基于光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法與TANH本構(gòu)方程的鈦合金切屑形態(tài)預(yù)測

牛偉龍，莫 蓉，孫惠斌，韓周鵬

(西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

鈦合金Ti-6Al-4V具有低密度、高強(qiáng)度、抗腐蝕性等優(yōu)點(diǎn)，常被用作航空航天等領(lǐng)域的加工材料，而這種具有高硬度、低熱物理性能的材料在切削加工時(shí)往往容易產(chǎn)生鋸齒形切屑[1].由于鋸齒形切屑在形成過程中容易引起機(jī)床的振動(dòng)，影響工件表面的加工質(zhì)量，減少刀具壽命，所以對鈦合金鋸齒形切屑的形成機(jī)理研究有著重要的意義.但鈦合金是一種難加工材料，且價(jià)格昂貴，以實(shí)驗(yàn)的方法研究它的形成機(jī)理費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且成本較高.近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)不斷的發(fā)展，計(jì)算機(jī)模擬切削過程成為了研究它的一種重要手段.

然而，大部分學(xué)者建立鈦合金切削模型時(shí)都是基于有限元方法(FEM)，且模型往往都將重點(diǎn)放在切削力預(yù)測上，對切屑形態(tài)的預(yù)測不夠準(zhǔn)確，甚至無法模擬出鋸齒形切屑，這也從側(cè)面反映出鈦合金切削數(shù)值模型的精度不高.近年來，隨著對鈦合金加工精度要求的不斷提高，鈦合金鋸齒形切屑對工件的影響也逐漸被研究者重視起來，一些學(xué)者也開始對其形成過程進(jìn)行分析和模擬.Su等[2]基于塑性金屬材料塑脆性轉(zhuǎn)化，研究了高速切削鋸齒形切屑形成過程和機(jī)理，并揭示了鋸齒形切屑形成時(shí)切屑分節(jié)的變化規(guī)律和集中剪切帶的啟動(dòng)與擴(kuò)展路徑；Zhang等[3]提出了一種基于本征自洽法的流動(dòng)應(yīng)力模型，將鈦合金的化學(xué)成分和α相、β相晶體結(jié)構(gòu)對材料的流動(dòng)應(yīng)力的影響都考慮在內(nèi)，模擬出了鈦合金在高速切削下的鋸齒形切屑；Chen 等[4]采用Jonhson-Cook(JC)模型以及能量的塑性失效準(zhǔn)則模擬鈦合金鋸齒形切屑的形成.但目前現(xiàn)有的大部分切削模型對切屑形態(tài)的預(yù)測往往精度不高，其原因主要有以下幾點(diǎn)：① 大部分切削模型都是基于FEM所建立，其最大缺點(diǎn)就是依賴網(wǎng)格，當(dāng)模擬大變形問題時(shí)(鋸齒形切屑的形成)容易發(fā)生網(wǎng)格畸變，從而造成計(jì)算精度不高；② 網(wǎng)格的劃分方式?jīng)]有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，為模擬鋸齒形切屑的形成，建模者往往跟據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，造成不同建模者所建立的模型結(jié)果差別很大；③ 切屑與工件的分離需要設(shè)置分離層和分離準(zhǔn)則，在切屑與工件分離時(shí)需要?jiǎng)h除分離層，無法實(shí)現(xiàn)切屑與工件的自然分離；④ 大部分模型采用JC本構(gòu)模型或JC損傷本構(gòu)模型，而這兩種本構(gòu)模型無法描述在大應(yīng)變狀態(tài)下的材料動(dòng)態(tài)力學(xué)性能.

為解決以上缺點(diǎn)，研究采用一種無網(wǎng)格方法——光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(SPH)方法對鈦合金切削過程進(jìn)行模擬.由于該方法是一種拉格朗日形式的無網(wǎng)格粒子法，相對于傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的FEM，它的自適應(yīng)性在場變量早期便得到了，同時(shí)它的公式構(gòu)造并不受粒子分布的影響，所以可以很自然處理一些具有大變形的問題[5]，如切屑分離和鋸齒形切屑的形成.

同時(shí)，研究還引入了一種名為TANH的材料本構(gòu)模型，相對于JC模型和JC損傷模型，它可以準(zhǔn)確描述出鈦合金在大應(yīng)變下材料流動(dòng)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系.由于在切削過程中，鈦合金受到刀具的擠壓，內(nèi)部晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，產(chǎn)生新的晶體結(jié)構(gòu)后，材料在發(fā)生形變過程中的流動(dòng)應(yīng)力最終會趨于穩(wěn)定.TANH模型也將這一過程考慮在內(nèi)，全面描述了切削過程中鈦合金材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能.

