一種多性能要求的控制器設(shè)計(jì)方法及其應(yīng)用*

李繼廣,董彥非,屈高敏,王克平,吳 悅,白楠楠

(西安航空學(xué)院飛行器學(xué)院, 西安 710077)

0 引言

隨著無(wú)人機(jī)的廣泛應(yīng)用和任務(wù)擴(kuò)展的需求,對(duì)無(wú)人機(jī)的飛行性能也提出了更高的要求[1-2]。這種更高的性能需求,對(duì)最常用PID控制方法提出了新的挑戰(zhàn)。為了解決該問(wèn)題,許多現(xiàn)代控制方法得到了重視和深入研究。例如,文獻(xiàn)[3]采用根軌跡方法設(shè)計(jì)PID控制器,實(shí)現(xiàn)對(duì)可變性飛行器的縱向控制;文獻(xiàn)[4]研究了魯棒H控制綜合問(wèn)題;文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)無(wú)人機(jī)姿態(tài)自適應(yīng)模糊PID控制器;文獻(xiàn)[6]提出了一種基于約束粒子群優(yōu)化的導(dǎo)彈控制器設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[7]提出了一種最優(yōu)魯棒特征結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。

雖然這些方法相較于傳統(tǒng)PID控制方法有著巨大的優(yōu)勢(shì)。但是,這些方法設(shè)計(jì)的目標(biāo)都是使得控制系統(tǒng)的單一性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。而且,相較于傳統(tǒng)的PID控制器,這些方法的設(shè)計(jì)過(guò)程都很復(fù)雜,工程實(shí)現(xiàn)也很困難。對(duì)于無(wú)人機(jī)這種飛行環(huán)境復(fù)雜、任務(wù)需求多樣、自身非線(xiàn)性和耦合特性嚴(yán)重的控制對(duì)象來(lái)說(shuō),單一性能指標(biāo)最優(yōu)在實(shí)際中并不能滿(mǎn)足需要[8-9]。例如,響應(yīng)特性最優(yōu)控制器往往穩(wěn)定性和魯棒性較差;魯棒性最優(yōu)的控制器操作性能和動(dòng)態(tài)特性往往不能令人滿(mǎn)意。因此,在工程實(shí)踐中,需要的并不是單一指標(biāo)最優(yōu)的控制器,而是各項(xiàng)指標(biāo)都能滿(mǎn)足需求的控制器。

為了解決該問(wèn)題,文中在深入分析無(wú)人機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)控制需求的基礎(chǔ)上,提出了一種滿(mǎn)足多種性能指標(biāo)約束的控制器設(shè)計(jì)方法。

1 無(wú)人機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)及控制需求分析

無(wú)人機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)主要包括側(cè)滑角β、滾轉(zhuǎn)角速率p、偏轉(zhuǎn)角速率r及滾轉(zhuǎn)角φ。運(yùn)動(dòng)方程如下:

(1)

式中:m為無(wú)人機(jī)的重量;v0為無(wú)人機(jī)真空速;δa為副翼;δr為方向舵;Ix、Iz、Ixz為無(wú)人機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；其它為無(wú)人機(jī)的氣動(dòng)參數(shù)。

在無(wú)人機(jī)的橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)中,側(cè)滑角是需要消除掉的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。從式(1)中的第2、第3式可知,側(cè)滑角對(duì)無(wú)人機(jī)的滾轉(zhuǎn)角和偏航角有著巨大的影響。因此,側(cè)滑角的存在會(huì)對(duì)無(wú)人機(jī)的氣動(dòng)特性和穩(wěn)定性能產(chǎn)生極大的影響,嚴(yán)重影響無(wú)人機(jī)的飛行性能和飛行品質(zhì)。滾轉(zhuǎn)角是需要快速、精確控制運(yùn)動(dòng)狀態(tài),這對(duì)無(wú)人機(jī)的穩(wěn)定和按航跡自主飛行至關(guān)重要。另外,從式(1)中的第1式可知,無(wú)人機(jī)的滾轉(zhuǎn)角會(huì)對(duì)側(cè)滑角產(chǎn)生耦合影響。如何在滾轉(zhuǎn)操縱時(shí)防止側(cè)滑角的出現(xiàn)是無(wú)人機(jī)橫側(cè)向控制的難點(diǎn)。由于無(wú)人機(jī)自主飛行的特性,因此對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著更高的要求。同時(shí),各種擾動(dòng)和外界干擾,會(huì)對(duì)無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響,從而影響飛行穩(wěn)定和航跡跟蹤精度。所以,對(duì)控制器的魯棒性也有較高的要求。

