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    “將軍飲馬”的前世今生

    2019-08-01 12:02萬紅楊文
    理科考試研究·高中 2019年5期
    關(guān)鍵詞:對稱

    萬紅 楊文

    摘要:利用“將軍飲馬”的數(shù)學(xué)問題模型,解決軸對稱路徑最短問題是數(shù)學(xué)問題解次中的一種重要思想,通過探究“將軍飲馬”模型的直線“前世”,拓展至曲線“今生”,試圖妙用、巧用和活用思想,促進(jìn)學(xué)生的思維多元發(fā)展和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

    關(guān)鍵詞:將軍飲馬;對稱;路徑最短

    1 提出問題

    題目 已知F是雙曲線等x2/4-y2/12 =1的左焦點,定點A(1,4),P是雙曲線右支上的動點,則|PF|+|PA|的最小值為_____.

    此題是求兩條線段之和最小值.如果僅僅從雙曲線的定義和性質(zhì)去解決問題,未免有些單一.為了與初中數(shù)學(xué)內(nèi)容銜接,為了活用數(shù)學(xué)知識和培養(yǎng)拓展能力,解決該問題,可以追溯到初中學(xué)習(xí)的“將軍飲馬”模型.以下將從“將軍飲馬”模型的前世今生,詳細(xì)闡述這類問題解決的關(guān)鍵.

    2 解析“將軍飲馬”模型

    “將軍飲馬”模型在古羅馬時代就有了.傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者,名叫海倫.一天,一位羅馬將軍專程去拜訪他,向他請教一個百思不得其解的問題.

    將軍每天從軍營A出發(fā),先到河邊飲馬,然后再去河岸同側(cè)的B地開會,應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?

    從此,這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.

    抽象為數(shù)學(xué)問題為:如圖1,A,B兩點為直線Z同側(cè)的兩點,點P為直線l上一動點,求點P位置使得AP+ PB最短.

    解決該問題的做法為:如圖2,作點B關(guān)于直線2對稱的點B,連接AB交直線l于點P,則點P為所求點.

    證明連接PB,由對稱的性質(zhì)可知PB= PB,則AP +PB =AP+ PB=AB.根據(jù)兩點之間線段最短可得此時AP+ PB的長度最短.

    3“將軍飲馬”模型在直線型條件的拓展

    拓展1(一點兩線)如圖3,點A為∠BOC內(nèi)部一點,M,N分別為OB,OC邊上動點,求△AMN周長最小值.

    拓展2(兩點兩線)如圖4,點A、B為∠BOC內(nèi)部兩點,點M,N分別為OD,OC邊上動點,求四邊形ABMN周長最小值.

    這兩類拓展均為分別作兩邊的對稱點,根據(jù)兩點之間線段最短即可解決.(如圖5,圖6所示)

    通過以上幾種情況,可以發(fā)現(xiàn),解決“將軍飲馬”模型的關(guān)鍵在“兩點之間線段最短”.但是被我們忽略的問題是:對稱的目的是什么?其實對稱的目的是進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化,在直線型的條件下,如果將點進(jìn)行對稱變換,則很容易將線段AP與PB從直線Z的同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè),通過“兩點之間線段最短”即可證明.

    4 解決上述問題

    在提出的問題中,點A與點P是兩個定點,點p為雙曲線上一動點,符合“將軍飲馬”中“兩點一線”的描述.但問題是:直線變成了曲線,對稱還有用嗎?其實此時再抓住對稱這樣的做法顯然不能解決問題,但如果抓住解決“將軍飲馬”問題時對稱目的是為了進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化,將直線同側(cè)兩條線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩條線段,那問題就可以解決了.

    6 小結(jié)

    “將軍飲馬”模型常常以角、三角形、四邊形、圓、坐標(biāo)軸和拋物線為載體進(jìn)行演繹,主要考查學(xué)生的綜合實踐能力、空間想象能力和判斷推理能力[1].以上研究,一是促進(jìn)初中數(shù)學(xué)知識與思想和高中數(shù)學(xué)知識與思想的銜接.許多初中知識在高中階段發(fā)揮著極其重要的作用,在高中講解時,由于沒有聯(lián)系初中已有的知識與經(jīng)驗,導(dǎo)致學(xué)生沒有搞清楚問題的來龍去脈,使得學(xué)生不能在一個問題上舉一反三;二是體現(xiàn)新課程實施的目標(biāo)和要求在“經(jīng)典”問題上開辟新的東西,找準(zhǔn)“經(jīng)典”問題生長的源泉和動力[2'.通過上述問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決,希望對模型思想有更加深刻的認(rèn)識.理解“知其然”,還要“知其所以然”和“知何由以知其所以然”[3].

    參考文獻(xiàn):

    [1]張進(jìn),唐芬,談“將軍飲馬”問題—一以2015年全國各地中考試題為例[J].中國數(shù)學(xué)教育,2016(7 -8):110 -113.

    [2]李克民.從經(jīng)典模型的改造談數(shù)學(xué)試題的命制——以“將軍飲馬”問題為例[J].教育研究與評論,2016(1):41 -45.

    [3]榮賀,曲藝.與阿氏圓有關(guān)的廣義將軍飲馬問題[J].數(shù)學(xué)通報,2018,57(8):48 -52.

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