二維磁流變包層聲學(xué)超材料?

許振龍 吳福根

(1 廣東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院機(jī)械與電子工程學(xué)院 珠海 519090)

(2 廣東工業(yè)大學(xué)材料與能源學(xué)院 廣州 510006)

0 引言

聲子晶體和聲學(xué)超材料具有聲波或彈性波禁帶，聲波或彈性波在禁帶中無法傳播[1?3]。聲子晶體產(chǎn)生禁帶的機(jī)理是布拉格散射，要求晶格尺寸與聲波波長在同一數(shù)量級。聲學(xué)超材料是亞波長尺寸的人工微結(jié)構(gòu)，可以調(diào)控和操縱波長高于晶格尺寸兩個(gè)數(shù)量級的聲波的傳播。通過對聲學(xué)超材料微結(jié)構(gòu)單元加工和設(shè)計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)許多具有應(yīng)用前景的特殊性能，如負(fù)折射與超透鏡[4]、雙負(fù)折射與反向多普勒效應(yīng)[5]、零折射率與全反射[6]、亞波長檢測[7]、全方位聲學(xué)斗篷[8]等。

Liu 等[9]構(gòu)建出局域共振型的聲學(xué)超材料，局域共振型聲學(xué)超材料禁帶對應(yīng)的波長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于晶格的尺寸，單元尺寸可以很小，使得低頻噪聲和振動(dòng)控制的元件化成為可能。研究人員在局域共振型超材料方向做了許多努力。Larabi 等[10]設(shè)計(jì)了多層交替排列的同軸圓柱形局域共振型超材料。Bonnet等[11]設(shè)計(jì)了硬核和包層組成的圓柱形和球形復(fù)合超材料結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明在理想模型下，通過組分和形狀的優(yōu)化可以得到最低的共振頻率。Wang等[12]設(shè)計(jì)了金屬核芯通過彈性梁連接到彈性體基體的局域共振型超材料，在寬頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)帶隙的可調(diào)諧，還利用變形來打開或關(guān)閉帶隙。Yang 等[13]使用有效質(zhì)量密度的拓?fù)鋬?yōu)化方法來最大化局域共振型超材料的第一個(gè)帶隙。Chen 等[14]提出了一種由多層黏彈性連續(xù)介質(zhì)組成的耗散局域共振型超材料，可以有效衰減瞬態(tài)沖擊波。Krushynska等[15]設(shè)計(jì)了二維和三維雙局域超材料結(jié)構(gòu)。

含磁性材料的超材料研究正逐漸展開[16]。磁流變彈性體是由磁性顆粒分散在天然橡膠或硅橡膠基體材料中組成。外加磁場條件下，彈性體中磁性顆粒會(huì)形成鏈狀聚集結(jié)構(gòu)[17?19]。磁流變彈性體克服了磁流變液易沉降、穩(wěn)定性差的缺點(diǎn)，具備響應(yīng)快、可逆性好等優(yōu)點(diǎn)。Xu 等[20]設(shè)計(jì)了一維二組分和三組分的聲子晶體磁流變隔振支座，結(jié)果表明其存在著完全聲波帶隙，并且可以通過外磁場調(diào)節(jié)其帶隙寬度和位置。Alireza 等[21]設(shè)計(jì)了多孔磁流變彈性體局域共振型超材料，研究了不同變形、不同外磁場作用下的能帶結(jié)構(gòu)，證明大變形和外磁場可以改變帶隙的位置和寬度。

根據(jù)研究現(xiàn)狀，設(shè)想以磁流變彈性體作為超材料局域共振單元硬核的包層，實(shí)現(xiàn)彈性系數(shù)的可調(diào)。文中計(jì)算采用有限元方法，研究結(jié)果表明：通過外磁場控制磁流變彈性體包層，或者調(diào)整磁流變彈性體包層的厚度，都可以調(diào)節(jié)局域共振型超材料聲波禁帶的寬度和位置，這些將為聲學(xué)超材料設(shè)計(jì)提供新的思路。

1 模型和方法

圖1(a)為磁流變彈性體包層局域共振型聲學(xué)超材料示意圖，各個(gè)共振單元如圖周期排列，磁流變彈性體包層可以通過外磁場調(diào)節(jié)控制其彈性模量。圖1(b)為圓形內(nèi)核聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)單元，周期晶格常數(shù)a= 0.025 m，鎢圓形內(nèi)核半徑為r1，包裹磁流變彈性體后半徑為r2。