綜上所述，基于SPH方法，結(jié)合TANH本構(gòu)模型，以Fortran90為模型開發(fā)平臺，通過分析TANH模型中的修正參數(shù)對材料應(yīng)力應(yīng)變曲線變化的影響，標(biāo)定出TANH模型中最優(yōu)修正參數(shù)，使整個(gè)切削模型相較于傳統(tǒng)的切屑模型更加準(zhǔn)確和可靠.最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性.

1 SPH基本原理

SPH方法在1977年被Lucy首次提出[6]，它最先被用于天體物理現(xiàn)象的模擬，隨后被廣泛應(yīng)用于連續(xù)固體力學(xué)[7-9]和流體力學(xué)[10-12]中.SPH方法與FEM不同，它是一種拉格朗日形式的無網(wǎng)格粒子方法，其核心思想如下：

(1)由任意分布的粒子來表示問題域，粒子之間不需要任何連接.

(2)近似的場函數(shù)由積分法來表示.

(3)將核近似方程應(yīng)用粒子來進(jìn)一步近似.

(4)所應(yīng)用的粒子取決于當(dāng)前局部分布的粒子(局部粒子的多少由光滑長度決定)，粒子的近似過程在每一個(gè)時(shí)間步內(nèi)都要進(jìn)行.

(5)速度、能量、密度等場變量的偏微分方程都會用到粒子近似法，從而得到一系列與時(shí)間相關(guān)的離散化常微分方程.

(6)通過顯示積分法求解常微分方程，得到以時(shí)間為變量的所有粒子的場變量值.

SPH方法的關(guān)鍵步驟有兩步：

(1)核函數(shù)近似

(1)

式中：Ω為該點(diǎn)粒子的支持域；xi和xj為粒子i與粒子j相應(yīng)位置的函數(shù)變量；W為光滑核函數(shù)，h為光滑長度，用來定義光滑核函數(shù)影響區(qū)域的范圍.根據(jù)文獻(xiàn)[13]選取三次樣條光滑函數(shù)作為研究SPH的核函數(shù)：

(2)

式中：αd=15/(7πh2)為歸一化因子；q=rij/h,rij是粒子i和粒子j之間的距離，h的大小取決于實(shí)際問題，過大可能影響計(jì)算效率，過小會造成精度不高.在本研究中，采用 1.5 倍的粒子間距(該間距在初始設(shè)置時(shí)給出)作為光滑長度.

(2)粒子近似.在SPH方法中，可以使用粒子的體積ΔVj來取代式(1)中粒子j處的無窮小單元dxj，因此，粒子j的體積可以表示為

ΔVj=mj/ρj

(3)

式中：mj為粒子j的質(zhì)量(j=1,2,…,N)，N為粒子j支持域內(nèi)的所有粒子總數(shù)；ρj為粒子的密度.將式(3)代入式(1)可得粒子i處的近似式為

(4)

綜上，可以看出SPH方法的實(shí)質(zhì)就是將一些宏觀變量(溫度、壓力、密度等)通過一組無序點(diǎn)的值表示成積分的形式.在這組點(diǎn)中，各個(gè)點(diǎn)之間的相互作用通過插值函數(shù)來描述，并利用插值函數(shù)給出各點(diǎn)處的核函數(shù)的近似估計(jì)值.

圖1 切削模型Fig.1 Cutting model

2 數(shù)值模型的建立

2.1 SPH切削模型

研究將刀具看成剛體，建立二維的SPH切削模型.如圖1所示，切削參數(shù)有切削速度V、切削前角α、切削后角β、切屑齒高(h1、h2)、齒距w和切削深度l.模型基于Fortran90平臺開發(fā)，程序基本結(jié)構(gòu)如圖2所示.圖3所示為一個(gè)工件的切削模型，工件尺寸在模型中定義為1 mm×2 mm，由 20 000 個(gè)粒子組成，每一個(gè)粒子都攜帶著工件的材料屬性，如質(zhì)量、密度等.由于各個(gè)粒子之間不存在拓?fù)潢P(guān)系，所以模型可以在刀具切削過程中實(shí)現(xiàn)切屑和工件的自然分離，不存在FEM中網(wǎng)格發(fā)生畸變等問題.

