在壓縮感知理論[1-3]中，如果一組長度為n的被測信號x∈Rn×1在某正交基Ψ=(ψ1,ψ2,…,ψn)T上是可壓縮的，則可以通過與稀疏變換基不相關(guān)的m×n維(m?n)測量矩陣Φ對稀疏變換向量Θ=ΨTx進行觀測，并通過一系列算法將原始信號x[4]從觀測向量y∈Rm×1中重構(gòu)出來，具體觀測模型如下：

y=Φx=ΦΨΘ

(1)

壓縮感知(CS)主要包括稀疏、觀測和重構(gòu)三個步驟[5]，其中信號的稀疏性是CS的前提，在字典表示下信號的稀疏度決定了重構(gòu)的效果。而測量矩陣Φ的設(shè)計則是壓縮感知理論中至關(guān)重要的一步，Candès和Tao提出，為了準確地將原始信號重構(gòu)出來，測量矩陣Φ需滿足RIP(restricted isometry property)條件[6]。信號重構(gòu)的數(shù)學模型如下：

(2)

其中，λ為正則化參數(shù)。

1.2 核壓縮感知理論

Qi Hanchao等[7]將核技巧與CS理論結(jié)合，提出了核壓縮感知理論(kernel compressed sensing，KCS)，并將該理論運用到人臉圖像的重構(gòu)中，獲得了較好的效果。KCS[8-9]本質(zhì)上是一種非線性稀疏表示下的壓縮感知，不僅能避開迭代的非線性優(yōu)化過程，且與線性稀疏表示相比，能用更少的觀測數(shù)目恢復信號[10]。

KCS理論中，若在特征空間H中，信號x是d稀疏的，則可以用一組稀疏基的d個原子將投影后的信號線性表示出來，即

(3)

k(x,Φi)=〈φ(x),φ(Φi)〉=

(4)

在特征空間H中，所有測量值可以表示成如式5的矩陣形式，有：

(5)

將式5簡寫為：

Μkernel=Gkernelβ+ε

(6)

假設(shè)存在一組信號{z1,z2,…,zr}與原始信號x比較接近，通過KPCA方法對{z1,z2,…,zr}進行訓練，則基原子υk可以表示成：

(7)

進一步，有：

(8)

結(jié)合式5，從而得到Gkernel的表達式為：

Gkernel=

(9)

(10)

由于任意信號都可以由一組正交基表示，且表示系數(shù)是其與稀疏基的內(nèi)積。因此原始信號x∈Rn可以依據(jù)式11進行重構(gòu)：

1.3 字典學習方法

1.3.1 K-SVD字典學習算法

基于過完備字典的稀疏表示是近年來廣受關(guān)注的信號表示理論。其中，由Aharon M等提出的K-SVD字典學習算法[13]較為典型。此算法主要解決如下的優(yōu)化問題：

(12)

1.3.2 核字典學習方法(Kernel K-SVD，KKSVD)

KKSVD[14]算法的提出是用于實現(xiàn)核字典D的學習，該算法將目標由尋找合適的核字典D轉(zhuǎn)化為尋找合適的字典系數(shù)矩陣C。

命題[15]：

存在一個合適的字典矩陣D*，使得

D*=φ(X)C

(13)

其中，C∈RN×K為字典系數(shù)矩陣。

此時，KKSVD算法求解的優(yōu)化目標函數(shù)變?yōu)椋?/p>

?i=1,2,…,N

(14)

KKSVD算法通過獲得最優(yōu)的C和A對式14進行求解。

2 基于自適應核K-SVD字典學習的核壓縮感知算法

(1)稀疏編碼階段。

文中將在KKSVD算法的基礎(chǔ)上對該階段進行改進。首先固定字典系數(shù)矩陣C，在特征空間引用AK-BRP算法[16]的稀疏編碼機制，利用字典的相干性將稀疏約束上限與迭代更新的字典關(guān)聯(lián)，獲得自適應的稀疏約束上限，以減少算法運行時間。

設(shè)第j次迭代的稀疏約束上限為Tj，則

(15)

(16)

當μ(D)值很大時，則字典的相干性很大，即字典原子間相似程度很強[18]。

根據(jù)命題，核字典D可表示為D=φ(X)C的形式，此時有：

(17)

其中，K(X,X)=φ(X)Tφ(X)為核矩陣。

使用上述定義的ai代替KKSVD算法中的稀疏約束上界T0，由于式14中懲罰項可以寫為：

(18)

因此，優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為求解如式19所示的N個問題。

T0,?i=1,2,…,N

(19)

則所提AKKSVD算法的稀疏編碼階段可轉(zhuǎn)化為求解如下的優(yōu)化問題：

Tj,?i=1,2,…,N,j=1,2,…,P

(20)

