船舶型線光順過(guò)程中的數(shù)學(xué)視角分析

王亞寧　徐剛強(qiáng)

摘 要：數(shù)字化船舶型線光順是船舶企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中的首要環(huán)節(jié)，直接影響船體放樣，以及后續(xù)船舶航海性能、建造進(jìn)度周期。文章基于滬東HD-SHM2005船舶型線光順平臺(tái)，結(jié)合數(shù)字化軟件CAD，從數(shù)學(xué)理論的視角分析船舶型線光順的方法。

關(guān)鍵詞：型線光順；數(shù)學(xué)船舶；NURBS曲線；擬合

HD-SHM2005船舶型線光順系統(tǒng)是智能化船舶型線光順軟件，極大程度上縮減了企業(yè)放樣周期，但是在船舶企業(yè)的實(shí)際光順過(guò)程中，在將原始ACAD設(shè)計(jì)圖導(dǎo)入光順系統(tǒng)后局部撓度大的、型值點(diǎn)走勢(shì)不明顯的型線發(fā)生曲線錯(cuò)亂交叉等的現(xiàn)象，影響設(shè)計(jì)人員的放樣效率及生產(chǎn)進(jìn)度。船舶型線十分復(fù)雜，它既包含了直線、二次曲線，又包含了自由曲線。我們要想尋求光順錯(cuò)亂型線的方法，不妨從設(shè)計(jì)型線的方法上入手，船舶型線的優(yōu)化設(shè)計(jì)經(jīng)常要面對(duì)大量的型值點(diǎn)，也就是數(shù)學(xué)上所說(shuō)的離散點(diǎn)，19世紀(jì)后期開(kāi)始就不斷有人摸索用函數(shù)來(lái)描述船體形狀，近年來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展，數(shù)學(xué)船舶數(shù)字化智能造船系統(tǒng)也逐步發(fā)展起來(lái)，那么采用何種數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散點(diǎn)處理問(wèn)題，數(shù)值分析中講到若要找到一條曲線，使得它通過(guò)給定點(diǎn)（型值點(diǎn)）可以采用插值方法來(lái)解決，如果對(duì)準(zhǔn)確度要求不用太高，只需找到一條近似地通過(guò)給定點(diǎn)的曲線則可以采用逼近的方法來(lái)解決，曲線擬合則是一個(gè)較好的處理上述兩類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)數(shù)學(xué)方法。近些年，眾多科研工作者對(duì)此展開(kāi)研究，也衍生出新的研究方向—數(shù)學(xué)船舶，主要是研究數(shù)學(xué)理論及算法在計(jì)算機(jī)的輔助下如何更好地應(yīng)用到船舶設(shè)計(jì)與船舶性能的改善方面。

1 船舶型線光順的數(shù)學(xué)進(jìn)展

型線光順的數(shù)學(xué)進(jìn)展，準(zhǔn)確地說(shuō)是型線設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)進(jìn)展，因?yàn)樾途€光順的理念我們可以仿照型線設(shè)計(jì)理念來(lái)類(lèi)比。早在20世紀(jì)60年代Schoenberg提出關(guān)于B樣條曲線的理論基礎(chǔ)，因其可以描繪離散數(shù)據(jù)，B樣條曲線逐漸被用到多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)研究中，比如醫(yī)學(xué)、理學(xué)，尤其在工學(xué)領(lǐng)域處理機(jī)械加工等方面受到重視。隨著理論研究逐步深入，20世紀(jì)70年代，由法國(guó)工程師貝齊爾（Bézier）研究了一種曲線生成的方法，利用已知離散點(diǎn)繪制出一條與原圖曲線相似度很高的曲線。這種曲線生成的基本思路是：通過(guò)平面上給定的幾個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，可以構(gòu)造出一個(gè)多邊形，再將這幾個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)輸入計(jì)算機(jī)中就可自動(dòng)生成一條光滑且與原圖很相似的曲線，這種方法被稱為貝齊爾方法。但是貝齊爾方法存在缺點(diǎn)是局部控制和修改曲線的能力不強(qiáng)。

