基于T-S模糊模型的簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)事件觸發(fā)控制

(海南電網(wǎng)有限責(zé)任公司海口供電局，海南 ?？?570100)

近幾年，隨著我國國民節(jié)能環(huán)保意識的不斷提高，越來越多的人選擇購買與使用電動汽車(Electric Vehiche，EV),全國各地也隨之建立了大量的充電站，僅2014年我國電動汽車銷量就達(dá)到7.5萬輛，2015年，我國20多個示范城市及周邊區(qū)域建立充電樁達(dá)40萬個，充換電站達(dá)2000個。電動汽車行業(yè)的快速發(fā)展有效緩解了我國石油能源緊缺與環(huán)境污染問題，但同時也對電力系統(tǒng)帶來了一定的挑戰(zhàn)。對于電力系統(tǒng)而言，電動汽車在充電時作為負(fù)荷，在使用時又可看作分布式電源，因此，大量電動汽車的充放電對于電力系統(tǒng)來說有著難以預(yù)計的干擾，如果在高峰時期進(jìn)行充電將造成電網(wǎng)負(fù)荷“峰上加峰”，對電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性將造成嚴(yán)重影響[2]。

在控制系統(tǒng)的設(shè)計中求得一個控制器是其基本任務(wù)，一個優(yōu)良的控制器可以使閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定性和良好的系統(tǒng)性能。要保證閉環(huán)系統(tǒng)首先是穩(wěn)定的，一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的，在穩(wěn)定基礎(chǔ)上，再尋求系統(tǒng)的性能，這樣的控制系統(tǒng)才具有實際應(yīng)用價值。若想設(shè)計控制系統(tǒng)，首先要建立系統(tǒng)的模型，然而，從理論上分析沒有一個數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確地表達(dá)其相應(yīng)的系統(tǒng)，這時就需要采用一個更為精準(zhǔn)或更為有效的模型來進(jìn)行研究，模糊模型就具備這種優(yōu)勢[3,14]。

在模糊領(lǐng)域研究中發(fā)現(xiàn)，非線性系統(tǒng)可以通過T-S模糊模型進(jìn)行研究，其結(jié)果往往比數(shù)學(xué)模型所研究的成果要更加精準(zhǔn)和可靠，此外，模糊控制對系統(tǒng)中干擾和波動的影響有很好的控制能力。在T-S模糊控制中，控制器是核心，決定著系統(tǒng)的性能，采用事件觸發(fā)將使控制器功能得到提升，有助于減少傳輸數(shù)據(jù)、緩解網(wǎng)絡(luò)壓力、提升系統(tǒng)工作效率[5,15]。

1 簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)模型

簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下[1]：

(1)

式中:δ(t)為等值發(fā)電機(jī)q軸電勢之間相對角度；ω(t)為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速；Pm和Ps分別為發(fā)電機(jī)機(jī)械功率和電磁功率；F為等值轉(zhuǎn)動慣量；E為等值阻尼系數(shù)；Pe為擾動功率幅值；β為擾動功率頻率。設(shè)δ(t)、ω(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

2 建立T-S模糊模型

在式(1)中，令δ(t)=x1(t)，ω(t)=x2(t)，則sinδ(t)=sinx1(t)。再令z1(t)=-Pssinx1(t)/F，w(t)=Pecos(βt)/F，其中x1(t)∈(-π/2,π/2)，通過扇區(qū)法可將-Pssinx1(t)/F線性化，由圖1可以看出扇區(qū)[b1,b2]由b1x1和b2x1兩條線組成，斜率分別是b1=1和b2=0.451。因此z1(t)可寫成如下形式[6]：

(2)

圖1 sinx1(t)的扇區(qū)圖

根據(jù)模糊隸屬度函數(shù)性質(zhì)可得

μ1(z1(t))+μ2(z1(t))=1

(3)

根據(jù)式(2)，可得

線性化后可得非線性系統(tǒng)的表達(dá)形式如下:

(4)

式中：u(t)∈R1為勵磁控制是系統(tǒng)的控制輸入，x(t)∈R2為狀態(tài)變量，w(t)∈R1為系統(tǒng)的干擾向量。令x2(t)∈[-1,1]，則式(4)可以寫成

(5)

參數(shù)分別取F=100，Ps=100，E=2，Pm=20，β=1。根據(jù)式(5)可得到如下模糊規(guī)則。

規(guī)則1：如果z1(t)大約是1，則

(6)

其中

規(guī)則2：如果z1(t)大約是0，則

(7)

其中

Al∈R2×2是狀態(tài)矩陣，Bl∈R2×1是輸入矩陣。Fg(g=1)為模糊集，z(t)=z1(t)是可測的系統(tǒng)變量，即前件變量。Fg((zg(t)))是表示zg(t)關(guān)于模糊集Fg的模糊隸屬函數(shù)。

采用單點模糊化、乘積推理和平均加權(quán)反模糊化，簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)的全局模糊模型為

(8)

3 控制器的設(shè)計

對于連續(xù)狀態(tài)模糊T-S模型，采用并行分布補(bǔ)償(PDC)技術(shù)結(jié)合事件觸發(fā)設(shè)計簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)的控制器。第h個控制規(guī)則如下[4]：

如果z1(t)大約是F1,則

u(t)=Khx(tk)

采用單點模糊化、乘積推理和平均加權(quán)去模糊化，則可以得模糊分散控制器如下：

(9)

式中：Kh為確定的靜態(tài)增益反饋矩陣。事件觸發(fā)采樣模式中k是一個正整數(shù)，表示事件觸發(fā)的次數(shù)。tk是事件觸發(fā)的離散時間的轉(zhuǎn)換形式，即第k次事件觸發(fā)時的時間。事件觸發(fā)公式的形式如下[7]:

(10)

定義事件觸發(fā)形式為

e(t)=x(tk)-x(t),t∈[tk,tk+1)

(11)

由(9)式和(11)式可得到

(12)

且t是距離第k次事件觸發(fā)的時間，而ρ是用戶自己設(shè)定的一個正數(shù)參數(shù)，He和Hx是用戶自己設(shè)定的兩個矩陣，事件次數(shù)被形成如下形式：

式中：時間序列{tk}k∈N表示整體控制器(9)被更新。

由(6)式和(12)式，可得到非線性子系統(tǒng)的模糊模型閉環(huán)方程為

(13)

4 H優(yōu)化控制判據(jù)

在狀態(tài)不完全可測的情況下，針對簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷問題，結(jié)合建立的模糊模型，并基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和模糊邏輯結(jié)合LMI技術(shù)，同時引入事件觸發(fā)模式，求得狀態(tài)反饋控制器的存在條件，確保閉環(huán)系統(tǒng)李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定性，給出簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷問題狀態(tài)反饋控制器的控制方法。

引理1：給定適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣X和Y，對于任意的ε>0，使下列不等式成立[8]:

XTY+YTX≤εXTX+ε-1YTY

引理2：給出任意一個對稱矩陣S=ST[9]:

式中：S11∈Rr×r,S12、S21、S22是已知的矩陣。則以下三個等式等價且均成立：

通過上述分析以將簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成T-S模糊模型，接下來要將模糊模型進(jìn)行優(yōu)化控制，采用H控制進(jìn)行優(yōu)化控制，首先進(jìn)行H的性能分析，H在零初始狀態(tài)下的性能指標(biāo)為[10]

(14)

式中：γ為常數(shù)，已知V(x)=xΤ(t)Px(t)是李雅普諾夫函數(shù)，將式(14)后面加一個V(x)在減去一個V(x)可得到

(15)

這時將V(x)帶入積分內(nèi)可得到

(16)

定理1：在非線性系統(tǒng)(1)中，如果Q=QΤ是如下不等式(17)的公共解，則模糊分散控制器(9)使得整個非線性簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定且H性能指標(biāo)得到保證。

(17)

證明:取系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)V(x)=xΤ(t)Px(t)，求V(x)對時間的導(dǎo)數(shù)，可得[11]

(18)

(19)

(20)

根據(jù)式(19)和式(20)可以得到

(21)

通過式(19)和式(21)可得到

(22)

根據(jù)式(22)可得

由以上推導(dǎo)，可得到

(23)

要確定式(9)中的模糊控制器實現(xiàn)式(14)中的H性能指標(biāo)。通過之前證明，將式(13)關(guān)于z(t)的部分和式(23)代入式(16)后可得到如下形式：

(24)

整理之后為

(25)

因為當(dāng)t=時，V(t)趨近于0，所以式(25)可寫成式(26)。

(26)

則可以得到如下矩陣：

整理后，存在一個狀態(tài)反饋H控制，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個對稱正定矩陣P，使得以下的矩陣不等式成立

(27)

根據(jù)變換式(27)可寫成式(28)。

(28)

根據(jù)引理2，式(28)可寫成式(29)。

(29)

上式中存在未知矩陣變量P，因為該矩陣變量是以非線性的形式出現(xiàn)在這個矩陣不等式中的，因此，若直接從以上矩陣不等式中求出P的解是很困難的。但是，可以采用一個適當(dāng)?shù)淖兞咳ヌ鎿Q它，將上式轉(zhuǎn)化為一個等價的關(guān)于新的變量的線性矩陣不等式，從而可以應(yīng)用求解線性矩陣不等式的有效工具來求解這組新變量，進(jìn)而得到P的值。

因此，可將式(29)左邊的矩陣分別左乘和右乘矩陣diag[P-1,I,I,I]，可得到[12]

再令Q=P-1，可得

(30)

令Hh=KhQ，式(30)可寫成式(17)。

證明完畢。

5 數(shù)值仿真

根據(jù)上述推導(dǎo)與證明，本文以簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)進(jìn)行仿真，假定全部狀態(tài)是可測的，利用上述的模糊T-S規(guī)則式(6)和式(7)分別對簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)在工作點z1(t)=1、z1(t)=0處局部線性化，由定理1，用MATLAB的LMI工具箱中的函數(shù)“feasp”解式(17)中的可行性問題。得到[13]

其控制器矩陣為

K1=[-0.9490 -1.6141]

K2=[-1.4980 -1.6141]

當(dāng)初始條件為x0=[0.09 0.09]Τ、仿真步長為0.01s，ρ=12時，簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)在模糊分散控制器式(9)作用下的閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)曲線見圖2，控制輸入曲線見圖3，優(yōu)化輸出曲線見圖4，事件觸發(fā)信號曲線見圖5。

圖2 簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

圖3 簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)的控制輸入

圖4 簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)的優(yōu)化輸出響應(yīng)

圖5 簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)的事件觸發(fā)信號

6 結(jié) 論

本文全面推理了在狀態(tài)可測情況下含有干擾的簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，實現(xiàn)電力系統(tǒng)的H優(yōu)化控制，并采用數(shù)值仿真的例子說明了方法的有效性。首先采用T-S模糊模型進(jìn)行建模，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、事件觸發(fā)理論及H優(yōu)化控制理論，基于線性矩陣不等式(LMI)，利用并行分布補(bǔ)償(PDC)技術(shù)，證明出保證該電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，實現(xiàn)電力系統(tǒng)的H優(yōu)化控制，然后，給出該系統(tǒng)控制器的設(shè)計方法。從仿真中可以看出，運用本文提出的設(shè)計方法能有效地實現(xiàn)這類電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。