MATLAB輔助的“信號與系統(tǒng)”理論教學(xué)研究

繆奇航 熊莎莎 崔文超

摘要：“信號與系統(tǒng)”課程在理論教學(xué)中存在著許多要點(diǎn)和疑難問題，尤其是信號卷積、系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)以及頻域響應(yīng)等部分，數(shù)學(xué)公式復(fù)雜，理論性太強(qiáng)，學(xué)生難于理解掌握。結(jié)合MATLAB與理論教學(xué)相融合的方式來改善教學(xué)效果是研究熱點(diǎn)。通過舉例介紹MATLAB在理論教學(xué)中的具體應(yīng)用，幫助學(xué)生完成信號計(jì)算以及系統(tǒng)分析的可視化仿真，使學(xué)生既正確理解相關(guān)理論知識，又培養(yǎng)了學(xué)生的信號建模及編程能力。實(shí)踐表明該教學(xué)模式能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：MATLAB；信號與系統(tǒng)；卷積；零極點(diǎn)；系統(tǒng)穩(wěn)定性

中圖分類號：TN911 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2019）05-0155-04

Teaching Researches on Theories of Signal and System Using MATLAB

MIAO Qi-hang， XIONG Sha-sha， CUI Wen-chao

（College of Computer and Information Technology， China Three Gorges University， Yichang 443000， China）

Abstract：There are many key points and difficult problems in the theory teaching of signal and system course， especially in signal convolution， time domain response and frequency domain response. The mathematical formula is complex and theoretical， which makes it difficult for students to understand and master. Combining MATLAB and theoretical teaching to improve teaching effect is a hot topic. This paper introduces the concrete application of MATLAB in theory teaching by some examples， and helps students to complete the visual simulation of signal calculation and system analysis， it not only enables students to understand the relevant theoretical knowledge correctly， but also cultivates students' signal modeling and programming ability. Practice shows that the teaching mode can effectively improve students' learning enthusiasm and initiative， and lay a good foundation for the follow-up courses.

Key words： MATLAB； Signal and System； Convolution； Zero-Pole； System stability

1引言

信號與系統(tǒng)是網(wǎng)絡(luò)工程、通信工程、電子信息工程等電子信息類專業(yè)的一門專業(yè)核心基礎(chǔ)課程，在電子信息類專業(yè)的教學(xué)過程中扮演著承上啟下的角色， 理論性很強(qiáng)，在國內(nèi)各個(gè)高校的電子信息類專業(yè)中該課程都設(shè)置為學(xué)位課程。

信號與系統(tǒng)的基本理論和方法是信號處理領(lǐng)域的基礎(chǔ)，概念抽象，尤其是系統(tǒng)傅里葉變換、系統(tǒng)狀態(tài)分析等難點(diǎn)部分，若僅以理論教學(xué)為主，難以提起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

利用MATLAB軟件編寫程序，實(shí)現(xiàn)“可視化”教學(xué)，通過MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)基本信號圖像的表示，實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號和離散信號的卷積過程，求解連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)、沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)，離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布狀態(tài)、幅度頻率響應(yīng)、相位頻率響應(yīng)等，實(shí)現(xiàn)課本與軟件結(jié)合，使枯燥的理論知識形象化、具體化，這樣有利于提高教師課堂的教學(xué)效率。

2 信號與系統(tǒng)核心內(nèi)容

信號與系統(tǒng)的核心內(nèi)容分為信號分析和系統(tǒng)分析兩大部分。前者涵蓋了連續(xù)信號的時(shí)域分析、離散信號的時(shí)域分析、連續(xù)信號的傅里葉分析、離散信號的傅里葉分析、傅里葉變換的基本性質(zhì)等主要內(nèi)容；后者包含了連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析、離散系統(tǒng)的時(shí)域分析、連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析、離散系統(tǒng)的頻域分析、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析等主要內(nèi)容。

在信號分析部分，基本信號的表示、信號的卷積運(yùn)算屬于其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)；在系統(tǒng)分析部分，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)是教學(xué)中的難點(diǎn)，也是學(xué)生最容易出現(xiàn)誤解的知識點(diǎn)。下面將對這些內(nèi)容的MATLAB輔助教學(xué)進(jìn)行詳細(xì)介紹。

3 MATLAB與理論教學(xué)有機(jī)融合

3.1經(jīng)典的基本信號及其表示

在信號與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生最先接觸的概念就是信號，而讓學(xué)生對一些經(jīng)典信號有一個(gè)深刻地了解，對后面進(jìn)一步的學(xué)習(xí)無疑是一個(gè)良好的開端。在理論教學(xué)過程中，傳統(tǒng)的電子屏幕教學(xué)很難提起學(xué)生對經(jīng)典信號的學(xué)習(xí)興趣，為了讓學(xué)生對連續(xù)信號中的指數(shù)信號、正弦信號、抽樣信號、三角波信號，以及離散信號中的沖激信號和階躍信號有更深入的了解，采用MATLAB繪制經(jīng)典信號來輔助課堂教學(xué)。

