基于新修正偶應(yīng)力理論的Tmoshenko梁熱穩(wěn)定性與尺度效應(yīng)分析

張大千，王璽鑒，王云鵬

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110136)

自20世紀(jì)60年代以來(lái)，大量實(shí)驗(yàn)表明,由于雜質(zhì)、晶格失配以及微尺度裂紋的存在，微尺度結(jié)構(gòu)具有尺度效應(yīng)。傳統(tǒng)連續(xù)性理論無(wú)法解釋尺度效應(yīng)問(wèn)題，因此發(fā)展了偶應(yīng)力理論[1-2]和應(yīng)變梯度理論[3-4]。在偶應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上，Yang和Chong[5]提出了一種只包含一個(gè)材料尺度參數(shù)的修正偶應(yīng)力理論，利用該理論，能夠建立細(xì)觀條件下的層合板和層合梁的分析模型。

Yang等提出的修正偶應(yīng)力理論只適用于各向同性材料，使用受到限制，因此陳萬(wàn)吉等[6]提出一種新的修正偶應(yīng)力理論，該理論適用于各向異性材料，能夠研究復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)細(xì)觀尺度下的尺度效應(yīng)?；谠摾碚?，賀丹等[7-8]對(duì)復(fù)合材料Kirchhhoff層合板模型進(jìn)行了分析；李莉等[9-10]對(duì)復(fù)合材料層合薄板的自由振動(dòng)和穩(wěn)定性分析進(jìn)行了分析；M.Mohammadabadi等[11-12]對(duì)EBT梁、TBT梁和Reddy梁進(jìn)行了屈曲分析；陳萬(wàn)吉等[13-14]分別對(duì)Mindlin板、Reddy板進(jìn)行了單向軸壓和雙向軸壓的屈曲分析，這些分析都發(fā)現(xiàn)了尺度效應(yīng)的存在。

以上研究并未涉及到細(xì)觀結(jié)構(gòu)下復(fù)合材料層合梁的熱穩(wěn)定性，本文基于新修正偶應(yīng)力理論，建立了微尺度下只含一個(gè)材料尺度參數(shù)的Tmoshenko層合梁熱穩(wěn)定性模型，針對(duì)簡(jiǎn)支梁進(jìn)行了熱穩(wěn)定性分析，研究了屈曲臨界溫度和屈曲臨界載荷的尺度效應(yīng)。

1 新修正偶應(yīng)力理論

陳萬(wàn)吉等[6]提出的新修正偶應(yīng)力理論中定義的應(yīng)變張量εij和曲率張量χij如公式(1)所示

(1)

應(yīng)力張量σ和對(duì)稱(chēng)化得到的偶應(yīng)力力矩張量m本構(gòu)關(guān)系如公式(2)所示

式中，λ和G代表的含義是拉梅系數(shù)；i和j代表的是材料微觀尺度下夾雜或缺陷尺寸的度量，也就是材料的尺度參數(shù)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出。

2 熱穩(wěn)定性模型

2.1 層合梁位移場(chǎng)

以Tmoshenko層合梁為研究對(duì)象，由于層合梁只需考慮x和z兩個(gè)方向，如圖1所示，分別用u、w表示層合梁任何一點(diǎn)x和z兩方向位移，ωx和ωz分別為轉(zhuǎn)動(dòng)位移。

圖1 Tmoshenko梁示意圖

整體坐標(biāo)系下Tmoshenko層合梁的位移場(chǎng)為

(3)

式中，層合梁中面的任一點(diǎn)沿坐標(biāo)軸x，z的位移分別表示為u0，w，其中梁的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角表示為θ。

對(duì)此二維問(wèn)題，ωx、ωy、ωz簡(jiǎn)化為

(4)

由(3)、(4)兩式，可推出考慮溫度變量為時(shí)，層合梁中的應(yīng)變和曲率關(guān)系如公式(5)所示

(5)

2.2 層合梁本構(gòu)方程

在溫度改變量為ΔT時(shí)，層合梁第k層在局部坐標(biāo)系下的本構(gòu)方程為[15]

(6)

式中，Ck為層合梁第k層剛度矩陣，可以表示為

(7)

在溫度改變量為ΔT時(shí)，第k層層合梁在整體坐標(biāo)系下的本構(gòu)方程為[15]

(8)