隨后，在貝齊爾用多邊形控制曲線形狀的啟發(fā)下，B樣條函數(shù)也沿用了B樣條特征多邊形來(lái)控制曲線的形狀。為了克服貝齊爾方法的不足，在1972—1974年間人們拓寬了貝齊爾曲線，數(shù)學(xué)理論上面，先是用n次B樣條基函數(shù)替換了伯恩斯坦基函數(shù)，構(gòu)造了等距節(jié)點(diǎn)的B樣條曲線[1]。1974年，美國(guó)的工程師Gordon與Riesesfeld又將B樣條曲線的理論基礎(chǔ)應(yīng)用于描繪幾何體中，更加突顯了B樣條曲線在機(jī)械工程上的作用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，1975年，弗斯普里爾博士在他的畢業(yè)論文中提到了在計(jì)算機(jī)輔助下將B樣條曲線應(yīng)用到幾何體的設(shè)計(jì)中[2]。從此，數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合受到了眾多科研工作者廣泛的研究。

B樣條曲線擬合算法在保留貝齊爾方法優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上解決了貝齊爾方法的兩個(gè)典型不足，即形狀控制問(wèn)題和樣條曲線的局部性，尤其是在處理自由曲線曲面時(shí)表現(xiàn)出了極大的靈活性。但是在表達(dá)初等曲線、曲面時(shí)不能精確地表示除拋物面以外的二次曲面，比如球形、圓形等封閉曲線、曲面等。

為了解決B樣條曲線的缺陷，Cheng等提出了一種基于非均勻有理B樣條（Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS）曲線的數(shù)學(xué)理論表達(dá)。同時(shí)，NURBS理論也在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域獲得越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，NURBS曲線在精確地表達(dá)自由型曲線、曲面的同時(shí)展示了標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)解析式，為曲線的表達(dá)與設(shè)計(jì)、修改完善提供了一個(gè)的數(shù)學(xué)形式。因此，一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫(kù)就能存儲(chǔ)這兩類(lèi)形狀信息，通過(guò)調(diào)整控制頂點(diǎn)和權(quán)因子（控制幾何連續(xù)樣條曲線曲面中凹凸程度）兩個(gè)因素就可以設(shè)計(jì)出各種形狀的幾何體，增強(qiáng)了計(jì)算的穩(wěn)定性和效率。同時(shí)，NURBS曲線還具備了幾何配套技術(shù)包括節(jié)點(diǎn)插入、細(xì)分、消去、升階、分裂等能用于設(shè)計(jì)、分析、處理等各個(gè)環(huán)節(jié)，并且在比例、旋轉(zhuǎn)、平移、剪切、平行和透視投影變換下保持穩(wěn)定性。

隨著理論的創(chuàng)新、科技的進(jìn)步，NURBS技術(shù)自身有優(yōu)點(diǎn)但也存在缺點(diǎn)[3]。優(yōu)點(diǎn)：（1）可以為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀也可以為自由型曲線、曲面構(gòu)造出一個(gè)易于表達(dá)、設(shè)計(jì)、計(jì)算、后期完善的數(shù)學(xué)模型，較之前的貝齊爾樣條、B樣條計(jì)算穩(wěn)定而且快速。（2）通過(guò)調(diào)整控制頂點(diǎn)以及權(quán)因子可以靈活調(diào)整曲線的形狀。（3）有靈活的幾何體處理方法（節(jié)點(diǎn)插入、細(xì)分、消去、升階、分裂。（4）在需要進(jìn)行比例變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換、和透視投影等變換下保持表達(dá)函數(shù)的穩(wěn)定性。

當(dāng)然，NURBS曲線技術(shù)也不是盡善盡美的，實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以揚(yáng)長(zhǎng)避短。缺點(diǎn)：（1）權(quán)因子的不恰當(dāng)可能會(huì)導(dǎo)致很壞的參數(shù)化，甚至毀掉隨后的曲面、曲線結(jié)構(gòu)。（2）曲面與曲面相結(jié)合的位置，不能準(zhǔn)確地用此方法來(lái)表達(dá)曲面剛好接觸的情形。（3）某些反求曲面、曲線上點(diǎn)的參數(shù)值的時(shí)候，存在數(shù)值不穩(wěn)定的問(wèn)題。

