聚焦概念本質(zhì)促進(jìn)數(shù)學(xué)理解
——《比的認(rèn)識(shí)》教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

韓淑萍 邵 虹

比是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，而學(xué)生理解比的意義往往比較困難。教材呈現(xiàn)了豐富的生活情境，通過(guò)解決“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之間有什么關(guān)系？”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，揭示可以用長(zhǎng)與寬這兩個(gè)數(shù)的比刻畫(huà)長(zhǎng)方形的形狀特征，由此引出同類量的比。教材又通過(guò)飛船運(yùn)行路程與時(shí)間的比較，引出非同類量的比，從而抽象出比的意義：兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除。掌握比的概念和意義，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓周率、百分?jǐn)?shù)、統(tǒng)計(jì)以及比例奠定基礎(chǔ)。此外，比和分?jǐn)?shù)、除法有密切的聯(lián)系，兩個(gè)整數(shù)相除（除數(shù)不等于0）可以用分?jǐn)?shù)表示它們的商，也可以用兩個(gè)數(shù)的比表示，兩個(gè)數(shù)的比又可以用分?jǐn)?shù)的形式呈現(xiàn)。因此，借助比的認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)和除法的認(rèn)識(shí)，溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，能從量與量的關(guān)系角度認(rèn)識(shí)比，提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，體會(huì)學(xué)習(xí)“比”的必要性

1.博物館要選五名志愿者當(dāng)解說(shuō)員，根據(jù)組委會(huì)的要求，每一位志愿者需要交五張大小不同的照片。淘氣同學(xué)上交了五張照片，結(jié)果有兩張照片被退回，導(dǎo)致他沒(méi)能實(shí)現(xiàn)當(dāng)志愿者的愿望，究竟是什么原因呢？（課件出示五張照片）

師：哪幾張照片被退回？又是哪幾張照片與A比較像？

生：照片C 太扁了，照片E 變窄了，照片B、D和A 比較像。

師：這僅僅是我們觀察得出來(lái)的結(jié)論，有時(shí)并不能說(shuō)明問(wèn)題的本質(zhì)，同學(xué)們能用數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)解釋照片B、D 和A 比較像的秘密嗎？

生：需要這些照片的長(zhǎng)、寬的數(shù)據(jù)。

師：得到這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，有什么意義呢？

生：我們可以求它們之間的倍數(shù)關(guān)系。

師：看來(lái)，這些照片像不像，與每張照片的長(zhǎng)、寬之間的“關(guān)系”有密切的聯(lián)系。這種研究的方法非常有價(jià)值！

2.把這五張照片搬到方格紙上來(lái)研究（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1 厘米），出示方格圖：

師：這些照片都是長(zhǎng)方形，它們的長(zhǎng)和寬之間有什么關(guān)系？邊觀察、邊測(cè)量，并將研究結(jié)果填寫(xiě)在表格中。（學(xué)生同桌兩人為一組，對(duì)照片A、B、C、D、E的長(zhǎng)與寬分別進(jìn)行測(cè)量與計(jì)算，填寫(xiě)表格并匯報(bào)）

照片（長(zhǎng)方形） 長(zhǎng) 寬 長(zhǎng)是寬的幾倍 寬是長(zhǎng)的幾分之幾A 6 4 6÷4=1.5 4÷6=2 3 B 3 2 3÷2=1.5 2÷3=2 3 C 8 3 8÷3≈2.7 3÷8=3 8 D 12 8 12÷8=1.5 8÷12=2 3 E 12 2 12÷2=6 2÷12=1 6

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：照片A、B、D 中，雖然長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度各不相同，但是長(zhǎng)除以寬都是1.5 倍。反過(guò)來(lái)，寬都是長(zhǎng)的

生：我知道照片C、E 和照片A 不像的原因了。它們的長(zhǎng)除以寬得到的倍數(shù)都不一樣，沒(méi)有按比例放大或者縮小。

師：同學(xué)們說(shuō)得非常棒！A、B、D 三張照片之所以像是因?yàn)楦髯缘拈L(zhǎng)都是寬的1.5 倍，寬都是長(zhǎng)的看來(lái)照片像不像與它們長(zhǎng)寬之間的倍數(shù)關(guān)系有關(guān)。