其中Qk表示整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣，其表達(dá)式為

Qk=TkTCkTk

(9)

式中Tk表示的是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[12]，TkT代表的是轉(zhuǎn)換矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，轉(zhuǎn)換矩陣的具體表達(dá)式為

(10)

將第k層鋪設(shè)角定義為φk，則上式中m=cosφk，n=sinφk。由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣可以得到整體坐標(biāo)系下剛度矩陣的表達(dá)式，由新修偶應(yīng)力理論可知b?m，令m=0[16]，化簡(jiǎn)后得到

(11)

最終得出整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣式中的參數(shù)為

(12)

根據(jù)文獻(xiàn)[17],層合梁第k層在整體坐標(biāo)系下的熱膨脹系數(shù)可以表示為

(13)

由熱膨脹系數(shù)可以得到熱載荷的表達(dá)式為[17]

(14)

(15)

2.3 基于虛功原理推導(dǎo)新修正偶應(yīng)力Tmoshenko層合梁的熱穩(wěn)定模型

虛功原理的表達(dá)式為

δU-δW=0

(16)

δU代表的是內(nèi)力虛功，δW代表的是外力虛功，具體表達(dá)式為

(17)

(18)

將式(17)(18)帶回到式(16)中，化簡(jiǎn)，得

(19)

該式表示的是Tmoshenko層合梁的控制方程，式中N,M,Q,Y代表的是內(nèi)力，表達(dá)式定義為

(20)

由文獻(xiàn)[15]，可以得到簡(jiǎn)支層合梁力的邊界條件為

(21)

位移的邊界條件為

(22)

進(jìn)一步求得Tmoshenko層合梁模型的控制方程為

(23)

由于只考慮熱載荷作用，且梁的橫向位移w遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于軸向位移u0，因此可以忽略u(píng)0。假設(shè)fu=fc=0，化簡(jiǎn)得到Tmoshenko層合梁模型的平衡方程為

(24)

其中熱載荷NT的表達(dá)式已經(jīng)由式(12)求出。

應(yīng)用Navier方法進(jìn)行解析求解，滿(mǎn)足邊界條件要求的位移試函數(shù)可以表示為[17]

(25)

其中，m為位移模數(shù)(m=1，2,3,…)，將(23)式帶入到(22)式，化簡(jiǎn)，得到只受熱載荷作用的Tmoshenko層合梁模型的熱穩(wěn)定性表達(dá)式

(26)

相同的方式推導(dǎo)可以得到考慮軸向載荷和熱載荷共同作用時(shí)的穩(wěn)定性表達(dá)式

(27)

通過(guò)化簡(jiǎn)變換得到屈曲臨界載荷的表達(dá)式

(28)

由式(28)可以得到受到軸向機(jī)械載荷作用時(shí)正交Tmoshenko層合梁模型的溫度改變量為ΔT時(shí)的失穩(wěn)屈曲臨界載荷Ncr，當(dāng)=0時(shí)退化為經(jīng)典正交Tmoshenko層合梁模型穩(wěn)定性理論。

3 算例

3.1 計(jì)算臨界載荷

對(duì)比表1-2不難發(fā)現(xiàn)：熱載荷對(duì)于Ncr的取值有著一定的影響，不可忽略。隨著材料尺度參數(shù)的增大，Ncr的值也不斷增大，特別是高階Ncr增大的比較明顯。

表1 鋪設(shè)角為[90,0,90]簡(jiǎn)支梁在不含熱載荷的機(jī)械載荷作用下屈曲臨界載荷隨材料尺度參數(shù)(10-6m)的變化

表1 鋪設(shè)角為[90,0,90]簡(jiǎn)支梁在不含熱載荷的機(jī)械載荷作用下屈曲臨界載荷隨材料尺度參數(shù)(10-6m)的變化

位移模數(shù)?=0?=5?=10?=15?=20?=25?=30m=12 2252 3102 5652 9903 5854 3505 285m=28 9009 24010 26011 96014 34017 40021 139m=320 02620 79123 08526 91032 26539 14947 564m=435 60136 96141 04147 84057 35969 59884 557m=555 62657 75164 12574 74989 623108 746132 118