圖2 SPH程序結(jié)構(gòu)Fig.2 SPH program structure

圖3 SPH切削模型Fig.3 SPH Cutting model

2.2 TANH本構(gòu)模型

對于切削模型，它的求解能力及精度除了與材料本身的物理性能相關(guān)外，還與材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能相關(guān).而材料的本構(gòu)方程就是用來描述材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，它不僅是研究金屬變形的重要基礎(chǔ)，更是模擬切削加工過程的關(guān)鍵.

JC模型[14]是目前應(yīng)用最為廣泛的金屬材料本構(gòu)模型，它綜合考慮了溫度、應(yīng)變與應(yīng)變率之間的關(guān)系，形式簡單，物理意義清楚.對于材料在變形過程中所發(fā)生的應(yīng)變和應(yīng)變率強(qiáng)化以及熱軟化現(xiàn)象都可以描述，但JC模型無法描述鈦合金在大應(yīng)變情況下的應(yīng)變軟化現(xiàn)象，也無法模擬鈦合金形成的鋸齒形切屑.為此，許多學(xué)者在JC模型的基礎(chǔ)上加入損傷模型[15]，雖然加入JC損傷模型可以模擬出切削過程中鈦合金Ti-6Al-4V鋸齒形切屑的形成，但JC損傷模型所描述的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系與材料的實(shí)際變化過程并不完全相符.圖4所示為材料在整個(gè)變形階段的應(yīng)力應(yīng)變曲線圖，實(shí)線描述材料在發(fā)生變形時(shí)的實(shí)際應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，而虛線為JC模型和JC損傷模型描述材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系.由此可見，在材料發(fā)生小應(yīng)變的情況下,JC和JC損傷模型都可以準(zhǔn)確描述出材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，但隨著材料應(yīng)變的增大，兩個(gè)模型都無法作出準(zhǔn)確的描述.

圖4 不同本構(gòu)模型的應(yīng)力與應(yīng)變變化規(guī)律Fig.4 Stress-strain curve of different constitutive models

TANH模型[16-18]是在JC模型的基礎(chǔ)上建立的，由于JC模型只考慮材料的應(yīng)變強(qiáng)化、應(yīng)變率強(qiáng)化以及熱軟化，沒有考慮材料在大應(yīng)變下的應(yīng)變軟化現(xiàn)象，而JC損傷模型雖然可以模擬出鋸齒形切屑，但是它是通過將材料在大應(yīng)變下的流動(dòng)應(yīng)力設(shè)置為0而模擬出的，不符合材料流動(dòng)應(yīng)力的實(shí)際變化規(guī)律.TANH模型不僅考慮了材料的應(yīng)力軟化現(xiàn)象，也考慮了材料的再結(jié)晶現(xiàn)象，即材料的流動(dòng)應(yīng)力σ隨應(yīng)變ε的增大最終會趨于穩(wěn)定.其表達(dá)式為

(7)

圖6所示為材料在應(yīng)變率為 2 000 s-1下JC和TANH模型的應(yīng)力(σ)應(yīng)變(ε)曲線圖，從圖中可以看出：應(yīng)變小于 0.3 時(shí)，TANH模型與JC模型曲線基本擬合；當(dāng)應(yīng)變大于 0.3 后，JC模型的應(yīng)力隨應(yīng)變的增加一直增大，TANH模型的應(yīng)力開始減小，并隨后趨于穩(wěn)定.TANH模型這種變化趨勢符合鈦合金在大應(yīng)變下發(fā)生的應(yīng)變軟化現(xiàn)象.這里值得注意的是隨著應(yīng)變的增加，TANH模型描述的應(yīng)力最終不為0，而是穩(wěn)定在某一值，這是由于鈦合金材料受到外力破壞，材料晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生了破壞再結(jié)晶的現(xiàn)象，這也證明了TANH模型能準(zhǔn)確描述鈦合金在形變過程中的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能.

表1 材料和TANH模型參數(shù)[19-20]Tab.1 Parameters of material and TANH model[19-20]

圖5 參數(shù)對應(yīng)力應(yīng)變曲線的影響Fig.5 Influence of parameters on the stress-strain curves

圖6 JC和TANH模型的應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.6 Stress-strain curves of JC and TANH model

2.3 接觸算法

如圖7(a)所示，刀具由粒子構(gòu)成，由于刀具是剛體，刀具粒子不攜帶材料的任何屬性，并且由于是高速切削，發(fā)生的是絕熱剪切，故也無需考慮刀具的導(dǎo)熱性.溫度則由SPH中溫度計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算[5]，這里只需賦予刀具粒子的位置信息和速度信息，而這些信息則由刀具的初始位置以及刀具的速度來確定.在獲得這些信息后，利用這些表面粒子的位置信息和速度信息來計(jì)算表面粒子的法向量和切向量，通過這些向量來決定切削力的方向以及判斷刀具表面粒子和工件表面粒子接觸位置.當(dāng)?shù)毒弑砻媪Ｗ咏咏ぜ牧Ｗ訒r(shí)，兩種不同類型的產(chǎn)生相互作用力.

