顧及多因子的大壩變形預測模型對比分析

范城城， 周 呂， 施宇軍， 劉 清， 李 彬

(1．中國科學院 微小衛(wèi)星創(chuàng)新研究院，上海 201210；2.桂林理工大學 測繪地理信息學院，廣西 桂林 541000；3.廣西壯族自治區(qū)自然資源遙感院，南寧 530023)

變形是指變形體受內(nèi)外影響因子的影響，其形狀、大小、位置在時間域和空間域中的變化[1]。變形是自然界普遍存在的一種現(xiàn)象，變形體包括人工建筑與自然物體等，當變形體的形變超過一定的允許范圍，就可能引發(fā)自然災害或工程災害，如山體滑坡、地面塌陷、大壩垮塌、橋梁斷裂、建筑物倒塌等。變形分析與預報是對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行處理，對變形體在時間與空間域上的變形性態(tài)進行描述，對變形的發(fā)展態(tài)勢進行預測、預警與預報[2]。隨著國民經(jīng)濟的持續(xù)發(fā)展與穩(wěn)步增長，高層建筑物、特大橋梁、大型工業(yè)建筑物、特長隧道、大型水壩等大型工程建(構(gòu))筑物不斷涌現(xiàn)。對工程建筑物進行變形監(jiān)測，并進行變形分析與預測的目的就是為了及時掌握建筑物的工作狀態(tài)，確保建筑物的安全。在施工或運營期間，工程建筑物受各種荷載的影響會產(chǎn)生變形，當變形量超過一定范圍，就可能會引發(fā)工程質(zhì)量事故或工程災害。

20世紀80年代以來，對變形分析與預測的研究在我國得到了普遍推廣。隨著各類建筑物的結(jié)構(gòu)日益復雜，引發(fā)建筑物形變的因子多且隨機性強，逐步回歸分析、灰色系統(tǒng)理論、Kalman濾波、小波分析、混沌理論以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等各種新理論與方法逐漸應用于變形分析與預測建模中，并取得了一定研究成果。隨著科學技術(shù)的進步與計算機技術(shù)的發(fā)展，越來越多的理論和技術(shù)方法應用于變形分析與預測研究。由于各類建筑物變形的復雜化，單一理論與方法難以滿足精確的變形分析與預測，需要發(fā)揮各種方法的優(yōu)點，將多種理論與方法有機結(jié)合，建立組合模型，提高變形分析與預測的精度與可靠性[3-4]。目前，各種變形分析與預測方法多針對單一監(jiān)測點或單一時間序列分析，綜合考慮多測點、多物理量，建立建筑物的整體變形分析與預測綜合評價模型是一個重要的發(fā)展方向[5]。

然而對建筑物進行變形分析與預測時，只考慮單一因子影響，或主觀選定某些因子，許多情況下未能真正考慮多種有效因子對模型的客觀影響，從而影響模型的預測精度。針對這一問題，引入灰色關(guān)聯(lián)分析，通過計算多種影響因子的關(guān)聯(lián)度確定因子的取舍，將選入因子看作狀態(tài)輸入向量，納入模型中，建立顧及多因子的Kalman濾波模型，并與可顧及多因子影響的逐步回歸模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行對比分析。通過分析對比新建模型與其他模型在建筑物變形預測上的精度與穩(wěn)定性，以便能應用最有效的模型對建筑物變形進行預測，減少災害事故的發(fā)生。大壩變形也是工程變形當中的常見形式[6-8]，選用的工程變形案例為廣西某地的大壩變形案例。

1 變形監(jiān)測資料分析

實例分析數(shù)據(jù)來源于廣西某大壩的20期水平位移變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，并同步監(jiān)測了壩體溫度、水庫水位、水頭3個影響大壩水平位移變形的因子。

該監(jiān)測點的最大水平位移變形量為4.75 mm，最小水平位移變形量為0.36 mm，最大變形差為4.39 mm。隨著時間增長，變形量未呈遞增的變形趨勢，且變形趨勢具有一定周期性。為了分析時序、水庫水位、氣溫、水頭與變形量是否具有一定的相關(guān)性，根據(jù)數(shù)據(jù)生成變形量與各個影響因子的對比圖，如圖1所示。