【評(píng)析：比的概念比較抽象，如何讓學(xué)生理解概念并認(rèn)同概念產(chǎn)生的價(jià)值呢？教師首先創(chuàng)設(shè)“淘氣同學(xué)落選原因探究”的生活情境，通過(guò)比較照片像不像的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生把對(duì)比的關(guān)注點(diǎn)落到對(duì)長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬兩個(gè)量上。當(dāng)學(xué)生模糊地感覺(jué)到需要知道照片的長(zhǎng)、寬數(shù)據(jù)時(shí)，教師又因勢(shì)利導(dǎo)借助方格紙測(cè)量并探究長(zhǎng)與寬之間的倍數(shù)關(guān)系。在對(duì)兩個(gè)量關(guān)系描述的基礎(chǔ)上，認(rèn)可比的價(jià)值，認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)比的必要性。教師設(shè)計(jì)的表格，不僅呈現(xiàn)了像與不像兩類照片的長(zhǎng)、寬關(guān)系，還從“長(zhǎng)是寬的幾倍”“寬是長(zhǎng)的幾分之幾”兩個(gè)維度進(jìn)行關(guān)系比較，為后面探究比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系奠定基礎(chǔ)?！?/p>

二、聚焦本質(zhì)，理解比的意義

1.理解同類量的比。

師：“長(zhǎng)是寬的幾倍？寬是長(zhǎng)的幾分之幾？”都是用來(lái)表示兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，有時(shí)我們也把兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系說(shuō)成：長(zhǎng)和寬的比是6∶4，寬與長(zhǎng)的比是4∶6。其實(shí)在人體上存在很多這樣的倍數(shù)關(guān)系：

（1）成年人的頭長(zhǎng)與身長(zhǎng)的比約是1∶7。

（2）兩手平伸的長(zhǎng)度和自己身高的比約是1∶1。

（3）握緊拳頭，繞拳頭一周的長(zhǎng)和自己腳長(zhǎng)的比約是1:1。

（4）人的心臟大小與拳頭大小的比約是1∶1。

（5）成年人腿長(zhǎng)與頭長(zhǎng)的比約是4∶1。

（6）成年男子的肩寬與頭長(zhǎng)的比約是2∶1。

【評(píng)析：比表示的是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，而數(shù)量之間的關(guān)系有很多，比表示的是怎樣一種關(guān)系呢？教師這樣的設(shè)計(jì)尊重了比這一概念的形成和發(fā)展。比的概念是由比較兩個(gè)同類量之間的倍數(shù)關(guān)系而產(chǎn)生，而后再推廣到兩個(gè)不同類量的比。因此，初學(xué)比的概念時(shí)，借助于生活常識(shí)和已有知識(shí)基礎(chǔ)，從固定的倍數(shù)關(guān)系引出，體現(xiàn)了比的發(fā)展過(guò)程，為學(xué)生理解比的意義提供了強(qiáng)有力的支持?！?/p>

2.理解非同類量的比。

馬拉松比賽，李明跑40 千米用了2 小時(shí)，陳浩用3 小時(shí)跑了45 千米。

師：能用比來(lái)說(shuō)一說(shuō)它們之間的關(guān)系嗎？生：李明和陳浩跑的路程比是40∶45。

生：李明和陳浩跑的時(shí)間比是2∶3。

師：誰(shuí)跑得更快呢？

生：可以用路程除以時(shí)間，比較他們的速度。

生：李明的速度為40÷2=20（千米/時(shí)），陳浩的速度為45÷3=15（千米/時(shí)），所以李明速度更快一些。

師：除了可以用“路程÷時(shí)間”來(lái)表示速度，我們也可以用比來(lái)表示路程和時(shí)間的關(guān)系：李明路程和時(shí)間的比是40∶2，陳浩路程和時(shí)間的比是45∶3。

【評(píng)析：比既可以表示同類量的關(guān)系，也可以表示非同類量之間的關(guān)系。如何溝通兩者間的內(nèi)在聯(lián)系，將知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展梳理成連貫的脈絡(luò)呢？教師巧妙地設(shè)計(jì)了一個(gè)行程問(wèn)題，分別呈現(xiàn)路程、時(shí)間、比誰(shuí)更快等信息和問(wèn)題，將同類量的比拓展成非同類量的比。讓學(xué)生意識(shí)到用比不僅可以表示李明和陳浩的路程比和時(shí)間比，還可以表示出路程與時(shí)間的比。由此，學(xué)生對(duì)比的意義理解更深刻與全面?！?/p>