計(jì)算接觸力有兩個(gè)步驟，首先需要判斷兩粒子是否接觸，在這里設(shè)置接觸閾值，即當(dāng)兩種不同類型的粒子間距小于或等于某一值時(shí)，兩種粒子被判斷為發(fā)生接觸，它們之間發(fā)生相互作用，產(chǎn)生相互作用力.這里值得注意的是，刀尖圓弧半徑R與刀尖粒子的接觸閾值相等，即這里可以將R設(shè)置為刀尖粒子的接觸閾值.如圖7(b)所示，點(diǎn)p為工件粒子i到刀具表面的垂點(diǎn)，dp為工件粒子i到刀具表面粒子的實(shí)際垂直距離，d0為兩種粒子的接觸閾值.當(dāng)dp≤d0時(shí)，接觸發(fā)生.p點(diǎn)處的切向量τp和法向量np的計(jì)算式為

(8)

式中：Xk+1=(xk+1,yk+1)和Xk=(xk,yk)為刀具表面粒子k+1和粒子k的坐標(biāo)值.

圖7 SPH切削模型和粒子之間交互作用Fig.7 SPH cutting model and the particles interaction

(9)

式中：mi為粒子i的質(zhì)量；vpi=vp-vi，vp為點(diǎn)p處的速度，即刀具速度，vi為粒子i的速度；μ為刀具與工件之間的摩擦系數(shù)；Δt為時(shí)間增量.利用上式可計(jì)算刀具和工件的受力情況[13-16].

3 實(shí)例驗(yàn)證及討論

3.1 切屑形態(tài)的預(yù)測

模型對Calamaz等的實(shí)驗(yàn)條件[17]進(jìn)行數(shù)值模擬，刀具切削前角為0°，刀尖圓弧半徑為20 μm，工件尺寸為 0.5 mm×1 mm，刀具切削速度為21～235 m/min，切削深度為 0.1 mm.圖8所示為3種不同材料本構(gòu)模型所產(chǎn)生的切屑形態(tài)，從圖中可以看出：采用JC模型的切削模型并沒有產(chǎn)生鋸齒形切屑；采用JC損傷模型的切削模型雖然模擬出了鋸齒形切屑，但切屑形態(tài)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比并不規(guī)則，差別很大；而采用TANH模型的切削模型產(chǎn)生了與實(shí)際切屑形態(tài)相符并且比較規(guī)則的鋸齒形切屑.

圖9(a)所示為高速攝像機(jī)拍攝的實(shí)際切削過程，圖9(b)所示為數(shù)值模擬結(jié)果，對比來看，該SPH模型很好地模擬出了刀具切削工件時(shí)剪切帶和發(fā)生主要變形的區(qū)域.同時(shí)，該模型也很好地解釋了鋸齒形切屑的形成過程，如圖10所示：

圖8 不同本構(gòu)的切削模型Fig.8 Different constitutive cutting models

(1)刀尖擠壓工件，這時(shí)候在主剪切帶，應(yīng)力應(yīng)變迅速增大，如圖10(a)和(b)所示.

(2)隨著刀具擠壓增大，達(dá)到材料的屈服極限，材料的塑性變形開始發(fā)生，應(yīng)變和應(yīng)力繼續(xù)增大，主剪切帶開始向刀具前進(jìn)方向滑移，見圖10(c)和(d).

(3)隨著刀具的繼續(xù)前進(jìn)，應(yīng)力達(dá)到最大值后開始減小，材料發(fā)生再結(jié)晶現(xiàn)象，主剪切帶發(fā)生滑移，產(chǎn)生鋸齒形切屑，如圖10(e)和(f)所示.

在本研究中，將切屑兩齒之間的平均距離w以及齒高h(yuǎn)1與h2作為衡量切屑形態(tài)的參量，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，如表2所示.表2中：δi(i=h1,h2,w)為i的相對誤差.

