基于BFGS的中俄茶葉進出口量數學預測模型

丁雪， 陳彬, 施俊騁， 李海英

(云南師范大學，云南 昆明 650500)

1 引 言

中國是最早出口茶葉的國家，同時也是茶葉的發(fā)源地和主要的茶葉貿易國.建立茶葉出口預測模型，對準確把握茶葉出口的動態(tài)和指導茶葉精準出口，指導茶葉年度生產有著重要的現實意義.

無約束項優(yōu)化算法通常用來求解茶葉出口預測這種非線性規(guī)劃問題，利用真實數據值進行擬合，通過擬合效果獲得更高的精度.通常這類算法中有梯度下降法、牛頓法和擬牛頓法.其中梯度下降法收斂速度是線性的，但是當求解問題規(guī)模稍大時，速度極慢.牛頓法收斂速度很快，但是當數據規(guī)模較大時，迭代次數太多.擬牛頓法收斂速度介于兩者之間，同時即使每次迭代不是最優(yōu)化方向，算法也能朝著最優(yōu)值的方向進行搜索，保證結果的準確性.

Boryden Fletcher Goldfarb Shanno Method(BFGS)是一種處理數值效果非常好的擬牛頓法，具有全局收斂性和超線性收斂速度[1-4]，本文利用BFGS算法，建立了中國茶葉出口量與俄羅斯茶葉進口量之間關系的數學預測模型.

2 算法介紹

2.1 擬牛頓法

擬牛頓法雖然每次迭代不像牛頓法那樣保證是最優(yōu)化的方向，但是近似矩陣始終是正定的，因此算法始終是朝著最優(yōu)化的方向在搜索[5].這個方法的基本思想是構造出可以近似Hessian矩陣的逆的正定對稱陣，從而在“擬牛頓”的條件下優(yōu)化目標函數.構造方法的不同決定了不同的擬牛頓法.

首先構造可以近似Hessian矩陣[6-7]的逆的正定對稱陣：設第k次迭代之后得到點xk+1，將目標函數f(x)在xk+1處展成泰勒級數，取二階近似，得到

f(x)≈f(xk+1)+2f(xk+1)(x-xk+1)

因此

f(x)≈f(xk+1)+2f(xk+1)(x-xk+1)

令x=xk，則

f(xk+1)-f(xk)≈2f(xk+1)(xk-xk+1)

xk+1-xk≈[2f(xk+1)]-1(f(xk+1)-f(xk))

因此，只需計算目標函數的一階導數，就可以依據方程估計該處的Hessian矩陣的逆.為了用不包含二階導數的矩陣Hk+1近似牛頓法中的Hessian矩陣2f(xk+1)的逆矩陣，Hk+1必須滿足xk+1-xk≈Hk+1yk，也稱為擬牛頓條件.

忽略高階無窮小，求導得到

f(x)≈f(xk+1)+HK+1(x-xk+1)

令x=xk，得到如下公式

用Hessian矩陣的逆矩陣Ni+1代替矩陣，得到擬牛頓方程

Ni+1[f(xk+1)-f(xk)]≈xk+1-xk

在本文中求解最優(yōu)化問題關鍵是得到每一步的Ni+1.

2.2 BFGS算法原理

BFGS算法主要用于求解無約束最優(yōu)化問題，本文假設迭代為

3 預測模型和結果比較

表1 2001-2010年中國茶葉出口量(單位：104 t)

表2 2001-2010年俄羅斯茶葉進口量(單位：104 t)

數據來源：根據UNComtrade數據整理[8]

表1和表2分別為中國和俄羅斯2001—2010年的茶葉出口量和茶葉進口量數據，設定收斂判斷指標=1.00E-10，最大迭代次數=1 000，實時輸出控制數=20，重復數=50，控制迭代數=50，收斂判斷迭代數=10，基于BFGS算法，得到2001—2010年中國茶葉出口總量與俄羅斯茶葉進口總量最優(yōu)預測模型一：

和2001—2010年中國紅茶出口量與俄羅斯紅茶進口量最優(yōu)預測模型二：

其中y為當年俄羅斯茶葉進口量的預測值，x為當年度中國茶葉出口量的實際值，pi為加權參數值.

表3 模型的相關計算結果

表4和表5為俄羅斯茶葉進口量實際值與模型預測值，可見預測值與實際值之間誤差較小，預測值與實際值擬合度分別為99.3%和99.45%.

表4 2001-2010年俄羅斯茶葉進口總量實際值與預測值(單位:104 t)

表5 2001-2010年俄羅斯紅茶進口總量實際值與預測值(單位:104 t)

4 結 語

利用BFGS算法，建立了中國茶葉出口量與俄羅斯茶葉進口量之間關系的數學預測模型，分析發(fā)現該算法能較好地擬合歷年的實際情況，預測結果和實際值之間的誤差小，精度高.