PEMFC空氣供給系統(tǒng)的二型自適應模糊建模與過氧比控制

王永富 馬冰心 柴天佑 張曉宇

為了解決能源危機和全球變暖問題,當前世界各國都在加大新能源開發(fā)力度.質子交換膜燃料電池(Proton exchange membrane fuel cell,PEMFC)是一種通過電化學反應將儲存在燃料中的化學能直接轉換為電能的電化學裝置,具有高功率、高能量轉換效率、低溫啟動、無環(huán)境污染等優(yōu)點,應用前景廣闊、已逐漸在新能源汽車和電力系統(tǒng)等領域得到實際應用[1?4].

合理控制PEMFC空氣供給系統(tǒng)陰極注入空氣流量與電化學反應消耗空氣流量之比,即過氧比(Oxygen excess ratio,OER)是提高PEMFC系統(tǒng)輸出凈功率的有效方法.為此,國內外學者對PEMFC空氣供給系統(tǒng)的建模與控制問題作了大量研究.文獻[5?7]基于以下理想假設建立了PEMFC空氣供給系統(tǒng)的基礎數(shù)學模型:1)視空氣為理想氣體,遵循理想氣體定律,且干燥空氣中21%為氧氣成分,79%為氮氣成分;2)空壓機機械效率較高,摩擦力矩忽略不計;3)冷卻器體積忽略不計,并可迅速降低空氣溫度到80?C;4)排出陰極的空氣特性與陰極內空氣特性相同;5)陰極內水蒸氣平衡得到很好地控制,且無液態(tài)水存在.基于以上基礎模型及改進模型,國內外學者提出采用線性反饋控制、模型預測控制和滑模控制等方法對PEMFC空氣供給系統(tǒng)進行了控制研究[8?12].但以上文獻控制器的設計均是基于理想模型,且在模型結構、參數(shù)或者模型函數(shù)界嚴格已知條件下進行的,目前如何有效辨識PEMFC模型結構、參數(shù)和函數(shù)界仍是一困難問題.實踐表明,模糊邏輯系統(tǒng)和自適應控制技術相結合是解決復雜而無法建立精確數(shù)學模型系統(tǒng)的控制問題的有效途徑之一.但模糊邏輯系統(tǒng)和自適應控制技術在處理PEMFC空氣供給控制系統(tǒng)中不確定性和不精確性問題的研究很少,特別是采用二型模糊邏輯系統(tǒng)、自適應技術并結合Lyapunov穩(wěn)定性分析開展研究的鮮有報道.

自從Zadeh教授提出I型模糊集合(T1-fuzzy set,T1-FS)理論以來,基于T1-FS的I型模糊邏輯系統(tǒng)(T1-fuzzy logic system,T1-FLS)成為處理不確定性、模糊性和不精確性建模問題的有效方法,并在眾多領域得到了廣泛應用.隨著理論和實際應用的發(fā)展,人們逐步意識到一型模糊集合在描述多重模糊不確定性方面的局限性,使得一些從事一型模糊集合研究的學者們開始轉而研究二型模糊集合.特別是近年來二型模糊集合和二型模糊系統(tǒng)的理論與應用得到了快速發(fā)展.這是因為一型模糊系統(tǒng)采用了由精確隸屬度函數(shù)表示模糊集合,其直接處理模糊規(guī)則不確定性的能力非常有限,而二型模糊集合和二型模糊系統(tǒng)能較好地解決這些不確定性問題[13?17].雖然該領域在Mendel教授的推動下得到了快速發(fā)展,但在許多原創(chuàng)性問題上還在被探索研究,如最近兩年我國學者王立新教授探索了二型模糊集合和二型模糊邏輯系統(tǒng)的新框架[18]、王飛躍和莫紅教授探索了二型模糊集合的一系列新定義[19].這些新框架新定義與Mendel定義的流行框架哪個更好,或者說針對不同應用對象哪個定義更匹配、目前沒有準確對比報道還需進一步研究.

模糊系統(tǒng)和自適應控制的結合是對非線性不確定系統(tǒng)進行建模與控制的一種有效方法,自適應模糊建模與控制的基本出發(fā)點是仿人的智能以實現(xiàn)對復雜不確定性系統(tǒng)進行有效的建模與控制,它具有從環(huán)境自學習、適應環(huán)境的能力.該方法不需要對象模型結構和參數(shù)完全已知的條件,僅根據(jù)被控系統(tǒng)結構關系即可實現(xiàn)有效控制,已在許多領域的建模和控制中得到廣泛關注[20?25].目前,解決PEMFC空氣供給系統(tǒng)的控制問題,一般都是首先建立空氣供給系統(tǒng)的機理模型、然后進行控制器設計.而進行智能建模和控制方面的研究工作較少.