圖1 實測值與時序、氣溫、水庫水位和水頭對比分析圖

從圖1可看出，該監(jiān)測點的水平位移變形量與時序無明顯相關(guān)性，隨著時間的增長，變形曲線呈周期性變化；氣溫的變化與水平位移變形呈顯著的反相關(guān)關(guān)系，氣溫較低時，水平變形量較大，氣溫較高時，水平變形量較?。凰^與水平位移變形量之間的關(guān)系則相反，水頭較低時，水平變形量較大；水庫水位與水平位移變形量之間呈一定的正比例關(guān)系。

在以下模型預測中，4種模型均采用前17期數(shù)據(jù)進行擬合建模，后3期數(shù)據(jù)進行預測。

2 顧及多因子的模型

2.1 顧及多因子的Kalman濾波模型建立

由以上變形資料分析可知，大壩的水平位移變形會受到多個不同因子的影響，在通過建立的模型進行變形分析與預測時，運用標準Kalman濾波建立的僅考慮了某個因子的變形分析與預測模型，限制了模型的自適應性，從而使得模型的擬合與預測誤差較大，難以獲得較好的預測效果。為了彌補這一缺陷，運用灰色關(guān)聯(lián)分析對影響大壩水平位移變形的影響因子進行關(guān)聯(lián)度分析，將對大壩水平變形影響較大的因子選出，并將其看作狀態(tài)向量，納入模型分析中，從而建立顧及多因子的Kalman濾波模型。

該大壩的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為離散數(shù)據(jù)，故采用離散隨機線性系統(tǒng)的Kalman濾波，其數(shù)學模型為：

Xk=Fk/k-1Xk-1+Gk-1Wk-1，

(1)

Lk=HkXk+Vk。

(2)

其中：Xk、Lk為k時刻的狀態(tài)向量、觀測向量；Fk/k-1為k-1時刻到k時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Gk-1為k-1時刻的動態(tài)噪聲矩陣；Wk-1為k-1時刻的動態(tài)噪聲；Vk為k時刻的觀測噪聲；Hk為k時刻的觀測矩陣。

根據(jù)最小二乘原理，可推得Kalman濾波遞推公式。

狀態(tài)向量的一步預測

(3)

狀態(tài)向量一步預測的方差矩陣

(4)

其中Qk為系統(tǒng)動態(tài)噪聲方差陣。

狀態(tài)向量估計值

(5)

狀態(tài)向量估計值的方差矩陣

Pk=(I-JkKk)Pk/k-1，

(6)

其中Jk為濾波增益矩陣，

(7)

Rk為系統(tǒng)觀測噪聲方差陣。

確定濾波初始值后，便可通過Kalman濾波遞推算法完成濾波與預測。

大壩的水平位移變形量受水庫水位、氣溫、水頭等多個影響因子的影響。為了充分考慮各影響因子對大壩水平位移變形的影響，通過灰色關(guān)聯(lián)度分析確定主要影響因子，并將其看作狀態(tài)向量，建立顧及多因子的Kalman濾波模型。

以該大壩的水平位移變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，通過灰色關(guān)聯(lián)分析，計算水庫水位、氣溫、水頭、時間與變形量之間的關(guān)聯(lián)度，得到的結(jié)果為變形量受水庫水位、氣溫、水頭的影響較大。故將水庫水位、氣溫、水頭作為狀態(tài)向量引入模型中，則觀測方程為

(8)

將連續(xù)2期的觀測方程相減，得

γ?k-1ΔS+vk-1Δt+ΔV，

(9)

Lk=Hk-1Xk-1+Vk-1。

(10)

在該大壩動態(tài)變形系統(tǒng)中，大壩的動態(tài)性不強，變化緩慢，故在初值確定時，將變形加速率作為隨機干擾，并視為白噪聲，進而可得出狀態(tài)方程與觀測方程的各個系數(shù)矩陣：

將上述系數(shù)矩陣代入式(1)、(2)，可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程與觀測方程，依據(jù)式(3)～(7)，可實現(xiàn)濾波的推算過程，從而完成該大壩監(jiān)測點的水平變形分析與預測。

