多頻正弦信號峰值因子最小化方法研究

宿常鵬 王雪梅 許哲 李駿霄 邱洪彬

摘要：為有效解決頻率特性測試中多頻正弦激勵信號的峰值因子最小化問題，基于Schroeder相位編碼準則，針對均勻功率譜信號，從相位修正的角度出發(fā)，提出一種基于自適應遺傳算法的相位修正方法;針對非均勻功率譜信號，從功率調制的角度出發(fā)，采用代數(shù)方法推導出一種正弦調制的調制通式。通過Matlab進行數(shù)值仿真，與采用Schroeder相位編碼方法計算的結果進行比較，實驗表明：兩種方法均能使信號的峰值因子平均降低0.2，且使信號的峰值因子保持在2以內，更適合作為頻率特性測試的激勵信號，其中添加修正項的均勻功率譜信號更適合大頻帶測試，而應用正弦調制的非均勻功率譜信號更適合小頻帶測試。

關鍵詞：峰值因子;自適應遺傳算法;相位編碼;功率調制

中圖分類號：TP206.1文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2019）04-0016-05

0引言

在測量線性系統(tǒng)的頻率響應或傳遞函數(shù)時，使用高信噪比的信號進行測試是非常重要的。一般通過增加信號的能量提高其信噪比，但是，為避免被測系統(tǒng)工作于非線性狀態(tài)，輸人信號的幅值是有限制的。此外，為激發(fā)被測系統(tǒng)的所有模態(tài)，輸入信號必須包含足夠的頻率分量。所以如何在給定的幅值約束下增加信號的能量或者在給定的能量約束下減少信號的幅值，即信號峰值因子最小化問題，常見于雷達、聲吶、通信技術、語音合成和測試信號的設計等領域。峰值因子問題至今仍無法有效解決，除非頻譜分量的數(shù)量足夠小以允許對所有相位角的組合進行窮盡搜索。

目前，雖然未發(fā)現(xiàn)使信號的峰值因子在全局最優(yōu)的解析解，但已提出各種能夠有效降低信號峰值因子的算法。如文獻[1]基于woodward定理提出多頻正弦信號的相位編碼準則，其對于均勻功率譜（即各次諧波的幅值相等）的多頻正弦信號效果很好，但對于非均勻功率譜的多頻正弦信號效果不如隨機相位編碼的效果好。文獻[2]提出一種基于標準遺傳算法的相位搜索方法，該方法通過并行搜索相位空間中的局部最優(yōu)解以降低多頻正弦信號的峰值因子，但計算量大導致算法的計算時間長。文獻[3]研究了一種利用互補自相關函數(shù)矩陣構造多相互補碼對的方法，并提出利用多相互補碼構成多頻正弦信號的方法降低信號峰值因子，但由于利用互補自相關函數(shù)矩陣構造多相互補碼對的求解過程復雜，且與參數(shù)的初始值有關，因此需要以不同的初始條件重復多次獲得更好的結果。

本文基于schroeder提出的相位編碼準則，從均勻功率譜和非均勻功率譜兩個方面進行了改進，即對均勻功率譜信號的相位提出了一種基于自適應遺傳算法的相位修正方法，對非均勻功率譜信號的功率給出了二次正弦調制的調制通式。

1基本概念

多頻正弦信號為周期性信號，它是一系列離散頻率的正弦信號的總和。目前，多頻正弦信號主要應用于線性系統(tǒng)頻率特性的快速測試，其數(shù)學表達式為

一般認為，方波信號由于存在突變使得測試過程極不平穩(wěn)，故不適合用于系統(tǒng)頻率特性的測試。而正弦信號的峰值因子為詎，是頻率特性測試最理想的輸入信號。故選擇合理的相位疊加方式生成多頻正弦信號的峰值因子越接近詎，該信號就越適合作為系統(tǒng)頻率特性測試的輸入信號。

2多諧差相信號概述

多諧差相信號是一種特殊的多頻正弦信號，目前廣泛應用于線性系統(tǒng)頻率特性測試中。它由若干個功率、周期和初相有一定關系的余弦波疊加而成的周期性多頻信號，通過調整組成信號的各正（余）弦分量的初相來形成自己特性，其表達式為

多諧差相信號為周期信號，做快速傅里葉變換時可以整周截斷，避免譜泄漏。而且信號的頻譜是離散的，可以抑制大部分的噪聲干擾。同時正弦波疊加信號易于通過計算機或板卡產生，對硬件要求低。測試過程中，通過改變基波周期T和諧波數(shù)N改變測試頻帶，可以實現(xiàn)對任意頻率點模態(tài)的激活，以滿足不同系統(tǒng)測試的需要。