本文對PEMFC空氣供給系統(tǒng)的模糊建模與過氧比自適應控制問題做了一些探索研究、主要工作如下:1)本文首先對國際文獻中的一些推導錯誤及多漏寫失誤進行了改正,從而保證仿真狀態(tài)空間模型的正確性;2)為了設計非模型的自適應模糊控制器,采用精確線性化技術求解了系統(tǒng)相對階數(shù);3)基于等價模型,對PEMFC空氣供給系統(tǒng)模型中的多個未建模動態(tài)采用二型模糊系統(tǒng)建模,這種方法對PEMFC空氣供給系統(tǒng)進行建模在國內外很少有報道;4)結合具體的PEMFC空氣供給系統(tǒng)的建模與控制問題,從Lyapunov穩(wěn)定性導出自適應律并設計了相應自適應控制器.這種結合二型模糊系統(tǒng)建模、自適應控制和穩(wěn)定性分析,在國際主要文獻上未見.大部分PEMFC系統(tǒng)文獻局限在簡單的模糊控制、或者有自適應功能但缺少穩(wěn)定性分析等;5)仿真及其對比實驗驗證了該控制器的有效性與實用性.

1 PEMFC空氣供給系統(tǒng)的數(shù)學模型

PEMFC系統(tǒng)主要由氫氣供給系統(tǒng)、空氣供給系統(tǒng)和反應電堆三部分構成(見圖1),其中PEMFC空氣供給系統(tǒng)包括空壓機、供應管道、冷卻器、加濕器、電堆陰極以及回流管道等組成.PEMFC空氣供給系統(tǒng)具體結構如圖1虛框所示.

1.1 PEMFC空氣供給系統(tǒng)的建模

為了實現(xiàn)PEMFC空氣供給系統(tǒng)的高級控制方法的研究.文獻[5]在理想假設基礎上,基于文獻[7]的流體力學、熱力學和電化學等基礎物理方程建立了含6個狀態(tài)變量的PEMFC空氣供給系統(tǒng)的非線性狀態(tài)空間模型,即:

其中,Jcp為空壓機轉動慣量,u為空壓機工作電壓,τcm為空壓機驅動力矩,τcp為空壓機負載力矩,γ為空氣比熱容比,Ra為空氣氣體常數(shù),Vsm為供給管道體積,Tcp為空壓機流出空氣溫度,Wcp為空壓機流出空氣流量,Tsm為供給管道流出空氣溫度,Wsm,out為供給管道流出空氣流量,WO2,in為陰極注入氧氣流量,WO2,react(Ist)為電堆反應消耗氧氣流量,Ist為負載電流,WO2,out為陰極流出氧氣流量,WN2,in為陰極注入氮氣流量,WN2,out為陰極流出氮氣流量,Tfc為電堆溫度,Vrm為回流管道體積,Wca,out為陰極流出空氣流量,Wrm,out為回流管道流出空氣流量,Ma為空氣摩爾質量.

注1.該模型中存在多處推導失誤公式、參數(shù)及誤打的錯誤需要修正,詳細修正內容見本文附錄A.

基于方程組(1)和附錄A的修正后,PEMFC空氣供給系統(tǒng)可表示為如下狀態(tài)空間方程:

圖1 PEMFC模型結構示意圖Fig.1 Structure diagram of PEMFC model

其中,x表示該系統(tǒng)的狀態(tài)向量、其含義如表1所示,PEMFC系統(tǒng)負載電流Ist視為外界干擾,f(x)、g和d分別為:

其中,ηcm為空壓機電機的機械效率,Kt、Rcm為空壓機電機參數(shù),n為單體電池個數(shù),MO2為氧氣摩爾質量,F為法拉第常數(shù).f1(x1,x2)?f6(x4,x5,x6)函數(shù)的具體表達式見附錄B.