對于二維彈性各向同性介質(zhì)，波動(dòng)方程表示為

圖1 磁流變彈性體包層局域共振型聲學(xué)超材料和圓形內(nèi)核聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)單元Fig.1 Local resonance acoustic metamaterial with magnetorheological elastomer cladding and acoustic metamaterial unit with circular core

本文計(jì)算采用有限元方法，方法已廣泛應(yīng)用于聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算，用于處理復(fù)雜材料結(jié)構(gòu)時(shí)有明顯優(yōu)勢。文中采用鎢的密度ρt=19.3×103kg/m3，其縱波波速為Ctl= 5.09×103m/s，橫波波速為Ctt= 2.80×103m/s。環(huán)氧樹脂密度ρe= 1.2×103kg/m3，其縱波波速為Cel=2.83×103m/s，橫波波速為Cet=1.16×103m/s。

磁流變彈性體計(jì)算采用磁偶極子模型，F(xiàn)e顆粒密度ρFe= 7.89×103kg/m3，橡膠密度ρr= 1.2×103kg/m3。采用磁流變彈性體的拉伸性能與剪切性能近似，其泊松比取0.47[22]。剪切模量的改變量與外磁場關(guān)系為[23?24]

式(2)中，?是基體中的Fe 顆粒的體積比，R是Fe顆粒半徑，d是聚集狀態(tài)鏈中的兩個(gè)顆粒之間的距離，μ0是真空磁導(dǎo)率，H為外部磁場磁場強(qiáng)度，ζ ≈1.202，β ≈1，μf= 1 是相對磁導(dǎo)率。假設(shè)d/R= 2.5，?= 27%，并采用典型的彈性參數(shù)G0=0.4 MPa。

2 計(jì)算結(jié)果和討論

如圖1(b)圓形內(nèi)核局域共振型超材料單元，設(shè)計(jì)的圓形鎢內(nèi)核半徑r1= 0.01 m，包裹磁流變彈性體后半徑r2= 0.0105 m，即磁流變彈性體厚度為d= 0.0005 m。圖2是圓形內(nèi)核超材料系統(tǒng)聲波能帶結(jié)構(gòu)圖及對應(yīng)ΓX方向的透射系數(shù)圖。超材料單元中密度大的鎢塊充當(dāng)質(zhì)量塊，密度小的環(huán)氧樹脂作為基體，磁流變彈性包層起到彈簧的作用。系統(tǒng)中鎢質(zhì)量塊和環(huán)氧樹脂基體的密度相差較大，聲波傳播時(shí)會(huì)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)失諧，在低頻處呈現(xiàn)負(fù)等效質(zhì)量密度。由于鎢塊的質(zhì)量較大，在特定頻率處，幾乎集中了聲波傳遞的全部能量，所以在1407 Hz 和11600 Hz 附近，可以看到一些平直的能帶。平直的能帶對應(yīng)的模態(tài)的波速度為零，此時(shí)結(jié)構(gòu)中無頻散。平直能帶頻率對應(yīng)于局域模態(tài)，如果特定頻率聲波入射到超材料系統(tǒng)中，和局域模態(tài)發(fā)生作用，會(huì)出現(xiàn)局域現(xiàn)象。聲波無法用其他非局域態(tài)方式通過周期結(jié)構(gòu)，因此能帶被分裂，從而產(chǎn)生局域帶隙?？梢钥吹皆?407～5799 Hz 之間出現(xiàn)一個(gè)較大的完全帶隙，圖右側(cè)是對應(yīng)ΓX 方向的透射圖，在帶隙范圍內(nèi)出現(xiàn)較大的衰減，在局域頻率處衰減最強(qiáng)，出現(xiàn)不對稱的透射尖峰，這是局域共振Fano 現(xiàn)象的典型特點(diǎn)。這些結(jié)果表明：采用磁流變彈性體為包層的二維圓形內(nèi)核超材料單元，在低頻處存在聲波局域共振完全禁帶。

圖3(a)是圓形內(nèi)核聲學(xué)超材料668 Hz 時(shí)Γ點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài)圖，圖3(b)是1407 Hz 時(shí)X點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài)圖，可以看到圓形內(nèi)核鎢質(zhì)量塊內(nèi)核呈自旋態(tài)或傳播狀態(tài)，超材料單元的振動(dòng)集中在鎢質(zhì)量塊上，包層和基體的振速/振幅幾乎為0，所以帶隙的下邊沿的振動(dòng)模式可以看作一個(gè)圓形內(nèi)核質(zhì)量塊的振動(dòng)，相鄰晶格之間的振動(dòng)相位的周期性保持了整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)平衡，系統(tǒng)進(jìn)入禁帶狀態(tài)。此時(shí)系統(tǒng)可以簡化為質(zhì)量彈簧系統(tǒng)如圖3(c)所示，其中模塊M表示鎢內(nèi)核等效質(zhì)量塊，彈簧k表示包層的等效剛度。帶隙的下邊緣的頻率可以估測為

