數(shù)學(xué)求和問(wèn)題之裂項(xiàng)相消法

□張宇宙

裂項(xiàng)相消法是高中數(shù)學(xué)解決數(shù)列求和問(wèn)題的重要方法，是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。我以裂項(xiàng)法為例，教授學(xué)生從定義中發(fā)掘數(shù)學(xué)方法并向?qū)W生揭示方法得來(lái)的思維過(guò)程。

我們來(lái)看一下，本節(jié)課本中講授的是等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和，而本題目給出的數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然不符合等差數(shù)列的通項(xiàng)，但是既然把本題作為等差數(shù)列的課后練習(xí)題，那么an跟等差數(shù)列又有什么聯(lián)系呢？

我提出本問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)過(guò)探討，普遍給出以下思路：本數(shù)列是等差數(shù)列的倒數(shù)的差，從等差等比的定義得知，等差等比數(shù)列實(shí)質(zhì)是研究任一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差的一種運(yùn)算，當(dāng)然除法也算作減法的一種高級(jí)運(yùn)算，從而揭示出數(shù)列定義的本質(zhì)就是在研究數(shù)列的差運(yùn)算。進(jìn)而我們?cè)谘芯繑?shù)列的時(shí)候會(huì)研究數(shù)列的很多性質(zhì)，就是我們教學(xué)中會(huì)給學(xué)生總結(jié)出的性質(zhì)，同時(shí)我們還會(huì)研究數(shù)列之間的運(yùn)算，譬如等差加減等差、等差乘除等差、等差的倒數(shù)之差、等比加減等比、等比乘除等比、等比的倒數(shù)之比、等差加減等比、等差乘除等比等，都是我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中重點(diǎn)研究的，在教學(xué)時(shí)也建議學(xué)生把等差等比數(shù)列的所有可能的運(yùn)算形式盡可能地多嘗試一些。

通過(guò)學(xué)生的這種思路發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能從學(xué)過(guò)的等差數(shù)列發(fā)現(xiàn)本數(shù)列跟等差數(shù)列的一些聯(lián)系，本數(shù)列的通項(xiàng)公式是由等差數(shù)列經(jīng)過(guò)取倒數(shù)再作差變形得來(lái)的，可以看成是一個(gè)等差數(shù)列的倒數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的差的形式，從而我們可以根據(jù)它的變形把數(shù)列的通項(xiàng)改變成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差的形式，，所以，在求類似數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，把每一項(xiàng)都改造成某種差的形式，每一項(xiàng)都變成了一種差的組合形式，相鄰兩項(xiàng)之間就可以部分抵消了，形如：類似地，我們可以求出通項(xiàng)公式為的數(shù)列前n項(xiàng)的和。

這種方法是怎樣的思維過(guò)程得來(lái)的呢？我在講授等差數(shù)列求和時(shí)，書(shū)上給的是高斯求和的方法，我們也稱為倒序相加法，那么倒序相加法和裂項(xiàng)相加法之間有什么聯(lián)系嗎？我們?cè)倏匆幌聲?shū)上給的形式，由高斯算法的啟示，對(duì)于公差為d的等差數(shù)列：

我們發(fā)現(xiàn)，書(shū)上給的是一種拆分的形式，其實(shí)也就是裂項(xiàng)的形式，把a(bǔ)2，a3，…an的每一項(xiàng)都用另一種形式表達(dá)，在求和的時(shí)候，相鄰項(xiàng)之間就可以部分抵消了。這時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，書(shū)上只是用一種易于接受的熟悉的高斯求和法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)裂項(xiàng)的模樣，從而引入裂項(xiàng)相消的方法求和，通過(guò)一種學(xué)生熟悉的情景帶入新的知識(shí)方法，這是多么高明的一種引入方法啊。

再回頭看書(shū)本課后練習(xí)的裂項(xiàng)法啟蒙題目，如果我們?cè)谥v課時(shí)只是單純告訴學(xué)生類似于這種形式的數(shù)列求和可以用一種很巧妙的方法，叫做裂項(xiàng)法來(lái)求解，介紹裂項(xiàng)法解決這種題目是多么巧妙，即使把所有的裂項(xiàng)法的題目類型都給總結(jié)一遍，學(xué)生如果不能明白其中的來(lái)龍去脈，也很難以留下深刻的印象。

在筆者多年的高三教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)裂項(xiàng)法掌握得并不好,尤其是去年天津高考理科數(shù)學(xué)的數(shù)列題目就考的裂項(xiàng)法,很多學(xué)生的反饋是，知道需要用裂項(xiàng)法求解，但是到底怎么裂就不會(huì)了，到底是什么原因?qū)е碌哪?就是學(xué)生只知道這個(gè)方法，但是這個(gè)方法到底揭示了事物怎樣的本質(zhì)和聯(lián)系卻沒(méi)搞清楚。

書(shū)上對(duì)于高斯法求前n項(xiàng)和這個(gè)例題不單純是為了講解等差數(shù)列的求和，也是給學(xué)生展示裂項(xiàng)的一種表達(dá)方式，幫助學(xué)生能很好地理解裂項(xiàng)法的來(lái)龍去脈。平常教學(xué)中，教師要多講解方法的來(lái)龍去脈比單純讓學(xué)生把方法背下來(lái)反復(fù)練習(xí)要好。例如，等比數(shù)列的求和，書(shū)上給的是錯(cuò)位相減法，其實(shí)仍然可以用裂項(xiàng)法給出，很多學(xué)生通過(guò)自己提前預(yù)習(xí)課本，對(duì)于錯(cuò)位相減法很熟悉，如果我們?cè)僭谏险n時(shí)把錯(cuò)位相減法重復(fù)多遍，學(xué)生容易不感興趣，讓學(xué)生自己去探討，去發(fā)現(xiàn)，去用書(shū)上沒(méi)有的方法解決書(shū)上的數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性大幅提高。

再進(jìn)一步，揭示了裂項(xiàng)法的來(lái)源之后，我們能不能找到一個(gè)有關(guān)裂項(xiàng)法的萬(wàn)能公式呢？我們發(fā)現(xiàn)，，分母可以看成一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的乘積，分子恰好是這相鄰兩項(xiàng)的差，即，這種形式在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都是從右端開(kāi)始做起，得到左端的結(jié)果，也就是通分，在這里是通分的逆用，即，這個(gè)規(guī)律我們?cè)诹秧?xiàng)題目中都會(huì)發(fā)現(xiàn)，符合此規(guī)律的通項(xiàng)公式也就可以用裂項(xiàng)法求和，例如：都可以用類似思路解答，其中

然后就可以在求和時(shí)進(jìn)行相鄰項(xiàng)之間的抵消求和了。

本文通過(guò)講述裂項(xiàng)法問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)從定義、實(shí)際問(wèn)題中發(fā)掘數(shù)學(xué)方法，并學(xué)會(huì)揭示方法得來(lái)的思維過(guò)程。把思維過(guò)程表述成語(yǔ)言表達(dá)或者數(shù)學(xué)符合表達(dá)的形式就是數(shù)學(xué)規(guī)律，用我們發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律就可以解決更多的類似的問(wèn)題，一個(gè)完整的數(shù)學(xué)探索過(guò)程也就完成了。