2.2 逐步回歸模型

逐步回歸分析(stepwise regression analysis，簡稱SRA)是將變量在其偏回歸平方和經(jīng)檢驗都顯著的情況下逐個引入，同時對每個選入的新變量進行逐個檢驗，以剔除不顯著變量，保證最后所得的變量子集中的所有變量都是顯著的，經(jīng)過若干步后便得到“最優(yōu)”變量子集[9]。

逐步回歸的數(shù)學模型為[10]

y=Xβ+ε，

(11)

其中：y為因變量；β為未知參數(shù)；ε為隨機誤差；X為自變量。增加一個自變量u，相應的資料向量為un×1，于是模型(11)可變?yōu)?/p>

(12)

其中bu為自變量u的參數(shù)。要確定變量u是否進入變量子集，需檢驗假設(shè)bu=0，檢驗統(tǒng)計量為

(13)

若假設(shè)bu=0被接受，則變量u不能入選；若假設(shè)被否決，則變量u應入選。

當對變量進行選入的同時，還需對已選入的變量進行顯著性檢驗，將顯著性不強、對模型貢獻率不大的已選變量進行剔除[10]。

在變形分析中，由于變形(稱效應量)受溫度、地質(zhì)、水位等方面的影響因子影響較多，通常選擇多元回歸分析模型，如用多元逐步回歸分析法可以建立效應量與影響因子之間的函數(shù)模型，此模型可作大壩變形的物理解釋與變形預測[11]。在回歸分析法中，逐步回歸模型可以比較合理地選入與剔除模型的影響因子，故在大壩變形分析與預測中有較好的應用效果?；貧w分析法在進行變形分析與預測時，認為監(jiān)測數(shù)據(jù)之間相互獨立，是一種靜態(tài)的變形分析與預測方法，只能反映效應量與影響因子之間在同一時刻的相關(guān)性，不能體現(xiàn)變形監(jiān)測序列的時序性。

2.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network，簡稱ANN)是由諸多人工神經(jīng)元按照一定連接方式按權(quán)值連接構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)[1]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有近百種的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，但在變形分析與預測中，運用較多且較成熟的是誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種前饋型網(wǎng)絡(luò)，由輸入層、隱含層、輸出層構(gòu)成，層與層之間多采用全部連接方式，同層單元之間不存在相互連接[12]。圖2為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型圖。其中：x1,x2,…xM為輸入層；y1,y2,…yN為輸出層；wkm為輸入層節(jié)點到隱含層節(jié)點的連接權(quán)值；wnk為隱含層節(jié)點到輸出層節(jié)點的連接權(quán)值；h1(x),h2(x),…,hK(x)為隱含層。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型圖

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法步驟如下[13-14]：

2)輸入訓練樣本X=(x1,x2,…,xm)及相應的期望輸出樣本D=(d1,d2,…,dn)。

5)權(quán)值調(diào)整。隱含層與輸出層權(quán)值調(diào)整式為

δnk=(dn-yn)yn(1-yn)。

輸入層與隱含層權(quán)值調(diào)整式為

其中δnk、δkm為梯度向量。

6)輸入下一個樣本，即p=p+1。

7)當E<ε或達到最大迭代次數(shù)時，停止網(wǎng)絡(luò)學習，否則將p重置為1，并轉(zhuǎn)入步驟2)。

3 試驗結(jié)果分析

3.1 標準Kalman濾波模型的變形預測結(jié)果

由該大壩的變形資料可知，大壩的動態(tài)性不強、變化緩慢，故選擇常速度模型作為Kalman濾波的狀態(tài)模型，將水平位移的變形加速率視為白噪聲。

標準Kalman濾波模型僅將變形量引入模型的觀測方程中，依據(jù)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)取初始狀態(tài)向量

