基于最小二乘樣本擬合的復信號時延估計方法

章旭暉 沈雷 帥濤

摘 要：針對高斯隨機信號在傳統時延估計算法估計下出現性能下降的問題，提出一種基于最小二乘樣本擬合的時延估計算法。首先給出互相關的代價函數，利用sinc內插公式采用有限數量的樣本估計相關數值，再通過最小二乘（LS）準則最小化其代價函數求出估計值，該估計值接近于無偏。給出算法的克拉美羅下界（CRLB）表達式，并將該算法與互相關算法、基于最小均方誤差（MMSE）的算法進行性能比較。理論分析與實驗結果表明，所提出的基于最小二乘樣本擬合的算法性能優(yōu)于互相關算法與基于MMSE的算法，并且能更好地逼近克拉美羅下界值。

關鍵詞：時延估計;高斯隨機信號;最小二乘準則;內插公式;克拉美羅下界

DOI：10. 11907/rjdk. 181867

中圖分類號：TP393文獻標識碼：A文章編號：1672-7800（2019）002-0161-04

Abstract： Aiming at the problem of performance degradation of Gaussian random signal estimated in traditional delay estimation algorithm， a delay estimation algorithm based on least-squares sample fitting is proposed. Firstly， the cross-correlation cost function was given. The sinc interpolation formula was used to estimate the relevant data values with a limited number of samples. Then the least-squares （LS） criterion was used to minimize the cost function and the unbiased estimation value was obtained. The expression of Cramer-Rao Lower Bound （CRLB） of the algorithm was given， and the performance of the algorithm was compared with the cross-correlation algorithm and the minimum mean square error （MMSE） algorithm. Theoretical analysis and experimental results provide an explanation. The proposed algorithm based on least-square fitting is better than the cross-correlation algorithm and the MMSE algorithm can be asymptotically closer to the Cramer-Rao lower bound.

Key Words： time-delay estimation;Gaussian random signal;least squares criterion;interpolation formula;Cramer-Rao lower bound

0 引言

TDE（Time-Delay Estimation，時延估計）是對空間接收到的兩個或更多信號的時間延遲進行估計，其在航空航天[1-2]、聲吶[3-4]、GPS定位[1-2，7]與生物醫(yī)學[5-7]等領域有著廣泛應用。在不同環(huán)境條件下，使用的時延估計方法也不同。常用的時延估計方法有互相關法[1]、高階統計量法[7]、基于MMSE（Minimum Mean Square Error，最小均方誤差）的估計法等。如今信號處理方法經過不斷發(fā)展，將各種算法[8-10]應用于時延估計中，提高了時延估計精度，減小了計算量，且提高了收斂速度。當發(fā)射信號為線性調頻[11-12]信號或正弦信號等簡單信號時，通過互相關法[12-15]可以逼近最佳時延估計性能，且在一定信噪比條件下，均方誤差（MSE）能夠逼近CRLB（Cramer-Rao Lower Bound，克拉美羅下界）;高階統計量[16-17]的時延估計方法適用于信號為非高斯信號的情況，因為高斯噪聲的三階及以上的相關函數與互相關函數恒為零，但該算法運算量較大。對于高斯信號而言，例如在窄帶雷達體制下，目標回波近似服從高斯分布[18]，但因為高斯信號具有隨機性，若使用互相關算法會導致性能下降，且基于MMSE的算法進行內插估計時并未進行樣本擬合最小化，從而導致算法性能較差，無法很好地逼近克拉美羅下界。

本文提出針對高斯隨機信號的時延估計算法，通過將互相關函數利用sinc內插公式進行變換，再利用LS（Least Squares，最小二乘）進行樣本擬合，使其代價函數最小化，得到接近于無偏的估計值，并將其與互相關算法、基于MMSE的算法進行仿真比較。在時延估計問題中常采用克拉美羅下界（CRLB）作為估計性能的極限， 即作為時延估計有效性的一種度量，而改進算法的估計性能可以漸近地達到CRLB。

1 基于最小二乘樣本擬合的時延估計算法

本文研究的主要問題即估計兩個接收信號之間的到達時延值。首先建立被動時延估計模型，在離散時間條件下表達式為：

其中[sn]是隨機高斯信號，[α]是衰減常數，[D]是需要估計的時延量，[N]是采樣點個數，而[z1n]與[z2n]是均值為零且互不相關的白噪聲過程，[sn]、[z1n]、[z2n]對應方差分別為[σ2s]、[σ2z1]和[σ2z2]。