圖9 切屑形態(tài)局部特征Fig.9 Local characteristics of chip morphology

圖10 切屑的形成過程Fig.10 Process of chips formation

表2 切屑形態(tài)模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)之間的誤差對比Tab.2 Comparison of errors in simulation chips morphology and experimental results

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬的結(jié)果對比顯示，基于SPH方法和TANH本構(gòu)模型所建立的切削模型可以很好地對鋸齒形切屑的齒高和齒寬進(jìn)行預(yù)測，雖然存在誤差，但考慮到切削是一個(gè)復(fù)雜的過程，受到實(shí)驗(yàn)環(huán)境、機(jī)床振動(dòng)等客觀因素的影響，該模擬結(jié)果的誤差在可接受的范圍內(nèi).

3.2 切削力預(yù)測

切削力是衡量切削模型準(zhǔn)確的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，因此，模型通過刀具表面粒子與工件粒子之間的相互作用來計(jì)算切削力，并將其輸出.圖11所示為刀具在切削速度為188 m/min,切削深度為 0.1 mm，時(shí)間長度為20 μs下切削力的變化.由圖可見：切削力波動(dòng)幅度較大，且呈現(xiàn)先增后降的周期性變化.形成這種變化的原因主要是由于刀具在切削鈦合金工件時(shí)，隨著刀具的前進(jìn)，主剪切帶應(yīng)力應(yīng)變突然增大，產(chǎn)生局部失穩(wěn)并產(chǎn)生滑移，切削力也會隨著主剪切帶滑移而有一個(gè)瞬時(shí)的減小，隨后在進(jìn)入下一個(gè)鋸齒形切屑的形成過程中，切削力又逐漸增大.

圖11 不同時(shí)刻的切削力Fig.11 Cutting force with different moments

表3 切屑力模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)之間的誤差對比
Tab.3 Comparison of errors in simulation cutting force and experimental results

V/(m·min-1)Fe/N實(shí)驗(yàn)?zāi)MδFe/%Fc/N實(shí)驗(yàn)?zāi)MδFc/%7527224211.036015567.499430635616.345955723.8711635935011.396355897.241504144539.4262456010.261884344007.836115588.672334284658.646215737.73

表3所示為不同V下的平均切削力(Fc)和平均推擠力(Fe)的對比.其中：δi(i=Fc,Fe)為i的相對誤差.結(jié)果顯示，模型對切削力預(yù)測較為準(zhǔn)確，但也存在一定的誤差.誤差原因可能為：① 數(shù)值模型均在理想切削條件下，并沒有考慮人為因素(加工誤差)、加工環(huán)境等影響；② 模型將刀具看成剛體，忽略了刀具變形以及磨損對切削力的影響；③ 模型沒有將機(jī)床和刀具振動(dòng)考慮在內(nèi)，振動(dòng)也會影響切削力的變化.

4 結(jié)語

上述研究表明，與傳統(tǒng)有限元切削模型相比，基于SPH方法的切削模型解決了基于FEM傳統(tǒng)的切削模型在切削過程中網(wǎng)格易發(fā)生畸變的問題，使模擬和計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確.同時(shí)采用TANH本構(gòu)模型對材料發(fā)生大應(yīng)變情況下的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能進(jìn)行描述，準(zhǔn)確模擬出了鈦合金在切削過程中產(chǎn)生的鋸齒形切屑形態(tài).通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比，基于SPH方法和TANH本構(gòu)模型所建立的切削模型模擬出的鋸齒形切屑的齒高、齒寬以及切削力準(zhǔn)確可靠.總的來說，該模型相較于大部分FEM的切削模型，有著如下優(yōu)點(diǎn)：

(1)避免了網(wǎng)格畸變，很好地模擬出了切屑發(fā)生時(shí)大變形的部位，并且實(shí)現(xiàn)了切屑與工件的自然分離，不需要設(shè)置分離準(zhǔn)則和刪除網(wǎng)格.

(2)將鈦合金材料在發(fā)生變形過程中的應(yīng)變軟化和材料再結(jié)晶現(xiàn)象都考慮在內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了切屑形態(tài)和切削力的準(zhǔn)確預(yù)測.

目前研究無論是在切屑形態(tài)還是在切削力預(yù)測上都存在一定的誤差，在未來的研究中可以針對文中所提到誤差原因?qū)δＰ瓦M(jìn)行改進(jìn)，即將刀具變形或者刀具磨損因素考慮在內(nèi)，并通過實(shí)驗(yàn)等方法測得刀具系統(tǒng)振動(dòng)幅值與頻率，根據(jù)這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對刀具設(shè)置振動(dòng)等相關(guān)的邊界條件，以此來準(zhǔn)確模擬實(shí)際的切削過程.同時(shí)本模型只是基于二維的切削模型，今后三維模型的建模與分析也將是重點(diǎn).