表2 鋪設(shè)角為[90,0,90]簡(jiǎn)支梁在熱載荷(ΔT=40 ℃)作用下屈曲臨界載荷隨材料尺度參數(shù)(10-6m)的變化

表2 鋪設(shè)角為[90,0,90]簡(jiǎn)支梁在熱載荷(ΔT=40 ℃)作用下屈曲臨界載荷隨材料尺度參數(shù)(10-6m)的變化

位移模數(shù)?=0?=5?=10?=15?=20?=25?=30m=12 774 2 859 3 114 3 539 4 134 4 898 5 833m=29 4499 789 10 809 12 509 14 889 17 948 21 688m=320 57421 339 23 634 27 459 32 814 39 698 48 113m=436 15037 510 41 589 48 389 57 908 70 14785 106m=556 175 58 30064 674 75 298 90 172 109 295 132 667

3.2 梁的厚度與尺度參數(shù)的比值對(duì)屈曲臨界載荷Ncr的影響

材料常數(shù)不變的情況下，計(jì)算相同溫度下的鋪設(shè)角為[90，0，90]時(shí)屈曲臨界載荷Ncr隨梁的厚度與材料尺度參數(shù)比值h/的變化。其中ΔT=40°C，=5×10-6m,梁的厚度與尺度參數(shù)的比值h/l=1,2…7,8,通過(guò)計(jì)算可以得到圖2，其中，實(shí)線代表偶應(yīng)力理論下的Ncr，虛線代表的經(jīng)典理論下的Ncr。通過(guò)對(duì)比可見(jiàn)，隨著h/不斷增加，兩種理論下的Ncr均增大，但在h/較小時(shí)，尺度效應(yīng)更明顯。

材料常數(shù)不變的情況下，計(jì)算不同溫度下的鋪設(shè)角為[90，0，90]時(shí)屈曲臨界載荷Ncr隨梁的厚度與材料尺度參數(shù)比值h/的變化。觀察圖3可知，材料的溫度變化ΔT越大，Ncr的數(shù)值越大；當(dāng)溫度變化ΔT為相同時(shí)，隨h/增大，Ncr的數(shù)值不斷增大，且均大于經(jīng)典理論下Ncr，隨著h/不斷增大，偶應(yīng)力理論下和經(jīng)典理論的Ncr差距不斷減小，說(shuō)明材料尺度效應(yīng)僅在微尺度下出現(xiàn)。

圖2 簡(jiǎn)支梁在熱載荷的作用下屈曲臨界載荷隨著h/的變化

3.3 跨厚比L/h和材料尺度參數(shù)對(duì)屈曲臨界溫度ΔT的影響

由圖4可知，屈曲臨界溫度ΔT隨層合梁跨厚比L/h的增大而減小，隨材料尺度參數(shù)的增大而增大。值越大，ΔT隨著L/h的變化越大，尺度效應(yīng)越明顯。

圖3 屈曲臨界載荷隨梁的厚度與尺度參數(shù)的比值h/與臨界溫度ΔT變化

圖4 臨界溫度ΔT隨著跨厚比L/h與材料尺度參數(shù)變化

4 結(jié)論

利用新修正偶應(yīng)力理論推導(dǎo)出了在熱載荷下的Tmoshenko層合梁本構(gòu)方程，根據(jù)虛功原理得到模型的控制方程，由邊界條件推導(dǎo)出Tmoshenko層合梁的熱穩(wěn)定性平衡方程，求解了給定條件下的屈曲臨界載荷。隨著梁的尺寸增加，尺度效應(yīng)逐漸減弱，最終退化成經(jīng)典理論Tmoshenko梁熱穩(wěn)定性模型。主要結(jié)論如下：

(1)根據(jù)本模型得出的屈曲臨界載荷總是大于經(jīng)典理論的屈曲臨界載荷，驗(yàn)證了尺度效應(yīng)的存在，證明了熱載荷對(duì)屈曲臨界載荷有一定的作用，不能忽略。

(2)跨厚比和材料尺度參數(shù)對(duì)屈曲臨界溫度都有影響；跨厚比越大，材料尺度參數(shù)越小，屈曲臨界溫度越低，材料尺度效應(yīng)越弱。

(3)考慮溫度變化的屈曲臨界載荷大于經(jīng)典理論下的屈曲臨界載荷，且屈曲臨界載荷與屈曲臨界溫度呈現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，隨屈曲臨界溫度的增加而增加。