根據(jù)近年來國內外研究可知,PEMFC系統(tǒng)負載電流一定時,當系統(tǒng)過氧比λO2達到理想過氧比λO2,ref時,系統(tǒng)輸出凈功率為最大值(見圖2).因此,選擇系統(tǒng)輸出方程為:PEMFC系統(tǒng)理想過氧比λO2,ref可表示為[8]:

表1 PEMFC空氣供給系統(tǒng)狀態(tài)變量Table 1 State variables of PEMFC air supply system

圖2 PEMFC系統(tǒng)負載電流、過氧比和輸出凈功率的關系Fig.2 Power relationship of PEMFC system load current,OER,and output net

結合式(2)和式(3),PEMFC空氣供給系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式可表示為:

1.2 PEMFC空氣供給系統(tǒng)的精確線性化

本文通過非線性狀態(tài)和反饋變換,對式(5)的非線性狀態(tài)實現(xiàn)精確線性化,輸出方程李導數(shù)Lfh(x)、Lgh(x)和Ldh(x)可表示為:

由于Lgh(x)= 0,對系統(tǒng)繼續(xù)求解李導數(shù).、LgLfh(x)和LdLfh(x)分別表示為:

由上可知PEMFC空氣供給系統(tǒng)相對階數(shù)為2,小于表達式(5)所描述的系統(tǒng)階數(shù),方程(5)可轉化成以下等價系統(tǒng):

對于系統(tǒng)(8),如果ρ(x)、?(x)和?(χ)結構和參數(shù)完全已知,則理想控制律為:

其中,e=ym?y.然而在ρ(x)、?(x)和?(χ)未知情況下,獲得理想控制器(9)是不可能的.在這種情況下,本文設計下面II型模糊邏輯系統(tǒng)分別逼近未建模動態(tài)ρ(x)、?(x)和?(χ).

2 II型模糊邏輯系統(tǒng)

只要在模糊規(guī)則前件或后件隸屬度函數(shù)中包含二型模糊集(T2-FS),相應的模糊系統(tǒng)即稱為二型模糊邏輯系統(tǒng)(T2-FLS).本文模糊規(guī)則前件采用二型模糊集(T2-FS),而后件由于采用自適應調節(jié)、選用一型模糊集(T1-FS),該二型模糊系統(tǒng)的降型采用Karnik和Mendel提出的方法(國際上簡稱KM算法[26]).由于本文所采用的二型模糊系統(tǒng)后件是一型自適應模糊集(T1-FS),故在二型模糊系統(tǒng)的降型處理時僅調用一次KM算法、從而提高了算法在線實時計算效率.

圖3 二型模糊集合的各元素Fig.3 Various elements of type-2 fuzzy set

定義1[27?29].一個二型模糊集合(見圖3)可以表示為一個二型隸屬函數(shù)(x,u),其中,x∈X,u∈Jx?[0,1],即:

也可表示下面形式:

其中,x為主變量,u為次變量,Jx?[0,1]為主隸屬度,為次隸屬度,表示所有可允許x與u之并.由于本文采用的是區(qū)間二型模糊集,取.針對上面二型模糊集合的定義,其不確定覆蓋域(Footprint of uncertainty,FOU)定義如下:

注2.上面Mendel對二型模糊集合和不確定覆蓋域的定義,被國外絕大部分文獻采用.但我國學者莫紅和王飛躍教授認為此定義有欠缺,對二型模糊集合和不確定覆蓋域(FOU)進行了新定義.文獻[30]認為一個二型模糊集合的不確定覆蓋域(FOU)為論域上每一點與在該點的主隸屬度的笛卡爾積之并,也就是:如果從數(shù)學角度看,式(13)比式(12)更嚴謹.假設按照式(12)計算FOU,結果可能是一個區(qū)間,而非Mendel所想表達的圖3陰影面積.造成這種的原因可能是Mendel先預設定了不確定覆蓋域(FOU),然后用符號表示累加移動的意思,而非傳統(tǒng)意義上的并運算.本文不確定覆蓋域(FOU)的計算按照式(13),或者用式(12)計算、但符號表示累加移動的意思.

在上面二型模糊集合定義后,考慮n輸入單輸出的Mamdani區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng),其中輸入xi∈Xi,輸出y∈Y,i=1,···,n.假設 IT2-FLS中包含如下M條模糊規(guī)則:

步驟1.對于某條規(guī)則,計算輸入向量x的激活區(qū)間:

步驟2.對于某條規(guī)則,輸出變量y的最大隸屬度所對應的值為:

步驟3.在前件的激活區(qū)間和后件的輸出Θj計算后,基于KM算法的降型可表示如下:

其中,[yl,yr]為用KM算法得到的輸出區(qū)間.