因此,對(duì)于無(wú)人機(jī)的橫側(cè)向控制來(lái)說(shuō),對(duì)控制器的要求包括穩(wěn)定性、快速響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差小,以及較強(qiáng)的魯棒性。這些性能指標(biāo)并不強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)最優(yōu),但是要求所有指標(biāo)都滿(mǎn)足控制需求。

2 性能指標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)

無(wú)人機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)模型可表示成如下形式:

(2)

在滿(mǎn)足各種指標(biāo)需求的控制理論思想指導(dǎo)下,對(duì)于帶有控制器的閉環(huán)系統(tǒng),建立滿(mǎn)足各種系統(tǒng)性能指標(biāo)需求的約束條件。以原系統(tǒng)式(2)為例,其帶有狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)為:

(3)

式中:K為狀態(tài)反饋控制器參數(shù)。

該閉環(huán)控制系統(tǒng)各項(xiàng)指標(biāo)以及數(shù)學(xué)約束如下:

1)極點(diǎn)指標(biāo)

該指標(biāo)主要體現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求和快速響應(yīng)要求。該指標(biāo)約束要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于左半復(fù)平面區(qū)域Ω={s∈C:Re(s)≤-α}(α>0)。該指標(biāo)約束可用方程表示為[10]:

(4)

2)方差指標(biāo)

方差指標(biāo)是系統(tǒng)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差需求的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)上,該指標(biāo)為閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣E滿(mǎn)足diag(E)≤σ2。該指標(biāo)約束可用方程表示為:

(5)

(6)

設(shè)計(jì)滿(mǎn)足各種需求的控制器,就是求解式(4)～式(6)所確定的線(xiàn)性不等式方程組。

3 基于增廣系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

3.1 控制器設(shè)計(jì)

無(wú)人機(jī)橫側(cè)向線(xiàn)性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)可表示為:

(7)

式中:ω為隨機(jī)擾動(dòng),是均值為零的高斯白噪聲,其強(qiáng)度為w>0;A、B、C、D為適維矩陣。

對(duì)于式(7)所確定的系統(tǒng),在控制輸入點(diǎn)之前引入積分環(huán)節(jié)構(gòu)建增廣系統(tǒng)可得:

(8)

式中:

設(shè)增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋為:

uz=Kz

(9)

(10)

則可得原系統(tǒng)(7)的PI形式的控制器:

(11)

式中:K3=K2(BTB)-1BT,K4=K1-K2(BTB)-1BTA。

通過(guò)式(8)所建立的增廣系統(tǒng),和第2節(jié)所確立的性能約束條件,通過(guò)求解多維線(xiàn)性矩陣不等式組,則可以得到系統(tǒng)(2)類(lèi)似傳統(tǒng)PI控制器的滿(mǎn)足多性能要求的控制器。

3.2 控制器存在性條件

從上節(jié)的設(shè)計(jì)過(guò)程知道,無(wú)人機(jī)橫側(cè)向多性能控制器設(shè)計(jì)最后歸結(jié)為求解3個(gè)線(xiàn)性矩陣不等式。但是,這里面臨著一個(gè)問(wèn)題:是否存在這樣的反饋控制參數(shù)K,使得閉環(huán)系統(tǒng)滿(mǎn)足這些線(xiàn)性矩陣不等式的約束？

為了回答該問(wèn)題,文中做如下證明。令X=A+BK為要求解的矩陣,對(duì)以上指標(biāo)約束方程在形式上做簡(jiǎn)單變形,可以表示成以下統(tǒng)一的形式:

XG+GTXT+Q<0

(12)