觀測噪聲方差陣Rk=0.5，動態(tài)噪聲方差陣Qk=2。

由前2期監(jiān)測值的平差值求得初始狀態(tài)向量的協(xié)方差陣

依據(jù)標準Kalman濾波模型計算出模型的擬合值與預測值，繪出標準Kalman濾波模型的計算值與原始監(jiān)測數(shù)據(jù)的對比圖及標準Kalman濾波模型的殘差柱狀圖，如圖3、4所示。

圖3 標準Kalman濾波模型計算值與實測值對比圖

圖4 標準Kalman濾波模型殘差柱狀圖

從圖3、4可看出，該大壩的水平變形具有周期性，且波動較大，標準Kalman濾波模型的預測曲線能較好地反映大壩的變形趨勢；模型前2期的計算值與實測值相差較大，第1期數(shù)據(jù)出現(xiàn)明顯發(fā)散現(xiàn)象，殘差基本在±0.5 mm范圍內(nèi)波動；模型殘差值有正有負，且正負殘差的比例接近1∶1，表明該模型殘差具有隨機性。

3.2 顧及多因子Kalman濾波模型的變形預測結(jié)果

將顧及多因子的Kalman濾波模型的運算值同實測數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果如圖5所示，并繪制顧及多因子的Kalman濾波模型的殘差柱狀圖，如圖6所示。

圖5 顧及多因子的Kalman濾波模型計算值與實測值對比圖

圖6 顧及多因子的Kalman濾波模型殘差柱狀圖

對比圖5、6可知，顧及多因子的Kalman濾波模型的預測曲線與實測曲線的變化趨勢非常接近，顧及多因子的Kalman濾波模型的殘差基本在±0.1 mm范圍內(nèi)波動，且模型第1期數(shù)據(jù)未發(fā)散；由于顧及多因子的Kalman濾波模型考慮了水庫水位、氣溫、水頭的影響，并將其作為狀態(tài)向量引入模型中，較好地修正了模型精度，提高了模型的自適應性，可以較好地彌補標準Kalman濾波模型擬合與預測誤差偏大的缺陷。

3.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型變形預測結(jié)果

在通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行大壩變形分析與預測時，不同的輸入模式對大壩水平位移量的預測結(jié)果有一定影響，經(jīng)過多次實驗，采用水庫水位、氣溫、水頭作為網(wǎng)絡(luò)的輸入因子，大壩水平變形量作為網(wǎng)絡(luò)的輸出值。將這20期監(jiān)測數(shù)據(jù)分為訓練樣本與測試樣本，其中訓練樣本數(shù)為17期，測試樣本數(shù)為3期。設(shè)計程序在建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之前采用mapminmax函數(shù)將網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)進行歸一化處理；網(wǎng)絡(luò)采用traingdx函數(shù)作為訓練函數(shù)，設(shè)定網(wǎng)絡(luò)的學習效率為0.01，動量系數(shù)為0.90，預設(shè)精度為0.01，最高迭代次數(shù)1 000次；根據(jù)確定的影響因子將隱含層神經(jīng)元數(shù)設(shè)為10，構(gòu)建3×10×1的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。利用訓練好的網(wǎng)絡(luò)模型對大壩水平位移量進行預測。

通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型計算的該大壩水平位移變形擬合值、預測值與實際監(jiān)測值的對比情況如圖7所示，模型的殘差如圖8所示。

圖7 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型計算值與實測值對比圖

圖8 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型殘差柱狀圖

3.4 逐步回歸模型變形預測結(jié)果

利用社會科學統(tǒng)計軟件(SPSS statistics 17.0)進行數(shù)據(jù)分析，建立顧及多因子影響的逐步回歸模型。在利用SPSS進行逐步分析之前，將該大壩的水平位移監(jiān)測值定義為被解釋變量，而水庫水位、氣溫、水頭、時序定義為解釋變量，設(shè)置逐步回歸分析中解釋變量進入或剔除回歸方程的標準：進入為0.05，剔除為0.10。通過逐步篩選變量建立最優(yōu)逐步回歸模型，模型計算結(jié)果如圖9、10所示。

利用SPSS計算模型的檢驗統(tǒng)計量F=62.979、P=0，并繪出標準化殘差的直方圖和概率分布圖，由模型殘差為正態(tài)分布，且F值遠大于F的檢驗臨界值，P=0遠遠小于α=0.05，故該模型顯著性較明顯，模型可用，具有實際意義。