根據(jù)多諧差相信號的數(shù)學表達式和峰值因子計算公式，降低其峰值因子的方法主要有兩種：1）在均勻功率譜信號的相位編碼中添加修正項;2）對諧波功率進行調制產生非均勻功率譜信號。

3多諧差相信號峰值因子最小化方法

3.1峰值因子與信號總功率無關

由于均勻功率譜信號可以看作是非均勻功率譜信號的特例，故以非均勻功率譜的多諧差相信號為例進行說明。

由此可以得出結論，在各次諧波的相對功率保持不變的條件下，多諧差相信號的總功率不改變信號的峰值因子，該結論對于均勻功率譜信號同樣成立。因此，對于多諧差相信號的峰值因子最小化問題可僅研究總功率為1時的情況。

3.2均勻功率譜信號峰值因子最小化問題

由均勻功率譜的多諧差相信號表達式可知，信號的峰值因子與總功率P無關，只與諧波數(shù)Ⅳ和基波周期T有關。由于N和T決定了測試頻帶，可根據(jù)實際被測系統(tǒng)確定，當N、T確定時，信號的峰值因子也隨之確定。

schroeder M.R在文獻[1]中提出，對具有均勻功率譜的多諧差相信號，如果改變個別諧波的初相將得到更低的峰值因子，并給出了具體的例子。因

4實驗分析

多諧差相信號常用于伺服機構的頻率特性測試，而伺服機構頻率測試的范圍一般為0.1～100Hz，其核心工作頻帶為0.1～20Hz。根據(jù)Nyquist定理，采樣頻率必須大于被測信號最高頻率的兩倍。工程上采樣頻率一般按照上限頻率的10～50倍確定。另外考慮到采樣點數(shù)量過大會急劇增加數(shù)據(jù)存儲和處理的難度，故常采用分段采樣的方法減少采樣點數(shù)。因此，實驗中將測試頻帶分為大頻帶100Hz和小頻帶20Hz，由此確定諧波數(shù)Ⅳ、基波周期T的數(shù)值。同時設置總功率P=1w，采樣頻率1kHz，即采樣時間T4=0.001s。

由此可得，多諧差相信號的峰值因子與信號總功率P無關，該結論對于均勻功率譜信號和非均勻功率譜信號均成立。

4.2新方法的實驗結果分析

在解決均勻功率譜信號相位編碼公式中修正項的取值問題時，為提高遺傳算法的收斂精度，加快收斂速度，采用自適應交叉策略對交叉概率進行自適應調整。在進化的初始階段，設置較大的交叉概率進行粗略搜索，以保持種群的多樣性，而在進化的后期，為防止破壞最優(yōu)解，選擇較小的交叉概率進行細致搜索。主要參數(shù)設置為：初始種群數(shù)目為50，初始種群范圍為（0，1），自變量上下限為（0，1），變異概率固定為0.1，初始交叉概率設為0.8。

以參數(shù)設置為（20，l，0.001，1）的均勻功率譜信號為例，應用自適應遺傳算法運行結果如圖4所示，解算結果為：修正項ε=0.127，峰值因子CF=1.7311。

設置不同的信號參數(shù)，將相應的均勻功率譜信號、加修正的均勻功率譜信號和非均勻功率譜信號的峰值因子進行對比，結果如表1所示。

由表可知，添加修正項的均勻功率譜信號和應用二次正弦調制的非均勻功率譜信號均能有效降低信號的峰值因子。添加修正項的均勻功率譜信號更適合大頻帶測試，而應用二次正弦調制的非均勻功率譜信號更適合小頻帶測試。

實驗還發(fā)現(xiàn)，對于均勻功率譜信號和非均勻功率譜信號來說，信號的峰值因子CF主要與其所含的諧波數(shù)Ⅳ有關，基波周期T的影響很小。當諧波數(shù)N固定時，基波周期T增大，峰值因子CF增大;當基波周期T固定時，諧波數(shù)N增大，峰值因子CF增大，具體實驗結果如表2和表3所示。

5結束語

本文研究了多頻正弦信號中多諧差相信號的峰值因子最小化問題，該研究方法同樣適用于其他多頻正弦信號的峰值因子最小化問題。對均勻功率譜信號提出了一種基于自適應遺傳算法的相位修正方法，對非均勻功率譜信號給出了二次正弦調制的功率調制通式。通過與標準的均勻功率譜信號進行對比，結果表明本文提出的兩種方法均能有效降低信號的峰值因子，添加修正項的均勻功率譜信號更適合大頻帶測試，而應用二次正弦調制的非均勻功率譜信號更適合小頻帶測試。