淺談Gross-Pitaevskii方程基于分裂隱式純無網(wǎng)格方法模擬

蔣戎戎 任金蓮

摘 ? 要：光滑粒子動(dòng)力學(xué)（SPH）法是一種純無網(wǎng)格方法，將其推廣應(yīng)用到Gross-Pitaevskii方程（GPE）的模擬時(shí)，出現(xiàn)精度低和穩(wěn)定性差的問題。因此，本文首先引入時(shí)間分裂法將GPE分解為線性導(dǎo)數(shù)和非線性項(xiàng)兩個(gè)微分方程;其次對(duì)線性導(dǎo)數(shù)部分運(yùn)用隱式修正SPH方法進(jìn)行求解，對(duì)非線性部分用二階分裂格式;最后采用MPI并行技術(shù)以提高計(jì)算效率，得到一種能夠高效、準(zhǔn)確模擬三維GPE的基于時(shí)間分裂隱式修正SPH方法。

關(guān)鍵詞：光滑粒子動(dòng)力學(xué) ?Gross-Pitaevskii方程 ?時(shí)間分裂 ?并行計(jì)算

中圖分類號(hào)：O241 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1674-098X（2019）02（b）-0251-02

1 ?光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法的提出

近年來提出許多求解Gross-Pitaevskii方程（GPE）的數(shù)值方法，如有限元法[1]、有限差分法[2]、無網(wǎng)格法[3]和時(shí)間分裂偽譜法[4]等。各種無網(wǎng)格方法也得到了發(fā)展，其中光滑粒子流體力學(xué)方法[5-7]是一種純無網(wǎng)格方法。與基于網(wǎng)格的方法相比，粒子法有一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，那就是在編程和并行化中，對(duì)于復(fù)雜的三維問題，特別是在區(qū)域上粒子分布不均勻的情況下，很容易實(shí)現(xiàn)。目前將利用現(xiàn)有改進(jìn)的SPH方法、隱式格式和時(shí)間分裂法優(yōu)點(diǎn)開發(fā)一種并行的隱式修正的SPH方法運(yùn)用于求解GPE中。

2 ?分裂隱式修正并行SPH方法

2.1 分裂方法

時(shí)間分裂偽譜法[4]是求解GPE的常用方法，其精度高、效率高。

2.2 分裂隱式修正SPH格式

2.2.1 修正SPH格式

傳統(tǒng)SPH方法的簡(jiǎn)單描述：傳統(tǒng)SPH方法是基于核函數(shù)[5-6]積分插值的插值理論。在SPH方法中，計(jì)算域被離散成有限數(shù)量的粒子，每個(gè)粒子攜帶一些物理量，具體取決于問題。對(duì)于任意函數(shù)及其在處的一階導(dǎo)數(shù)[5-6，9]，引入占據(jù)體積，得到粒子處的粒子近似方案[8]。

2.3 并行實(shí)現(xiàn)

SPH方法需要確定相鄰粒子，這導(dǎo)致了計(jì)算內(nèi)存和CPU計(jì)算時(shí)間的增加，尤其是對(duì)于三維問題。為了提高計(jì)算效率，提出了幾種基于背景網(wǎng)格的粒子搜索方法，其中基于背景網(wǎng)格的粒子搜索技術(shù)在流體流動(dòng)問題中被廣泛采用。SPH方法具有與分子動(dòng)力學(xué)方法相同的特點(diǎn)，易于實(shí)現(xiàn)消息傳遞接口（MPI）的并行化。

3 ?結(jié)語(yǔ)

在對(duì)Gross-Pitaevskii方程（GPE）的模擬時(shí)，傳統(tǒng)光滑粒子動(dòng)力學(xué)（SPH）方法易出現(xiàn)精度低和穩(wěn)定性差的問題。因此，本文引入時(shí)間分裂法，運(yùn)用隱式修正SPH方法求解線性導(dǎo)數(shù)部分，運(yùn)用二階分裂格式對(duì)非線性部分進(jìn)行求解，并采結(jié)合MPI并行技術(shù)提高計(jì)算效率，給出一種能夠穩(wěn)定、高效、準(zhǔn)確模擬三維GPE的基于時(shí)間分裂隱式修正SPH方法。

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