帶有擾動的一維波動方程的鎮(zhèn)定

邢永峰，武曉輝

(山西大學 數(shù)學科學學院， 太原 030006)

近幾十年來，分布參數(shù)系統(tǒng)已被廣泛研究。例如,文獻[1-2]考慮了含源項和阻尼項的非線性波動方程的解在有限時間內(nèi)爆破。文獻[3]通過邊界控制可以使得波方程系統(tǒng)穩(wěn)定。對于帶有內(nèi)部和外部干擾的波方程的控制問題也得到廣泛研究[4-5]。在控制理論中,處理擾動的技術(shù)方法有許多，例如魯棒控制[6]、自適應控制[7]、滑?？刂芠8]、李雅普諾夫方法[9]等，然而它們多數(shù)基于一個精確的模型，通常針對最壞的情形，這樣使得控制器的設計相當保守且不能合理地利用資源。

為了解決這一問題，自抗擾控制器首次被韓京清提出[10]。自抗擾控制技術(shù)設計理念明顯不同于前者，它主要是通過輸出把干擾估計出來，之后在反饋環(huán)節(jié)消除。它解決了響應速度與超調(diào)性之間的矛盾，通過補償消除了模型未知部分和外部未知擾動綜合對控制對象的影響，實現(xiàn)了動態(tài)系統(tǒng)的反饋線性化。在波系統(tǒng)的控制器設計中，自抗擾控制技術(shù)已經(jīng)被廣泛應用于處理系統(tǒng)未知的內(nèi)部和外部擾動[11-12]。特別地,文獻[13]利用自抗擾控制技術(shù)考慮了邊界含有未知擾動的波方程的鎮(zhèn)定。本文在此基礎(chǔ)上，進一步考慮了含有內(nèi)部和未知邊界擾動的波動方程的鎮(zhèn)定。首先，通過量測位移的加權(quán)平均來設計擴張狀態(tài)觀測器對擾動進行估計；其次，設計相應的反饋控制器來使系統(tǒng)鎮(zhèn)定；最后，證明閉環(huán)系統(tǒng)解是漸近穩(wěn)定的并且通過數(shù)值仿真進一步驗證本文的結(jié)論。

系統(tǒng)由下面方程給出：

(1)

1 控制器的設計及主要結(jié)論

首先估計擾動d(t)。對Y(t)關(guān)于t求兩階導，并結(jié)合式(1)：有：

(2)

令Y1(t)=Y(t),則式(2)可以寫成如下微分器形式：

(3)

設計如下狀態(tài)觀測器來估計干擾：

(4)

其中，g∈C1[0,∞)是時變的增益函數(shù)，并且滿足：

(5)

(6)

令

(7)

則由式(3)和(4)可知，誤差系統(tǒng)(7)滿足：

(8)

當t→∞時，

(9)

證明根據(jù)存在唯一性定理[14]可知系統(tǒng)(8)的解存在且唯一。下面證明系統(tǒng)(8)解的穩(wěn)定性。

容易驗證，如下矩陣G是Hurwitz矩陣：

(10)

因此，存在正定矩陣V，使得GΤV+VG=-I3成立，其中I3為3階單位矩陣。

構(gòu)造 Lyapunov 泛函如下：

(11)

則有，

(12)

其中λmin與λmax分別為矩陣V的最小與最大特征值。L(t)關(guān)于t求導，并結(jié)合式(8)，有：

(13)

當t→∞時,k(t)→∞

(14)

因此，存在t0>0使得

k(t)>0， ?t≥t0

(15)

結(jié)合式(13)，有：

?t≥t0

(16)

直接計算可得：

(17)

由于式(14)，當t→∞時，式(17)右邊第一項收斂到0，對式(17)右邊第二項運用 L’Hospital法則，得到：

(18)

從而，當t→∞時，

(19)

(20)

其中k>0是一個設計常數(shù)。由式(1)、(4)以及(20)可以得到如下閉環(huán)系統(tǒng)：

(21)

2 閉環(huán)系統(tǒng)的適定性與穩(wěn)定性

注意到系統(tǒng)(8)，直接計算可得式(21)等價于

(22)

(23)

〈(f1,g1),(f2,g2)〉X=

?(fi,gi)∈X,i=1,2

(24)

將系統(tǒng)(23)寫成如下抽象形式：

(25)

其中：B=(0,δ(x-1))，δ(·)是Dirac分布，算子A定義如下：

f(0)=g(0)=0,f′(1)=-kg(1)}

(26)

定理1算子A由式(26)定義，g(t)滿足式(5)，d(t)滿足式(6)，則對任意的初值(w0,w1)∈C([0,∞);X)，系統(tǒng)(23)存在唯一的解(w,wt)∈C([0,∞);X)。此外，

(27)

證明1) 對任意的(f,g)∈D(A)，有：

(28)

所以，A在X中耗散。

(29)

其中，

(30)

根據(jù)Sobolev嵌入定理[15]可知：A-1存在且在X中是緊的。由Lumer-Phillips定理[16]得：A在X中生成壓縮C0-半群。

(31)

此時，為系統(tǒng)(23)構(gòu)造如下Lyapunov泛函為：

F(t)=NE(t)+φ(t)+αψ(t)

(32)

(33)

以及

(34)

直接計算可得：

(35)

F(t)關(guān)于t求導,應用Young不等式，我們有

αw(1,t)wx(1,t)≤

(36)

?t≥0

(37)

因此，

?t≥0

(38)

所以A在X上生成指數(shù)穩(wěn)定的C0-半群eAt。

3 數(shù)值仿真

進行數(shù)值模擬來說明理論結(jié)果。在仿真中，采用中心差分的方法對空間和時間進行離散。設計常數(shù)k=1,空間步長dx=0.005，時間步長dt=0.005。時變增益為:

(39)

擾動

d(t)=cost+0.1sin5t

(40)

初始條件如下：

w0(x)=sinπx

w1(x)=cosπx

(41)

圖1表示系統(tǒng)的位移，系統(tǒng)(21)的狀態(tài)收斂到0。圖2中，綠色線代表干擾，紅色線代表它的估計值。從圖中可以看出：一定時間后，干擾可由擴張狀態(tài)觀測器很好地估計出來。與文獻[11]和文獻[13]中的常增益擴張狀態(tài)觀測器相比，采用變增益擴張狀態(tài)觀測器可以有效抑制超調(diào)的產(chǎn)生。由圖2可以看出：干擾和干擾的估計始終在同一數(shù)量級。

圖1 帶有擾動的一維波動方程的鎮(zhèn)定

圖2 干擾和它的估計值

4 結(jié)束語

本文基于量測位移的加權(quán)平均設計了時變的擴張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)的干擾進行估計，從而設計了一個控制器來穩(wěn)定帶有干擾的一維波動方程。設計的擴張狀態(tài)觀測器對擾動具有較為準確的估計，相應的反饋控制器的設計使得系統(tǒng)穩(wěn)定。通過算子半群理論和李雅普諾夫方法證明了系統(tǒng)解的適定性和漸近穩(wěn)定性。從理論和實踐兩方面驗證了此方法的有效性。我們的方法可以延伸到只通過量測系統(tǒng)狀態(tài)的加權(quán)平均來對系統(tǒng)做輸出反饋控制，這也是今后研究和努力的方向。