下面以確定該線(xiàn)性矩陣不等式方程的可解性條件,從而判斷兩種控制器可解空間的大小。為了給出線(xiàn)性矩陣不等式(12)具有可行解的條件,先給出下面的投影定理。

(13)

(14)

由Schur補(bǔ)引理,式(14)等價(jià)于:

(15a)

(15b)

由投影定理可知,式(12)具有可行解的條件是:

GT⊥QGT⊥T>0

(16)

因此,可以得到如下結(jié)論:

定理1:線(xiàn)性矩陣不等式XG+GTXT+Q<0可行的充分必要條件為:

GT⊥QGT⊥T>0,XG+GTXT+Q<0

(17)

4 和PID控制器比較

對(duì)于文中所得到滿(mǎn)足多種性能指標(biāo)要求的控制器,對(duì)原系統(tǒng)來(lái)說(shuō),實(shí)質(zhì)上是一種類(lèi)似PI控制器的全狀態(tài)反饋控制器。那么,該控制器在工程實(shí)現(xiàn)上是否存在問(wèn)題呢？和傳統(tǒng)的PID控制器相比又有什么優(yōu)缺點(diǎn)呢？下面將解決該問(wèn)題。

4.1 兩種控制器性能及結(jié)構(gòu)分析

基于積分環(huán)節(jié)構(gòu)建增廣系統(tǒng)構(gòu)建的控制器如式(11)所示。對(duì)原系統(tǒng)來(lái)說(shuō),該控制器實(shí)質(zhì)上是一種全狀態(tài)反饋控制器。下面分析該控制器的積分部分。

一個(gè)系統(tǒng),在所有激勵(lì)作用下可表示為:

(18)

對(duì)上述系統(tǒng)表達(dá)式兩邊積分可得:

(19)

對(duì)于全狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō),系統(tǒng)輸入可表示為:

U=LX

(20)

把式(20)代入式(19)可得:

(21)

當(dāng)矩陣(A-BL)為可逆矩陣時(shí),則有:

(22)

把式(20)代入式(18)式可得:

(23)

若系統(tǒng)的比例積分控制器表示為:

(24)

把式(22)代入式(24)可得:

U=[K3+K4(A-BL)-1]X

(25)

若系統(tǒng)的PID控制器表示為:

(26)

把式(22)和式(23)代入式(26)可得:

U=[K3+K4(A-BL)-1+K5(A+BL)]X

(27)

根據(jù)以上分析可知,可得如下結(jié)論:

定理2 在系統(tǒng)的狀態(tài)全部參與控制反饋的情況下,當(dāng)L=K3+K4(A-BL)-1所確定的矩陣L存在時(shí),全狀態(tài)反饋控制器與比例積分(PI)控制器等價(jià)。當(dāng)L=K3+K4(A-BL)-1+K5(A+BL)所確定的矩陣L存在時(shí),全狀態(tài)反饋控制器與PID控制器等價(jià)。

4.2 文中控制器的優(yōu)點(diǎn)

工程實(shí)踐中,在控制性能相當(dāng)?shù)那闆r下,文中控制器在結(jié)構(gòu)和工程應(yīng)用上具有的優(yōu)勢(shì)如下:

首先,設(shè)計(jì)得到的控制器和傳統(tǒng)PID控制器相似,具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。另外,由定理2可知,該控制器在滿(mǎn)足一定條件下,和傳統(tǒng)PID控制等價(jià)。但是,由于采用了全狀態(tài)反饋控制的形式,相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)的每一狀態(tài)都進(jìn)行了控制。因此,相較于只對(duì)輸出狀態(tài)進(jìn)行控制的傳統(tǒng)PID控制器來(lái)說(shuō),可以獲得更好的控制效果。

第二,減少了控制對(duì)微分和積分信號(hào)的依賴(lài),方便工程實(shí)現(xiàn)。以飛行控制系統(tǒng)為例,在當(dāng)前技術(shù)條件下可以直接測(cè)量得到的反饋信號(hào)依然有限。迎角、側(cè)滑角等信號(hào)的測(cè)量誤差較大,測(cè)量?jī)x器安裝困難且傳感器成本較大;積分和微分等高階信號(hào)直接測(cè)量是十分困難甚至是不可能的。因此,減少對(duì)微分和積分信號(hào)依賴(lài)的控制器,更利于工程實(shí)現(xiàn)。