盡管NURBS樣條曲線不盡完美，仍然得到了工業(yè)領(lǐng)域廣泛的青睞，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（International Standardization Organization，ISO）把NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)方法。NURBS樣條曲線技術(shù)在船舶曲線、曲面的設(shè)計(jì)、光順?lè)矫嬉驳玫搅松钊氲陌l(fā)展，在船體曲線、曲面初始化設(shè)計(jì)過(guò)程中運(yùn)用幾何方法表達(dá)，根據(jù)型線等主要數(shù)據(jù)構(gòu)造船型曲線，并對(duì)船舶型線進(jìn)行光順。

2 船舶型線光順的順序與思路

在前人工作的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際工作經(jīng)驗(yàn)，本文總結(jié)了船舶型線光順的順序與思路。

船舶型線由站線、水線、縱剖線、空間線和型值點(diǎn)組成。在通過(guò)ACAD曲線將型線導(dǎo)入HD-SHM2005時(shí)，需先導(dǎo)入中縱剖面線、底平線、邊平線、舷墻頂線和船體折角線，并對(duì)其部分型線的端點(diǎn)進(jìn)行手工輸入，然后對(duì)站線、水線、縱剖線挨個(gè)導(dǎo)入。光順的初始數(shù)據(jù)是原始型值表、邊界數(shù)據(jù)以及一些輔助數(shù)據(jù)。通常情況下，導(dǎo)入后的型線與初始線型相近，無(wú)需調(diào)整。但對(duì)型值點(diǎn)走向不明顯的線型，導(dǎo)入后會(huì)出現(xiàn)首尾端點(diǎn)錯(cuò)亂或走向錯(cuò)亂的情況，例如雙尾鰭船尾鰭部位的站線，特別是該部位進(jìn)行站線加密時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)亂現(xiàn)象。此時(shí)我們分?jǐn)?shù)學(xué)理論方面和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)方面介紹型線光順的方法。

船舶型線光順的方法，數(shù)學(xué)理論方面，（1）主流手段是采取累加弦長(zhǎng)NURBS樣條，特別在遇到大撓度曲線時(shí)，目前生產(chǎn)實(shí)踐中的CAD軟件都嵌入了NURBS樣條SPLINE的擬合曲線功能，NURBS樣條曲線的擬合也是需要通過(guò)從眾多型值點(diǎn)中選擇位置和數(shù)量都合適的控制點(diǎn)，這一點(diǎn)很多研究文獻(xiàn)中都清楚地提到了[1-7]，控制點(diǎn)越多其帶來(lái)的影響因素就越多，不利于局部線性的控制。通過(guò)這些控制點(diǎn)作出滿足指定邊界條件的光順曲線并與原始CAD導(dǎo)入圖紙對(duì)比型線光順的效果，這樣就可以合理地描述船體型線。（2）采用Matlab擬合工具箱對(duì)局部錯(cuò)亂的型線采用CTOOL做函數(shù)擬合。（3）數(shù)學(xué)船型的參數(shù)化近似[6]，比如利用帶有形狀因子的指數(shù)曲線來(lái)擬合流線（對(duì)于潛艇和魚(yú)雷），以及變化的型線（對(duì)于水面艦船）。（4）用增廣Lagrange乘子法進(jìn)行型線光順設(shè)計(jì)，可得到一條光順曲線，光順曲線的形狀和傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法得到的結(jié)果完全相同[3]。

實(shí)際經(jīng)驗(yàn)方面，我們分成了站線模型、縱剖線模型、水線模型、空間線模型、控制點(diǎn)模型5個(gè)模型[8]。（1）站線模型，可適當(dāng)增加水線和縱剖線。（2）縱剖線模型，采用加密縱剖線的方式來(lái)控制曲度較大的水線端部。（3）水線模型，增加縱剖線能更好地控制水線。（4）空間線模型，在有折角的位置均增加折角型空間線。尾鰭部位的站線最低點(diǎn)可視情況增加輪廓線?？蓪⒌灼骄€和邊平線定義成且切點(diǎn)線。（5）控制點(diǎn)模型，將型線端點(diǎn)的預(yù)設(shè)坐標(biāo)直接設(shè)置在HD-SHM2005光順系統(tǒng)型值表中的E7H/E7B位置上。

3 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)船舶的研究仍將成為大家研究的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合在船舶制造、生產(chǎn)、后期維修領(lǐng)域的應(yīng)用仍將是我們努力的方向。

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