步驟4.加權平均反模糊化后,可將上面的IT2-FLS簡化成下面基函數(shù)的形式:

其中, Θ = [Θ1,···,ΘM]T為二型模糊系統(tǒng)的自適應參數(shù)向量,二型模糊系統(tǒng)的左基函數(shù)為二型模糊系統(tǒng)的右基函數(shù)為

3 自適應控制器設計

對于系統(tǒng)(8),在ρ(x)、?(x)和?(χ)未知情況下,用前文式(18)分別對ρ(x)、?(x)和?(χ)進行在線逼近,新的控制器為:

定義本文二型模糊邏輯系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)向量Θ?和對應的逼近誤差ω分別為:

應用式(19)到式(8)并結合上面的定義,經過幾步直接的運算后,可得如下的跟蹤誤差方程:

定理1.對于系統(tǒng)(8)在狀態(tài)變量和負載電流可測的條件下,相應的控制器為式(19),Θρ、Θ?和Θ?的自適應律為式(24)～(26):

其中,投影算子Pρ[·]可表示為:

其中,投影算子P?[·]可表示為:

其中,投影算子P?[·]可表示為:

其中,γ1、γ2和γ3為正常數(shù),Mρ、M?和M?為系統(tǒng)約束集,P=PT為滿足下面的Lyapunov方程:

那么跟蹤誤差e是一致最終有界的.

證明.取Lyapunov函數(shù)為:

其中,P=PT.微分(28)可推出:

基于式(23)和式(27),可以得到:

上式經簡單整理可得:

由于矩陣P和矩陣Q為正定矩陣,特征值均大于零,那么以上方程滿足:

其中,ω0為逼近誤差ω的界,λmin(Q)為矩陣Q的最小特征值,λmax(P)為矩陣P最大特征值.

由Lyapunov理論可知,只要誤差項大于方程式(34)的右邊項,那么跟蹤誤差就會減小.這也說明跟蹤誤差的有界性,即:

由式(35)的可知,該系統(tǒng)的跟蹤誤差大小取決于系統(tǒng)逼近誤差的界ω0.由萬能逼近特性可知,自適應模糊系統(tǒng)的建模誤差是能保證一定的精度.

4 仿真結果與分析

把本文所提出的基于II型模糊邏輯系統(tǒng)的自適應控制器用于圖1所示的PEMFC空氣供給系統(tǒng)的過氧比控制仿真.本文設計的控制器不需要模型參數(shù)已知的條件,只是在控制仿真驗證實驗時、被控對象模型需用文獻[5]中的模型參數(shù).PEMFC空氣供給系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:

在控制器設計中,為了方便二型模糊集合統(tǒng)一描述和編程,用統(tǒng)一向量x表示.對于控制器(19)中的(x)和(x),設向量x=[x1,···,x6]T;對于(χ),設向量x=χ=[x1,···,x7]T.

步驟1.建立二型模糊邏輯系統(tǒng)

前提變量xi經歸一化處理后、取5個如圖 4所示的二型模糊集合,用來表示,其相應的高斯隸屬度函數(shù)選擇如下:依據(jù)前文第2節(jié)的步驟1～步驟4可建立二型模糊邏輯系統(tǒng)、和.

步驟2.仿真參數(shù)選擇

在仿真中,被控對象的模型參數(shù)按照文獻[5]的附錄D和E選取;而本文控制器的參數(shù)選擇采用反復湊試法、直至出現(xiàn)滿意的響應.狀態(tài)變量的初始值基于文獻[7]選取為x(0)=[5.4×103,1.5×105,3×10?2,1×10?3,8×10?3,1.25×105];湊試自適應調整參數(shù)γ1=102、γ2=10和γ3=102,約束集取Mρ=104、M?=102和M?=103.取k1=60,k2=800,選取正定對稱矩陣,解Lyapunov方程(27)可得為一正定對稱矩陣.

圖4 二型模糊系統(tǒng)隸屬度函數(shù)Fig.4 Membership function of IT2 fuzzy system

步驟3.第一種負載電流情況的仿真

為了驗證基于II型模糊系統(tǒng)的自適應控制有效性,首先選取國際文獻中常用圖5(a)所示的負載電流進行仿真實驗.

由式(4)可知,該電流對應的參考過氧比或者理想過氧比λO2,ref如圖5(b)實線所示.PEMFC系統(tǒng)過氧比λO2跟蹤曲線與跟蹤誤差e曲線分別如圖5(b)虛線和圖5(c)所示,圖5(d)為輸入工作電壓.由圖5(b)可知,在圖5(a)負載電流工況下,基于II型模糊系統(tǒng)的自適應控制器能保證系統(tǒng)過氧比λO2很好地跟蹤理想過氧比λO2,ref.由圖5(c)可知,該控制器可保證跟蹤誤差一致最終有界,從而保證了系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能與穩(wěn)定性能.

