在深度學習中培育推理素養(yǎng)
——《分數(shù)的基本性質(zhì)》教學案例與思考

朱榮武（特級教師）

【教學內(nèi)容】

蘇教版五年級下冊第66、67頁。

【教學片斷與思考】

一、推理素養(yǎng)培育，現(xiàn)狀如何？

推理，是人們工作和生活必備的素養(yǎng)與能力。但在筆者所見的一線教學中，推理能力培養(yǎng)仍然像“空中花園”，美麗而又虛無縹緲。人們一邊承認和贊嘆培育推理素養(yǎng)的價值和作用，一邊又將其培養(yǎng)任務束之高閣，致使培養(yǎng)目標落空。推理素養(yǎng)的培育不僅要有觀念上的認知認同，還要有前瞻性的培育路徑架構(gòu)，更要有務實的教學引領和精準的思維引領。要依據(jù)教學內(nèi)容，建立課時、學期、學年的推理素養(yǎng)培育目標體系，要在教學中通過推理思維的具體分析來設計和組織數(shù)學活動，讓學生在推理思維的親歷中獲得方法、體驗與經(jīng)驗，從而切實發(fā)展推理素養(yǎng)。

二、深度學習，深在何處？

深，不等于難、不在于多。深應深在對知識原理的理解上，深在對數(shù)學思想方法的感知感悟上，深在思維過程的“更清晰、更深入、更全面、更合理”上。分數(shù)基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程主要是一個合情推理的過程，既要讓學生經(jīng)歷“現(xiàn)象——發(fā)現(xiàn)——猜想”的歸納推理思維過程，還要讓學生經(jīng)歷“從商不變規(guī)律到分數(shù)基本性質(zhì)”的這種由此及彼的類比推理過程。在此過程中，既要讓學生體會“發(fā)現(xiàn)”的樂趣，還要讓學生擁有對“發(fā)現(xiàn)”負責的態(tài)度和改變或修正“發(fā)現(xiàn)”的勇氣以及理智。同時，依據(jù)對大量類似現(xiàn)象的觀察、比較、抽象、概括，進而發(fā)現(xiàn)并提出猜想，更是深度思維的行進過程。

三、發(fā)現(xiàn)分數(shù)基本性質(zhì)的內(nèi)在思維線索是什么？

從商不變的規(guī)律到小數(shù)的性質(zhì)再到分數(shù)的基本性質(zhì)，這些規(guī)律都是“從變中把握不變”的發(fā)現(xiàn)思維結(jié)果。讓學生從熟悉的舊知入手，再一次體會并應用這一思維方法去發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，思維方法的再現(xiàn)和遷移不僅能將學生帶到“最近發(fā)展區(qū)”，而且能有效激發(fā)學生的認知動機，為新的發(fā)現(xiàn)活動鋪設一條思維路徑，讓探究發(fā)現(xiàn)之路“有法可依”“有杖可拄”。

四、猜想要教嗎？

從數(shù)學思維的活動過程看，人們依據(jù)對現(xiàn)象的思考、質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)有規(guī)律存在并嘗試用語言來描述，這即是發(fā)現(xiàn)問題的過程，對發(fā)現(xiàn)的問題進行物化整理得到一個結(jié)論性的內(nèi)容即提出問題，這一結(jié)論性的內(nèi)容就是一個有待驗證的數(shù)學命題。這樣，猜想也就誕生了，猜想的提出是思維創(chuàng)新的結(jié)果，具有十分重要的教育價值。兒童天生有猜想的沖動，但在數(shù)學學習過程中，猜想動機需要教師激發(fā)、猜想過程需要教師引領、猜想方法需要教師教授。誠如波利亞所言：我不相信有十拿九穩(wěn)的方法，用它可以學會猜測……有效地應用合情推理是一種實際技能，并且像任何其他實際技能一樣，要通過模仿和練習來學會它。探索發(fā)現(xiàn)分數(shù)的基本性質(zhì)時，教師要盡可能地引領學生經(jīng)歷“原生態(tài)的”發(fā)現(xiàn)思維過程，鼓勵和引導學生展開觀察比較、質(zhì)疑反思、抽象概括等思維活動，感受猜想過程，積累猜想經(jīng)驗，在猜想活動中學會猜想。