(2)字典更新階段。

此階段中，自適應核K-SVD算法采用KKSVD算法的字典更新方式，根據(jù)稀疏表示系數(shù)矩陣A，對字典系數(shù)矩陣C進行迭代更新，字典列的更新結(jié)合稀疏表示的一個更新，使得字典系數(shù)和稀疏系數(shù)同步更新。

綜上，AKKSVD字典學習算法的具體實現(xiàn)流程如下：

算法1：AKKSVD算法。

目標：獲得字典系數(shù)矩陣C

輸出：矩陣C和A

初始化：隨機初始化歸一化字典系數(shù)矩陣C0∈RN×K，通過式15獲得T0，設(shè)置迭代次數(shù)j=1

Forj=1,2,…,P

(1)稀疏編碼階段

固定Cj-1和Tj-1，使用KOMP[14]算法求解式20，獲得稀疏系數(shù)矩陣Aj

(2)字典更新階段

固定Aj，對Cj-1的每一列ck(k=1,2,…,K)逐個更新

獲取更新后的Cj

通過式15計算Tj；j=j+1；

End

(21)

其中，εt為誤差，〈·〉表示內(nèi)積。

通過AKKSVD算法獲得核字典系數(shù)C，則圖像塊在特征空間Η中的稀疏表示如下：

φ(xt)=Dat=φ(X)Cat

(22)

其中，C∈RN×K，at∈RK×1表示第t塊圖像的稀疏表示系數(shù)

根據(jù)KCS理論，所有測量值在特征空間Η中表示成：

(23)

定義

(24)

根據(jù)

ykernel=GkernelCa

(25)

令Bkernel=GkernelC，則

ykernel=Bkernela

(26)

其中，ykernel∈Rm，Bkernel∈Rm×K。

(27)

并將恢復出的原始空間的圖像塊按照順序合并成整個圖像。

AKKSVD-KCS算法的具體流程如下：

算法2：AKKSVD-KCS算法。

初始化：通過KPCA方法從X中獲得特征空間中的基原子，利用其初始化AKKSVD算法中的字典原子，并通過式15獲得初始化稀疏約束上限T0，設(shè)置迭代次數(shù)j=1

利用AKKSVD算法從X中獲得核字典系數(shù)C=CP

通過式24計算出ykernel及Gkernel

獲得式26的欠定方程組

3 仿真實驗及結(jié)果分析

為了更直觀地比較AKKSVD-KCS算法與KKSVD-KCS算法重構(gòu)出圖像的視覺效果，圖1給出了采樣率為0.4時這兩種算法重構(gòu)出標準圖像的視覺效果圖。

圖1 標準圖像的視覺效果

圖1中顯示，當采樣率為0.4時，KKSVD-KCS算法和AKKSVD-KCS算法均能將圖像重構(gòu)出來。兩種算法重構(gòu)出的圖像雖然都有分塊邊界，但可以看出，相較于KKSVD-KCS算法，AKKSVD-KCS算法的分塊邊界相對模糊，這表明提出的AKKSVD-KCS算法的重構(gòu)性能更優(yōu)。

為了進一步驗證提出算法的優(yōu)越性，圖2分別給出了KKSVD-KCS算法在不同稀疏度下與AKKSVD-KCS算法在重構(gòu)時間、峰值信噪比以及特征相似度三個方面的性能與采樣率的關(guān)系曲線。為了消除隨機性，PSNR與FSIM值取10次測試結(jié)果的平均值。

由圖2(a)可知，各算法的運行時間均隨著稀疏度的增加而增加，但AKKSVD-KCS算法的運行時間是最少的；圖2(b)、2(c)的結(jié)果表明，AKKSVD-KCS算法的PSNR與FSIM均隨著稀疏度的增加而增加，由PSNR和FSIM越大，重構(gòu)性能越好可知，相較于KKSVD-KCS算法，AKKSVD-KCS算法的性能更優(yōu)，精確度更高。

綜上可知，AKKSVD-KCS算法在每次迭代過程中通過自適應地選擇較小的稀疏度以提高運行速度及重構(gòu)精度，進一步驗證了非線性流行下該算法的有效性和高效性。

(a)

(b)

(c)

4 結(jié)束語

文中在核K-SVD字典學習算法的基礎(chǔ)上提出了AKKSVD算法，通過選擇較小的稀疏度以提高運行速度，并結(jié)合核壓縮感知的相關(guān)理論，提出了AKKSVD-KCS算法，實現(xiàn)了對原始空間圖像的重構(gòu)。仿真對比實驗表明，AKKSVD-KCS算法的重構(gòu)性能更優(yōu)。