步驟4.第二種負載電流情況的仿真

為了進一步驗證基于II模糊系統(tǒng)的自適應控制器的魯棒性,將第一種電流切換到圖6(a)所示頻繁變化的負載電流再次仿真實驗.PEMFC系統(tǒng)過氧比λO2跟蹤曲線與跟蹤誤差e曲線分別如圖6(b)和圖6(c)所示,圖6(d)為輸入工作電壓.由圖6(b)可知,在6(a)所示的變化頻繁的負載電流工況下,基于II型模糊系統(tǒng)的自適應控制器同樣可實現(xiàn)對PEMFC空氣供給系統(tǒng)的合理控制,使得系統(tǒng)過氧比λO2也能很好地跟蹤理想過氧比λO2,ref.由圖6(c)可知,在該控制器作用下,跟蹤誤差也取得了一致最終有界性,從而保證了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性與魯棒性.

圖5 第一種電流情況下的控制器仿真結果Fig.5 The simulation results of controller in current case 1

圖6 第二種電流情況下的控制器仿真結果Fig.6 The simulation results of controller in current case 2

步驟5.不確定參數(shù)的對比仿真

為了進一步驗證基于II模糊系統(tǒng)的自適應控制器的自適應特性,將仿真模型中的原始電堆溫度Tst=80?C 切換到Tst=75?C.在原始溫度Tst=80?C時,采用精確線性化控制器(見附錄C)所獲得的過氧比λO2跟蹤曲線和跟蹤誤差e曲線分別如圖7(a)和圖7(b)所示,從圖7可知系統(tǒng)獲得較好的跟蹤效果.在控制器參數(shù)不變的情況下,將模型中的原始溫度Tst=80?C切換到Tst=75?C時,圖8(a)和圖8(b)是精確線性化控制器作用下所獲得的跟蹤效果、而圖8(c)和圖8(d)是本文控制器作用下所獲得的跟蹤效果.圖8(a)和(b)相比于圖7(a)和(b)說明精確線性化控制器在模型參數(shù)存在不確定的情況下、控制效果變差,而圖8(c)和(d)說明本文所設計的控制器即使存在參數(shù)不確定,也能獲得良好的自適應性能.

圖7 在Tst=80?C時精確線性化控制器的仿真結果Fig.7 The simulation results of exact linearization controller when Tst=80?C

圖8 在Tst=75?C時精確線性化控制器和本文所建議控制器的對比仿真結果Fig.8 The simulation results of exact linearization controller and proposed controller when Tst=75?C

5 結論

本文針對PEMFC空氣供給系統(tǒng)難以實現(xiàn)精準建模,從而造成控制器的設計和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析比較復雜這一難題.提出基于Lyapunov穩(wěn)定性的自適應控制器設計,其中采用二型自適應模糊系統(tǒng)在線逼近PEMFC系統(tǒng)中的未建模動態(tài),并從Lyapunov函數(shù)中導出自適應參數(shù),從而保證了跟蹤誤差的有界性.從仿真中得出采用該控制器不但可以獲得良好的跟蹤性能,而且具有良好的穩(wěn)定性、魯棒性與自適應特性.進一步的工作是在條件成熟的情況下,將本文的控制方法應用到實際中.

附錄A 模型修正

注A1.文獻[5]中存在一些明顯打印錯誤的地方:1)在表A1中,從原公式的右邊表達式顯然可知注入陰極氧氣流量WO2,in(x2,x3,x4)和注入陰極氮氣流量WN2,in(x2,x3,x4)是變量x2,x4和x5的函數(shù)、而非x2,x3和x4的函數(shù),故公式左邊需修改成WO2,in(x2,x4,x5)和WN2,in(x2,x4,x5),而方程右邊可能是推導失誤.2)文獻[5]中的狀態(tài)方程(3)中的Jcm符號不存在,由該文的附錄A可知應是Jcp.3)另外,文獻[5]狀態(tài)方程(3)中的應是.4)在文獻[5]中的B?B沒有定義且該文也沒4345有用到,但上表中的流出陰極空氣流量卻用到B46?B49且在該文附錄F中也沒有此定義、應是B1?B42當中的某些量,顯然是誤寫.