第三，提高系統(tǒng)的可靠性。全狀態(tài)反饋控制器可以不必測(cè)量系統(tǒng)的微分和積分信號(hào),減少了系統(tǒng)大測(cè)量和電子器件。在器件故障率相同的條件下,減少器件的使用數(shù)量,也就提高了系統(tǒng)的可靠性。

第四,經(jīng)濟(jì)性更好。測(cè)量敏感器件的花銷(xiāo)占據(jù)了控制系統(tǒng)成本的很大一部分,全狀態(tài)反饋控制器依賴(lài)比較少的反饋信號(hào),降低了系統(tǒng)中測(cè)量敏感器件的數(shù)量,從而降低了控制系統(tǒng)的成本。

5 仿真驗(yàn)證

某飛機(jī)的飛行狀態(tài)為:飛行速度v0=100 m/s,H=5 000 m。側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程為:

以極點(diǎn)位于(-6,0)為圓心,2為半徑的圓形區(qū)域,方差指標(biāo)σ≤10為設(shè)計(jì)條件,采用滿(mǎn)足多性能要求的控制器設(shè)計(jì)方法得到的控制器參數(shù)如下:

采用設(shè)計(jì)得到的控制器,下面來(lái)驗(yàn)證控制器的控制效果。首先來(lái)看控制器對(duì)側(cè)滑角的消除能力。當(dāng)側(cè)滑角為5°時(shí),無(wú)人機(jī)的側(cè)滑角響應(yīng)如圖1所示。

圖1 控制器對(duì)無(wú)人機(jī)側(cè)滑角的消除能力

從圖1可知,控制器僅用了2 s就消除了無(wú)人機(jī)的側(cè)滑角,響應(yīng)迅速。而且,側(cè)滑角收斂到0°狀態(tài),沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差的存在。說(shuō)明文中所設(shè)計(jì)的控制器具有快速消除側(cè)滑角的能力。

接下來(lái)看控制器對(duì)滾轉(zhuǎn)角通道的快速響應(yīng)能力。給定5°滾轉(zhuǎn)角指令,無(wú)人機(jī)的滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)如圖2所示。

從圖2可知,無(wú)人機(jī)的滾轉(zhuǎn)角僅用1.8 s就快速跟蹤了滾轉(zhuǎn)角輸入指令。而且響應(yīng)過(guò)程無(wú)超調(diào)、無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。

從無(wú)人機(jī)側(cè)滑角消除和滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)仿真結(jié)果可知,所設(shè)計(jì)的控制器具有良好的性能,滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。證明了文中方法所設(shè)計(jì)的控制器是有效的。

圖2 無(wú)人機(jī)滾轉(zhuǎn)角通道響應(yīng)

6 結(jié)論

針對(duì)無(wú)人機(jī)橫側(cè)向控制的具體問(wèn)題和工程上對(duì)控制器的實(shí)際需求,提出了一種滿(mǎn)足多性能需求要求的控制器設(shè)計(jì)方法。工程所需要的控制器,并不追求單一性能指標(biāo)的最優(yōu),而是各項(xiàng)性能指標(biāo)都滿(mǎn)足需求。因此,文中以穩(wěn)定性、快速響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差、魯棒性為設(shè)計(jì)性能指標(biāo)要求,設(shè)計(jì)一種滿(mǎn)足多種性能要求的控制器。文提出了該控制器的設(shè)計(jì)步驟,證明了該控制器存在的條件,以及該控制器和傳統(tǒng)PID控制器對(duì)比存在的優(yōu)點(diǎn)。

所設(shè)計(jì)控制器的優(yōu)點(diǎn)包括:控制效果好;減少了控制器對(duì)微分和積分信號(hào)的依賴(lài);提高系統(tǒng)的可靠性;經(jīng)濟(jì)性更好。最后,通過(guò)對(duì)無(wú)人機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)控制器的設(shè)計(jì)和仿真驗(yàn)證,證明了該控制器滿(mǎn)足各種性能指標(biāo),該方法是有效的。