用MATLAB繪制指數(shù)信號、正弦信號、抽樣信號、三角波信號四種經(jīng)典連續(xù)信號如圖1的（a）、（b）、（c）、（d）所示。

在離散信號分析中，沖激信號和階躍信號起著十分重要的作用，我們知道通常將單位沖激信號表示為[δk]、單位階躍響應(yīng)表示為[εk]，用MATLAB繪制單位沖激信號、單位階躍信號兩種經(jīng)典離散信號如圖2的（a）、（b）所示。

（a）沖激信號

（b）階躍信號

圖2 兩種經(jīng)典離散信號

3.2連續(xù)信號與離散信號的卷積運(yùn)算

連續(xù)信號與離散信號的卷積運(yùn)算在教學(xué)中一直作為信號運(yùn)算的一個(gè)經(jīng)典問題，因?yàn)閷W(xué)生很難理解煩瑣的卷積公式及運(yùn)算過程，因此在計(jì)算信號卷積的過程中容易出現(xiàn)理解錯(cuò)誤和計(jì)算錯(cuò)誤等現(xiàn)象。此處連續(xù)信號與離散信號各舉一例作為說明。

在理論教學(xué)中，連續(xù)信號的卷積就是對兩個(gè)連續(xù)函數(shù)[f1t]和[f2t]運(yùn)用如下公式計(jì)算：

（1）

教學(xué)中通常采用圖示法，首先，將函數(shù)[f1t]、[f2t]的自變量[t]用[τ]替換，然后將函數(shù)[f2τ]以縱坐標(biāo)為軸線進(jìn)行反轉(zhuǎn)變換，就可得到與函數(shù)[f2τ]鏡像對稱的函數(shù)[f2-τ]；第二步將[f2-τ]函數(shù)沿著[τ]軸平移時(shí)間[t1]，就可以得到函數(shù)[f2t1-τ]；最后，將函數(shù)[f1t]與函數(shù)[f2t1-τ]相乘，得函數(shù)[f1τf2t1-τ]，因而當(dāng)積分限為0到時(shí)卷積積分的結(jié)果為：

[ft1=0t1f1τf2t1-τdτ] （2）

用MATLAB實(shí)現(xiàn)線性信號[f1t=t]和[f2t=t]的卷積結(jié)果如圖3所示。

在理論教學(xué)中，離散信號的卷積就是兩個(gè)離散序列求卷積和的過程，計(jì)算公式如下：

[fk=f1k?f2k=i=-∞∞f1if2k-i] （3）

教學(xué)中通常采用圖示法，首先，將序列[f1k]、[f2k]的自變量用[i]替換，再將序列[f2i]以縱坐標(biāo)為軸作反轉(zhuǎn)變換，得到序列[f2-i]；第二步，將序列[f2-i]沿著[i]軸正方向平移k個(gè)單位，成為[f2k-i]；第三步，求乘積[f1if2k-i]，然后再將各個(gè)乘積求和。用MATLAB實(shí)現(xiàn)離散序列[x1k=0.8k（0

3.3連續(xù)系統(tǒng)零狀態(tài)、零輸入、沖激及階躍響應(yīng)

線性時(shí)不變（LTI）連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析是理論課教學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)內(nèi)容，它分為零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、沖激響應(yīng)以及階躍響應(yīng)等四個(gè)部分的內(nèi)容，在理論計(jì)算上是對微分方程進(jìn)行求解。

連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，僅由輸入信號也就是外界激勵(lì)[ft]所引起的響應(yīng)，一般用[yzst]表示。一般解析思路就是先將系統(tǒng)的微分方程形式轉(zhuǎn)換為如下所示：

[i=0najyjzst=i=0mbifit] （4）

初始狀態(tài)為[y（j）zs0-=0]，若微分方程均為單根，則其零狀態(tài)響應(yīng)為：

[yzst=j=1nCzsjeλjt+ypt] （5）

以上為求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的通用解法，現(xiàn)在用MATLAB求解微分方程為[y''t+4y't+5yt=f't]，外界激勵(lì)為[ft=e-2tεt]時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖6所示。

連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即當(dāng)外界激勵(lì)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)[{x0}]所引起的響應(yīng)，用[yzit]表示，在零輸入條件下，微分方程的右端為零，化為齊次方程如下：