3.認(rèn)識(shí)比及各部分的名稱。

師：什么叫做比？請(qǐng)自學(xué)課本48、49 頁(yè)有關(guān)比的知識(shí)。

（1）出示自學(xué)提綱。

①什么叫做比？②比的讀法和寫(xiě)法。③比各部分的名稱叫什么？④怎樣求比值？

（學(xué)生匯報(bào)比的意義，教師板書(shū)：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。分析關(guān)鍵詞：相除、比）

師：能舉一個(gè)例子嗎？

生：6÷4 就可以寫(xiě)成6∶4。

（2）選擇幾個(gè)表格中的除法算式，改寫(xiě)成比的形式，并說(shuō)一說(shuō)前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值。

照片（長(zhǎng)方形） 長(zhǎng) 寬 長(zhǎng)是寬的幾倍 寬是長(zhǎng)的幾分之幾A 6 4 6∶4=6÷4=1.5 4∶6=4÷6=2 3 B 3 2 3∶2=3÷2=1.5 2∶3=2÷3=2 3 C 8 3 8∶3=8÷3≈2.7 3∶8=3÷8=3 8 D 12 8 12∶8=12÷8=1.5 8∶12=8÷12=2 3 E 12 2 12∶2=12÷2=6 2∶12=2÷12=1 6

比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示。

師：6∶4=1.5，3∶2=1.5，12∶8=1.5，看來(lái)比還有這樣的特點(diǎn)，前項(xiàng)和后項(xiàng)可以不斷發(fā)生變化，但是倍數(shù)關(guān)系不變，這就是照片A、B、D 相似的原因了吧。

（3）小知識(shí)：“∶”號(hào)的由來(lái)。

師：比號(hào)的來(lái)源有一個(gè)故事，大家來(lái)了解一下。

萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，堪稱符號(hào)大師。他認(rèn)為，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)相除又叫做這兩個(gè)數(shù)的比，所以比號(hào)和除號(hào)有一種親緣關(guān)系。而比號(hào)與除號(hào)又不能共用，所以把“÷”中的小橫線去掉，于是“∶”就成了比號(hào)。

【評(píng)析：在教學(xué)了可以用比來(lái)表示兩個(gè)同類量和非同類量的基礎(chǔ)上，直接抽象出比的意義：兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除。這一意義是認(rèn)識(shí)比各部分的名稱、求比值的直接保證。對(duì)于正確認(rèn)、讀、寫(xiě)比和認(rèn)識(shí)各部分名稱的內(nèi)容，教師采用了自學(xué)課本的方式，在引導(dǎo)學(xué)生改寫(xiě)表格中的除法算式時(shí)，滲透了比與分?jǐn)?shù)和除法之間的內(nèi)在聯(lián)系。】

三、探索發(fā)現(xiàn)，比與除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。

1.比、除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。

師：通過(guò)學(xué)習(xí)，我們了解了比和除法有一種親緣關(guān)系，比也可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，那它們究竟有怎樣的聯(lián)系呢？同桌互相交流。

生：比的前項(xiàng)相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，比號(hào)相當(dāng)于除號(hào)，比的后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。

生：比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，比號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線，比的后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。

2.比、除法、分?jǐn)?shù)之間的區(qū)別。

師：既然比與除法、比與分?jǐn)?shù)有這么多的“相當(dāng)于”，那為什么有了除法還需要學(xué)習(xí)比呢？比和除法有什么區(qū)別？為什么有了分?jǐn)?shù)還需要學(xué)習(xí)比呢？比和分?jǐn)?shù)又有什么區(qū)別？

師生共同交流、討論后得出：除法側(cè)重于一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)強(qiáng)調(diào)結(jié)果。比相比除法更側(cè)重兩個(gè)量之間的關(guān)系；比相比分?jǐn)?shù)既可以用前項(xiàng)、后項(xiàng)的形式又可以用分?jǐn)?shù)的形式，更靈活多變一些。

根據(jù)交流結(jié)果，整理成一張表格呈現(xiàn)。

比（表示兩個(gè)數(shù)的相除關(guān)系） 除法（一種運(yùn)算） 分?jǐn)?shù)（一種數(shù)）前項(xiàng) 被除數(shù) 分子（∶）比號(hào) （÷）除號(hào) （ ）分?jǐn)?shù)線后項(xiàng) 除數(shù) 分母比值 商 分?jǐn)?shù)值

【評(píng)析：比、除法與分?jǐn)?shù)三者之間的關(guān)系，學(xué)生應(yīng)該認(rèn)識(shí)到什么程度？如果是外在的“相當(dāng)于”聯(lián)系，我們認(rèn)為即使教師不刻意教學(xué)，學(xué)生也會(huì)達(dá)成。因此，追問(wèn)三者的區(qū)別就是本環(huán)節(jié)的核心所在。這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，教師聚焦概念的本質(zhì)，從意義上讓學(xué)生區(qū)別體會(huì)：分?jǐn)?shù)、除法和比都可以表示相除的關(guān)系，但是分?jǐn)?shù)強(qiáng)調(diào)結(jié)果，除法側(cè)重運(yùn)算，而比既可以用“幾比幾”的形式表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，還可以根據(jù)需要用比值表示比較的結(jié)果。在本設(shè)計(jì)中，教師將三者之間的關(guān)系滲透在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)。如，引入部分用三種形式比較照片長(zhǎng)、寬的倍數(shù)關(guān)系，認(rèn)識(shí)比、各部分名稱及求比值的教學(xué)中讓學(xué)生自然感悟到比能簡(jiǎn)潔、直觀地反映兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系?！?/p>

四、拓展辨析，促進(jìn)知識(shí)理解

1.有A、B、C 三個(gè)質(zhì)量完全相同的蘋(píng)果攤位，哪個(gè)攤位的便宜呢？用今天學(xué)習(xí)的比的知識(shí)來(lái)解答。

2.辨析比賽中的“比”。

出示“兩隊(duì)比分2∶0”的課件，使學(xué)生了解體育比賽中的比。

師：比分2∶0 中的“2”表示什么？“0”表示什么？

師：比賽中的“比”和今天學(xué)習(xí)的“比”一樣嗎？它能表示兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系嗎？

引發(fā)學(xué)生爭(zhēng)論，破解生活中的比與數(shù)學(xué)中的比的本質(zhì)區(qū)別。

3.欣賞“黃金比”。

師：你聽(tīng)說(shuō)過(guò)“黃金比”嗎？

當(dāng)一個(gè)物體的兩個(gè)部分，較大部分與整體之比等于較小部分與較大部分之比0.618∶1 或1∶1.618，比值等于0.618 時(shí)就成為“黃金比”?！包S金比”給人一種優(yōu)美的視覺(jué)感受，所以，許多建筑作品、藝術(shù)作品都是按“黃金比”來(lái)設(shè)計(jì)的。

【評(píng)析：數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系，鮮活的情境往往是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好素材。教師在“拓展辨析”環(huán)節(jié)，首先創(chuàng)設(shè)了“哪個(gè)攤位的蘋(píng)果便宜？”的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生解決非同類量比的問(wèn)題，體會(huì)比更能直觀、便捷地表示兩個(gè)量之間的關(guān)系。此外，六年級(jí)的學(xué)生生活中接觸到、最熟悉的莫過(guò)于比賽中的比分。但是比分只是一種記錄比賽雙方得分的方式，是比較大小的，是相差關(guān)系，不是相除關(guān)系。通過(guò)真實(shí)情境問(wèn)題的辨析，進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)中比的認(rèn)識(shí)，這種去偽存真的過(guò)程，對(duì)聚焦概念本質(zhì)、促進(jìn)意義理解具有十分重要的價(jià)值。而黃金比的巧妙介入，不僅使課堂生出很多趣味，而且表達(dá)了人們創(chuàng)造美的智慧?！?/p>

五、回顧整理，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

1.今天我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

2.我們是怎樣學(xué)習(xí)的？

3.你還有哪些新問(wèn)題？

4.完成課后的練習(xí)。

（1）練習(xí)本上完成教材第49 頁(yè)的“做一做”第1、2 題和52 頁(yè)的第3 題。

（2）查資料了解“生活中的黃金比”。

【評(píng)析：教師在課的尾聲為學(xué)生提供了回顧知識(shí)獲得、整理所學(xué)知識(shí)的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)方法和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。同時(shí)，在回顧整理的過(guò)程中，讓學(xué)生把知識(shí)串聯(lián)在一起，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)理解由點(diǎn)到面的突破。】