基于以上思考，我在教學中進行了如下嘗試。

●教學片斷一：

問題一：觀察這幾組式子“6÷2→60÷20 和36÷18→6÷3”，你發(fā)現(xiàn)什么變了？是怎樣變的？什么沒變？

問題二：0.1=（）寫出一組等式，看看什么變了？是怎樣變的？什么沒變？

（學生獨立研究后，開始全班交流問題）

生：我發(fā)現(xiàn)每組式子中被除數(shù)和除數(shù)都變了，商都沒變。

生：第一組式子中被除數(shù)和除數(shù)同時乘10，第二組式子中被除數(shù)和除數(shù)同時除以6。

生：我想到了商不變的規(guī)律——被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0 除外），商不變。

師：是??！商不變的規(guī)律就是從大量除法式子的變與不變的研究中歸納發(fā)現(xiàn)的。第二個問題呢？

生：0.1=0.10=0.100=0.1000=0.10000……可以寫出無數(shù)個。

生：這里雖然小數(shù)末尾的0的個數(shù)逐個增多，但小數(shù)的大小是不變的。

生：我想到的是小數(shù)的性質(zhì)——小數(shù)的末尾添上0 或去掉0，小數(shù)的大小不變。

師：是的。小數(shù)的性質(zhì)也是從大量變與不變的例子中研究發(fā)現(xiàn)的?？磥?，研究數(shù)學現(xiàn)象的變化特點，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要方法和途徑。

【思考：從數(shù)學學習論的角度看，小數(shù)的性質(zhì)和商不變的規(guī)律都是數(shù)學抽象和概括共同作用的結(jié)果。學習者從“6÷2=60÷20、0.1=0.10=0.100”等特例入手，基于感性認識，通過分析和舍棄，抽出共同點撇開差異點，得到具體事物的簡單本質(zhì)性的認識，然后把這些簡單本質(zhì)性的認識聯(lián)系起來，通過歸納邏輯推廣到同類事物，從而形成一種普遍性的認識。在這一認知過程中，認知發(fā)現(xiàn)的思維起點和線索都是“于變中把握不變”，學生在學習小數(shù)的性質(zhì)和商不變規(guī)律的時候已經(jīng)在不經(jīng)意間應用到了這一思維方法，對此已經(jīng)有了較為深刻的體驗，積累了相關(guān)思維經(jīng)驗。本節(jié)課通過兩個研究問題再一次喚醒這一思維方法和經(jīng)驗，并讓學生在對這兩個規(guī)律發(fā)現(xiàn)過程和方法的比較、歸納中獲得“研究數(shù)學現(xiàn)象的變化特點，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要方法和途徑”這一方法性認知，思維方法、經(jīng)驗的再現(xiàn)和重組，優(yōu)化了學生的認知結(jié)構(gòu)和方法系統(tǒng)，讓思維水平再一次得到了切實提升。這些，為本節(jié)課的學習奠定了堅實的方法基礎?！?/p>

●教學片斷二：

師：這兩個圓前后什么變了？什么沒變？

生：這里平均分的份數(shù)變了，從3 份變到6 份再變到9 份，圓的大小沒變。

生：涂色部分的大小也沒變。

師：比較這些分數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們是相等的。

師：相等？這怎么可能？它們的分子和分母都不一樣??？

生：雖然它們的分子分母不同，但表示涂色部分的大小是一樣的。

生：是的，涂色部分的大小始終是沒變的。

生：無數(shù)個。

（學生在《學習單》上先研究再交流展示）

生：從左往右看，這里分子分母都乘了2、4，反過來都除以了2、4。結(jié)果還是相等的。

師：比較這三組分數(shù)的分子分母的變化特點，說一說它們都是怎么變的？

生：分子分母要乘都乘，要除都除。

生：乘的數(shù)都一樣，除的數(shù)也都一樣。

生：如果乘或除的數(shù)不一樣的話，分數(shù)的大小就變了。

生：那個數(shù)必須是同一個數(shù)才行，如果是不同的數(shù)，結(jié)果就不一樣了。

師：也就是說同時乘的數(shù)是一個小數(shù)，分數(shù)的大小也不變。

師：通過剛才的研究，你們能說說自己有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：在分數(shù)里分子分母變了，但分數(shù)仍可以相等。