[j=0najy（j）zit=0] （6）

若其特征根均為單根，則其零輸入響應(yīng)為：

[yzit=j=1nCzijeλjt] （7）

由于輸入為零，故初始值為[yjzi0+=yjzi0-=yj0-]，以上為求解系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的通用解法?，F(xiàn)在用MATLAB求解微分方程為[y''t+3y't+6yt=0]，[y0-=0，y'0-=10]的系統(tǒng)零輸入響應(yīng)曲線如圖7所示。

連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，即一個(gè)LTI系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位沖激函數(shù)[δt]所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用[ht]表示。換言之，沖激響應(yīng)是外界激勵(lì)為單位沖激函數(shù)[δt]時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。現(xiàn)在用MATLAB求解微分方程為[y''t+6y't+8yt=f''t]的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)曲線如圖8所示。

連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，即一個(gè)LTI系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)[εt]所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，用[gt]表示。換言之，階躍響應(yīng)是外界激勵(lì)為單位階躍函數(shù)[εt]時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?，F(xiàn)在用MATLAB求解微分方程為[y''t+6y't+8yt=f''t]的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖9所示。

3.4離散系統(tǒng)的頻域響應(yīng)特性

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)[Hejω]分析是系統(tǒng)分析部分的難點(diǎn)，由離散系統(tǒng)電路的模型可知，根據(jù)電路原理中所學(xué)的電壓和電流之間的關(guān)系可以得到系統(tǒng)響應(yīng)和外加激勵(lì)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，這樣一來便可以求解得到系統(tǒng)的響應(yīng)；引入系統(tǒng)頻域響應(yīng)分析，通過研究離散系統(tǒng)的傳輸函數(shù)特性曲線以及系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布來分析離散系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性，根據(jù)離散系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性和相頻響應(yīng)特性來分析系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)。

由此可見，求解離散系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)、相頻響應(yīng)、零極點(diǎn)分布對分析系統(tǒng)的性質(zhì)具有重大的意義，但是此部分內(nèi)容復(fù)雜的公式太多，計(jì)算復(fù)雜，采用MATLAB實(shí)驗(yàn)教學(xué)更有利于加深學(xué)生對離散系統(tǒng)特性的分析的理解。

以下舉例說明，已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)傳輸函數(shù)[Hz=0.2+0.5z-1+0.2z-2+0.3z-3+0.6z-41-1.2z-1+1.6z-2-0.2z-3+0.4z-4]，現(xiàn)在要驗(yàn)證該系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)，借助MATLAB繪制此離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖如圖10所示。

分析圖10該系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖，極點(diǎn)兩個(gè)位于單位圓內(nèi)，兩個(gè)位于單位圓外，所以此系統(tǒng)是個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。

從上述分析可知，通過觀察離散系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，即極點(diǎn)是否位于單位圓內(nèi)來對離散系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行判斷，但是對于一個(gè)比較復(fù)雜的離散系統(tǒng)而言，求零極點(diǎn)并不是特別的容易，教學(xué)理論上通常用勞斯準(zhǔn)則對離散系統(tǒng)是否穩(wěn)定進(jìn)行判斷，不過此判定準(zhǔn)則過于麻煩，現(xiàn)結(jié)合MATLAB軟件來分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，僅僅只用調(diào)用庫函數(shù)繪制系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖像，然后直接觀察極點(diǎn)的分布情況即可，判斷極點(diǎn)是否在Z平面的單位圓外或是單位圓內(nèi)，再依據(jù)此結(jié)論得出系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

為了更好地分析離散系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，就要先研究離散系統(tǒng)的幅度頻率特性和相位頻率特性，仍以傳輸函數(shù)為[Hz=0.2+0.5z-1+0.2z-2+0.3z-3+0.6z-41-1.2z-1+1.6z-2-0.2z-3+0.4z-4]的系統(tǒng)為例，用MATLAB軟件對該離散系統(tǒng)的幅度頻率響應(yīng)和相位頻率響應(yīng)進(jìn)行求解，得出結(jié)果如圖11的（a）、（b）所示。

（a）系統(tǒng)幅頻響應(yīng)

（b）系統(tǒng)相頻響應(yīng)

圖11 系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性曲線

4 結(jié)束語

本文僅是通過MATLAB 研發(fā)的一個(gè)小型教學(xué)平臺，用于演示信號與系統(tǒng)理論課程的部分實(shí)例。除此之外，對于此課程中信號的傅里葉分析、復(fù)頻域分析、離散系統(tǒng)的時(shí)域分析、以及系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析等理論核心知識點(diǎn)，也可運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行編程。方便教師教學(xué)時(shí)以人機(jī)交互方式對原理進(jìn)行仿真，化抽象到形象，化復(fù)雜為簡單，提高課堂效率，達(dá)到理論教學(xué)改革的良好效果。

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