下面對以上面第一個表達式注入陰極氧氣流量WO2,in(x2,x4,x5)為例說明其修正過程:

由文獻[7]可知,WO2,in(x2,x4,x5)可表示為:

其中,XO2,ca,in為注入陰極空氣中的氧氣質量分數(shù),Wa,ca,in(x2,x4,x5)為注入陰極干燥空氣流量,ωca,in(x2)為注入陰極空氣的濕度,Wca,in(x2,x4,x5)為注入陰極空氣流量.首先,XO2,ca,in和ωca,in(x2)可分別表示為:

其中,MO2、MN2和Mv分別為氧氣、氮氣和水蒸氣的摩爾質量,yO2,ca,in為注入陰極空氣中氧氣的摩爾質量分數(shù),pv,ca,in和pa,ca,in(x2)分別為注入陰極的水蒸氣壓強和干燥空氣的壓強.接下來,pv,ca,in和pa,ca,in(x2)可分別表示為:

其中,φca,in為注入陰極空氣的相對濕度,psat,Tcl為經冷卻處理后水蒸氣的飽和壓強,pv,sm(x2)為供給管道內水蒸氣壓強,p?,hm為加濕處理后的水蒸氣壓強與注入陰極的水蒸氣壓強之差.再有,pv,sm(x2)和p?,hm可分別表示為:

其中,patm、φatm和psat,Tatm分別為標準狀況下空氣壓強、空氣的相對濕度和空氣中水蒸氣飽和壓強,φdes為加濕處理后的空氣相對濕度.

由文獻[7](在文獻[5]中的參考文獻[35])可知,注入陰極空氣流量Wca,in(x2,x4,x5)可表示為:

其中,Wa,hm(x2,x4,x5)和Wv,hm(x2,x4,x5)分別為加濕處理后干燥空氣流量與水蒸氣流量,可分別表示為:

表A1 原公式和修正后公式的對比Table A1 Comparison of original formulas and revised formulas

其中,ωsm(x2)為供給管道內空氣濕度,Wsm,out(x2,x4,x5)為流出供給管道的空氣流量,可分別表示為:

其中,Ksm,out為供給管道孔口常數(shù),pca(x4,x5)為陰極壓強.pca(x4,x5)可表示為:

其中,pv,ca、pO2,ca(x4)和pN2,ca(x5)分別為陰極內水蒸氣、氧氣和氮氣壓強,RO2和RN2分別為氧氣和氮氣的氣體常數(shù),Vca為陰極體積.

運用式(A2)～(A7)到式(A1),經簡單整理后可得注入陰極氧氣的流量WO2,in(x2,x4,x5)為:

結合文獻[5]附錄C中e(x2)、k(x2)函數(shù)的定義和附錄F常量B32～B39的定義,式(A8)可表示為:

由于篇幅原因,其余公式更正過程不再贅述.

附錄B 狀態(tài)空間函數(shù)

其中,在參考文獻[5]中的函數(shù)Tcp(x2),Wcp(x1,x2),Tsm(x2,x3),Wsm,out(x2,x4,x5),WN2,out(x2,x4,x5)和Wrm,out(x6)的推導與整理均正確無誤.但函數(shù)WO2,in(x2,x4,x5),WO2,out(x4,x5,x6),

WN2,in(x2,x4,x5),τcm(u,x1),τcp(x1,x2)和Wca,out(x4,x5,x6)的推導與整理存在錯誤.本文結合文獻[7]中的基本物理方程對以上錯誤函數(shù)進行復合修正與整理,修正結果見前面的附錄A.

附錄C 精確線性化控制器求解

仿真對比實驗需要用到精確線性化控制器.由于系統(tǒng)模型的復雜性、很難手工求解,為此需要借助軟件計算工具求解.精確線性化控制器中的ρ(x)、?(x)和?(χ)函數(shù)可用Matlab軟件中的mupad工具箱求解,其計算過程指令如下:

步驟1.在Matlab命令窗口輸入“mupad”指令、打開mupad工具箱,結合本文與文獻[5]附錄將正確的和h(x)函數(shù)編寫到mupad工作空間.

步驟2.首先通過以下微分指令函數(shù),求解式(6)中Lfh(x)和Ldh(x),即:

步驟3.接下來通過以下微分指令函數(shù),求解式(7)中,即:

其中,g1和d4為向量g和d的分量.

步驟4.文獻[11]認為實際中的Ist電流是緩慢變化的、可視作常數(shù)處理,用以下微分指令求解Ldh(x)關于時間t的導數(shù),即:

步驟5.最后綜合步驟1到步驟4,精確線性化控制器中的ρ(x)、?(x)和?(χ)函數(shù)表達式可表示如下: