一類(lèi)二階差分方程穩(wěn)定性定理的證明

全衛(wèi)貞 李曉培

（嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江524037）

差分方程知識(shí)理論的研究在近二十年來(lái)得到了快速的發(fā)展。其理論已變成生物學(xué)、工程控制、計(jì)算機(jī)、信息系統(tǒng)、化學(xué)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要理論依據(jù)。它主要來(lái)源于連續(xù)微分方程的離散化、某些離散方法及各種離散問(wèn)題（如控制論、生態(tài)學(xué)、藥物動(dòng)力學(xué)）。

在文獻(xiàn)[1]中，給出了二階差分方程漸近穩(wěn)定性質(zhì)方面的定理，本文針對(duì)其中兩個(gè)定理給出與其不同的證明方法。此外，我們將方程改成還可以得到另外的兩個(gè)定理。

1.預(yù)備知識(shí)

考慮二階差分方程

引理1[1]由二階差分方程得函數(shù)f（u，v），令，。若T＜1-＜2，則平衡解是二階差分方程的局部漸近穩(wěn)定解。

引理2[1]由二階差分方程得函數(shù)f（x，y），若函數(shù)f（x，y）滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：

（1）f（x，y）關(guān)于x單調(diào)遞減，關(guān)于y單調(diào)遞減；

（2）若有f（m，m）=M和f（M，M）=m，則m=M。

引理3[1]由二階差分方程得函數(shù)f（x，y），若函數(shù)f（x，y）滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：

（1）f（x，y）關(guān)于x單調(diào)遞增，關(guān)于y單調(diào)遞減；

（2）若有f（m，M）=m和f（M，m）=M，則m=M。

引理4[1]若二階差分方程為xn+1=f0(xn,xn-1)，xn+f1（xn,xn-1)xn-1滿(mǎn)足下面三個(gè)條件：

（1）f0（x，y）和f1（x，y）關(guān)于x不增，關(guān)于y不增；

（2）f0（x，y）＞0（x≥0）；

2.定理及其證明

從文獻(xiàn)[1]，我們得到下面的定理1和定理2，并給出與文獻(xiàn)[1]不同的證明方法。此證明方法的特點(diǎn)在于先由原差分方程得到函數(shù)f(u，v)，從而得到。再根據(jù)的情況來(lái)判斷平衡解的漸近穩(wěn)定性，其優(yōu)點(diǎn)是可以適用于判斷所有二階差分方程的平衡解的漸近穩(wěn)定性。

（2）方程（1）沒(méi)有素二周期解。

另一方面，因?yàn)?/p>

②方法a 反證法，假設(shè)方程（1）存在素二周期解，設(shè)為Λ，Φ，Ψ，Φ，Ψ，Λ，則

故方程（1）沒(méi)有素二周期解。

方法b 用文獻(xiàn)[1]中的定理，我們也可以判斷方程（1）沒(méi)有素二周期解，具體的證明過(guò)程這里將不再贅述。

定理2方程（1）的平衡解是全局漸近穩(wěn)定的。

那么m=M，否則p+q=1，與p、q的任意性矛盾。

定理4若 p＞1，則方程（2）的正平衡解是全局漸近穩(wěn)定的。

綜合之，得m=M。