生：分子分母同時乘一個數(shù)，或者同時除以一個數(shù)，大小不變。

生：這個數(shù)必須是同一個數(shù)。生：而且不能是0。

師：為什么不能是0？

生：因為0 不能做除數(shù)，也不能做分母。

師：是的。大家能不能把這個發(fā)現(xiàn)總結(jié)的更簡潔一些？

……

【思考：猜想的生成總是源自對特例的觀察，人們對特例相似性的歸納總結(jié)便初步得出了一個猜想。然后在好奇心的驅(qū)使下，人們會不斷地尋找相關(guān)例證來證實或證否已有猜想，若進一步的例證能夠證實已有猜想，則猜想的可信度進一步得到強化，思維進一步清晰，內(nèi)容進一步明朗。在此基礎上通過數(shù)學語言予以總結(jié)描述，這樣就得到了一個明確陳述的一般命題，對命題的進一步例證直至證明，猜想才可以成為真理。這即是歸納推理的一般過程。在兒童的世界里，尤其是在課堂學習的環(huán)境下，兒童的思維尚達不到這樣的自覺，仍需要教師的引領和引導。本節(jié)課，我以歸納推理的思維過程為線索，以切實經(jīng)歷歸納推理的思維過程為目標，帶領學生經(jīng)歷了“建立特例——觀察——比較——概括——引發(fā)聯(lián)想——初步得出猜想——再次研究特例——強化猜想——歸納總結(jié)”等思維過程，不僅發(fā)現(xiàn)了數(shù)學知識，更積累了“歸納——猜想”的數(shù)學活動經(jīng)驗，進一步增強了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力?！?/p>

●教學片斷三：

師：同學們真是厲害！從兩組相等的分數(shù)中得到了一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)，為了穩(wěn)妥起見，咱們再找一個例子來驗證一下吧。

（呈現(xiàn)下圖）

師：從中你發(fā)現(xiàn)“變與不變”了嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)它們的長度是不變的，單位變了，數(shù)也變了。

生：這三個分數(shù)是相等的。

師：這個例子能說明剛才的發(fā)現(xiàn)是對的嗎？

生：能！分子分母同時乘或除以了10、100。

師：現(xiàn)在你們確信這個發(fā)現(xiàn)是對的嗎？

生：確信！

師：為什么底氣這么足？

生：因為我們剛剛研究過了。

生：因為分數(shù)的分子和分母是同時乘或除以一個相同的數(shù)，0除外。

生：因為這些分數(shù)的分子分母變了，但是涂色部分的大小是不變的，所以始終相等。

師：是的，同學們說的有道理。但是數(shù)學家和你們的想法不一樣，他們認為雖然在這三組分數(shù)中是這樣，但是分數(shù)有無數(shù)個，得保證所有的分數(shù)都有這樣的特點才行，你們覺得有道理嗎？

生：有道理。如果有的分數(shù)不是這樣，那這個發(fā)現(xiàn)就不對了。

師：是??！那怎么辦呢？

生：那就一直研究下去。

生：那不行，這樣你一輩子也研究不完的。

生：那怎么辦？

師：這時候，就需要想辦法“證明”了。今天老師就帶領大家做一次“證明”好不好？大家還記得除法的商不變規(guī)律吧，分數(shù)和除法是有聯(lián)系的，你能用商不變的規(guī)律來解釋說明分數(shù)的基本性質(zhì)嗎？

（學生展開說理活動）

【思考：一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)（猜想）是否正確，還需要驗證，這一點學生是理解并認同的，這說明五年級的學生已經(jīng)具備了一定的科學態(tài)度和理性精神。但這種態(tài)度和精神尚有局限性，其一他們認為驗證就是繼續(xù)舉例，方法欠缺；其二他們認為只要再找到若干正例即可說明發(fā)現(xiàn)是對的，嚴謹性不足。于是在以1 分米的長度為例驗證后，我和學生展開進一步的對話，并以數(shù)學家的想法讓學生知道：驗證，還有很多工作要做。這種“理智上的誠實”品質(zhì)是需要結(jié)合具體的學習活動來培養(yǎng)的。在學生思維受阻之時，及時引出“證明”這一邏輯論證方式，盡管學生尚不理解證明的真正內(nèi)涵，但至少可以知道：“證明”是一種有效而且必要的方法過程。用商不變規(guī)律來解釋說明，這本質(zhì)上是一個類比推理的過程，雖算不上嚴格意義的證明，卻以兒童可接受的方式經(jīng)歷了“證明”過程，并對類比推理的思維過程和方法有了深刻的體驗?！?/p>