信號[x1n]與信號[x2n]的互相關函數[R2，1（τ）]可表示為：

將式（1）、式（2）代入式（3）中，其中[sn]、[z1n]和[z2n]互不相關，得：

根據互相關函數的性質，當[τ=D]時，[R2，1（τ）]取最大值，求得[R2，1（τ）]最大值所對應的[τ]為信號[x1n]與[x2n]之間的時延[D]。但由于實際上是用有限樣本數進行估計，以及環(huán)境中存在噪聲等因素，互相關函數可能找不到一個準確峰值，因此提出以下改進算法。

首先根據MMSE準則，可求得其代價函數：

其中[α]、[D]是[α]與[D]的最優(yōu)變量，假設[α∈R]。

將代價函數[TM（D）]展開，并取其中的互相關部分，可得：

式（6）對應的互相關函數[R2，1（D）∈R]，計算[x2n]與[x1[n-D]]之間的相似性，得到[x1n]與[x1[n-D]]之間的關系，利用sinc內插公式[19]：

將式（6）代入[D=argmaxR2，1（D）]，即找出互相關函數對應的峰值點，而在實際中是基于有限個樣本進行估計，[R2，1（D）]是一個估計量。因此，代入內插公式（7）可得：

因此，代價函數可表示為：

在有限樣本[P]的數值條件下，對代價函數進行改進，利用最小二乘（LS）準則擬合方法，將[TDM（D）]最小化可得[TDM1（D）]。

式（11）中的[β]為[β]的最優(yōu)變量。對式（11）求關于[β]的一階導數：

將式（12）中右式置為零，則能夠用[D]表示[β]，即：

將式（13）代入式（11）求解得到加入最小二乘準則改進的代價函數為：

該代價函數下的估計值D_L為：

得到估計值后，需要驗證所得估計為無偏估計。首先，求[TDL（D）]的一階導數前，需要先得到[（T'DM（D））2]的期望值為非零常數。

當[D=D]時，[（T'DM（D））2]期望值為：

即符合無偏估計條件，D_L接近于無偏。

若所估計的量為無偏估計量，則該估計量可以達到或漸進達到該克拉美羅下界。根據文獻[21]，當信號采樣點數[N→∞]時進行拋物線插值與高斯-馬爾科夫估計后得：

其中[SNR]為信噪比，[L]為接收信號數量。因此，將[L=2]代入式（22）可得本算法對應的[CRLB]為：

2 算法仿真與性能分析

為了驗證算法正確性，對高斯隨機信號進行時延估計。首先生成3個互不相關的復高斯序列[sn]、[z1n]與[z2n]，并假設[σ2z=σ2z1=σ2z2]，使得[SNR=σ2s/σ2z]。因此，[z1n]和[z2n]具有相同功率，從而可以通過改變功率產生不同的[SNR]條件，且衰減系數[α=1]，時延量[D=0.01]。另外，由于蒙特卡羅方法可以保證全局收斂，取1 000個蒙特卡羅法運行的獨立平均值作為最終結果，[DG]代表互相關算法，[DM]代表基于MMSE的算法，[DL]代表基于最小二乘樣本的擬合算法。

由圖1、圖2可知，互相關函數大約在1 010.9位置處取最大值。經過粗略估計，此時估算時延為（2000/2+1）-1 010.9=-9.9，即9.9個采樣周期，換算成時延為0.009 9，而仿真時延估計數值為0.009 915 47，此時估算結果與實際信號時延非常接近。

圖3、圖4給出了不同信噪比與不同[P]值下的均方延遲誤差值。觀察圖3可知，在-10

另將圖3與圖4作對比，發(fā)現在信噪比逐漸增大時，[P]值也會增大，能夠提高本算法效果，[DL]在信噪比影響下能更好地逼近于CRLB。

圖5給出了不同[N]點數下的均方延遲誤差值。由圖5可以分析得出，[DG]在[N]逐漸增大時，所得誤差會逐漸偏離CRLB，并收斂于自身算法極限，而基于最小二乘樣本擬合的[DL]能夠得到較為準確的延遲誤差值。從總體上看，[DL]的均方延遲誤差能夠最好地逼近CRLB，而[DG]與[DM]算法收斂至其極限值后則不再增加。

3 結語

本文針對高斯隨機信號提出基于最小二乘樣本擬合算法，通過sinc內插公式在有限數量樣本條件下估計代價函數中的互相關量，并通過LS準則進行樣本擬合，將代價函數最小化，求得代價函數極值點，該值即為所需的時延估計值，并將其與互相關算法及基于MMSE的算法進行性能比較。由算法仿真結果可得，在不同信噪比或不同[N]點數量的條件下，基于最小二乘樣本擬合的[DL]相比于互相關算法的[DG]與基于MMSE算法的[DM]，都能更精確地計算出時延誤差值，且對于較大的[P]值，[DL]也能夠更好地逼近CRLB。因此，可得到基于最小二乘樣本擬合的[DL]總體性能最佳。

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（責任編輯：黃 健）