圖9 逐步回歸模型計算值與實測值對比圖

圖10 逐步回歸模型殘差柱狀圖

4 綜合對比分析

將標準Kalman濾波模型設(shè)為模型1，顧及多因子的Kalman濾波模型設(shè)為模型2，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型設(shè)為模型3，逐步回歸模型設(shè)為模型4。利用后驗差檢驗法對上述4種模型進行精度檢驗，結(jié)果如表1所示。

表14種模型的精度對比

模型模型精度等級后驗差比值C小誤差概率P模型1二級0.410.95模型2一級0.071.00模型3一級0.191.00模型4二級0.430.85

對于各個模型的精度，采用均方誤差、平均絕對誤差及平均絕對相對誤差進行誤差分析，結(jié)果如表2所示。

表2 4種模型誤差對比 mm

由以上圖表分析可知，逐步回歸模型的殘差普遍較大，最大殘差為1.05 mm，有6個殘差超過0.50 mm，模型均方誤差為0.53 mm；標準Kalman濾波模型的殘差較逐步回歸模型普遍稍小，最大殘差為-1.84 mm，有4個殘差超過0.50 mm，模型均方誤差為0.50 mm；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的殘差相對較小，最大殘差為0.50 mm，僅有1個殘差超過0.50 mm，模型均方誤差為0.23 mm；顧及多因子的Kalman濾波模型的殘差最小，最大殘差僅為0.22 mm，有3個殘差超過0.10 mm，其余殘差均小于0.10 mm，模型均方誤差為0.09 mm，其余各項精度指標均優(yōu)于其他3種模型。4種模型均達到了較好的擬合與預測精度，但綜合各項精度指標，顧及多因子的Kalman濾波模型的擬合精度以及預測效果最好，該模型全局最優(yōu)。

將4種模型的運算值同實測數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果如圖11所示。4種模型的殘差曲線如圖12所示。

圖11 4種模型結(jié)果對比圖

圖12 4種模型殘差曲線對比圖

從圖11可看出，該大壩的水平變形具有周期性，且波動較大，4種模型的預測曲線均能較好地反映大壩的變形趨勢；逐步回歸模型的預測曲線與實測曲線相差較大，顧及多因子的Kalman濾波模型的預測曲線與實測曲線的變化趨勢非常接近，該模型不僅考慮了水庫水位、氣溫、水頭的影響，同時顧及多因子的Kalman濾波模型也是一個“一步預報-修正”的循環(huán)過程，在預測過程中能較好地修正模型誤差，故其預測精度較其余3種模型高，且預測更準確。由圖11可知，逐步回歸模型與標準Kalman濾波模型的殘差曲線波動較大，顧及多因子的Kalman濾波模型的殘差曲線在零附近幾乎呈一條直線。綜合4種模型的預測曲線與殘差曲線可知，顧及多因子的Kalman濾波模型的預測精度最高。

5 結(jié)束語

針對影響變形體變形的因子較多，而標準Kalman濾波在建模分析時僅考慮單一因子以致模型精度不高的問題，在灰色關(guān)聯(lián)分析與Kalman濾波原理的基礎(chǔ)上建立了顧及多因子影響的顧及多因子的Kalman濾波模型。以某大壩的20期水平位移變形監(jiān)測資料數(shù)據(jù)為例，利用顧及多因子的Kalman濾波模型對大壩進行變形分析與預測，并與標準Kalman濾波模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、逐步回歸模型進行對比，得出以下結(jié)論：

1)顧及多因子的Kalman濾波模型在建模時將對大壩變形影響較大的因子作為狀態(tài)向量，并引入模型中，一定程度上改善了標準Kalman濾波的遞推算法，提高了模型的自適應性與預測精度；

2)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、逐步回歸模型、顧及多因子的Kalman濾波模型均顧及了多因子的影響，但由于顧及多因子的Kalman濾波模型在計算過程中是一個“一步預報-修正”的遞推過程，模型自適應較強，可以較好地修正模型誤差，預測精度也較高。