圖2 圓形內(nèi)核聲學(xué)超材料聲波能帶結(jié)構(gòu)及ΓX 方向透射系數(shù)Fig.2 Acoustic wave band structures and corresponding ΓX-direction transmission curve of acoustic metamaterial with circular core

圖3 聲學(xué)超材料帶隙下邊沿的振動(dòng)模態(tài)圖及對應(yīng)的彈簧-質(zhì)量塊模型Fig.3 Acoustic metamaterial vibration mode of the lower edge of the band gap and the corresponding spring-mass model

圖4(a)是圓形內(nèi)核聲學(xué)超材料禁帶上邊沿5799 Hz時(shí)Γ點(diǎn)的振動(dòng)1模態(tài)圖, 圖4(b)是5799 Hz時(shí)Γ點(diǎn)的振動(dòng)2 模態(tài)圖，可以看到圓形內(nèi)核鎢質(zhì)量塊與包層、基體介質(zhì)的一起振動(dòng)，系統(tǒng)從此進(jìn)入允許彈性波傳播的導(dǎo)帶狀態(tài)。此時(shí)系統(tǒng)可以簡化質(zhì)量彈簧系統(tǒng)如圖4(c)所示，其中模塊M表示鎢質(zhì)量塊，m表示基體的質(zhì)量，彈簧k表示包層的等效剛度。帶隙的上邊沿的頻率可以估測為

圖4 聲學(xué)超材料帶隙上邊沿振動(dòng)模態(tài)圖及對應(yīng)的彈簧-質(zhì)量塊模型Fig.4 Acoustic metamaterial vibration mode of the upper edge of the band gap and the corresponding spring-mass model

圖5為局域共振型聲學(xué)超材料系統(tǒng)(r1=0.01 m，r2= 0.0105 m)聲波帶隙與外磁場強(qiáng)度的關(guān)系。施加一個(gè)從0 kOe到10 kOe平行于磁流變彈性體的磁場(圖1(a))。當(dāng)外磁場強(qiáng)度H= 0 kOe至H= 10 kOe，帶隙頻率范圍從1407～5799 Hz 變化為2210～8980 Hz?？梢钥吹?，隨著外加磁場增強(qiáng)，帶隙逐漸增大，而且?guī)兜闹行奈恢妹黠@向上移動(dòng)。分析其原因是外加磁場改變了磁流變彈性體彈性模量，彈性模量決定著包層的彈性系數(shù)，外加磁場越強(qiáng)，彈性系數(shù)k就越大。根據(jù)上下邊沿頻率的估測方法，帶隙上下邊沿的頻率隨著彈性系數(shù)k增大，帶隙中心位置上移，上移過程中帶隙上邊沿的頻率增大得更快。隨著磁場增強(qiáng)，帶隙越來越大?？梢钥偨Y(jié)出，局域共振型超材料的聲波帶隙受外磁場的影響，調(diào)節(jié)外部磁場強(qiáng)度可以調(diào)節(jié)帶隙的中心位置和帶隙寬度。

圖5 聲學(xué)超材料聲波帶隙與外磁場的關(guān)系Fig.5 External magnetic field as function of acoustic metamaterial acoustic bang gaps

圖6為當(dāng)外磁場強(qiáng)度H= 0 kOe，局域共振型聲學(xué)超材料聲波帶隙與磁流變彈性體包層厚度的關(guān)系。保持晶格周期a=0.025 m和r1=0.01 m不變，調(diào)整磁流變彈性體包層厚度從d= 0.0002 m 到d= 0.002 m，帶隙頻率范圍從2204～9002 Hz 變化為712～2360 Hz?？梢钥吹?，隨著磁流變彈性體包層厚度的增加，其聲波帶隙中心位置下移，帶隙寬度逐漸減小。分析其原因是磁流變彈性體包層厚度增加，包層的等效剛度降低，包層彈性系數(shù)k減小，帶隙上邊沿比下邊沿減小得更快，導(dǎo)致系統(tǒng)帶隙寬度減小，中心位置下移。結(jié)果表明，聲波帶隙對包層厚度是敏感的，通過調(diào)節(jié)包層厚度，可以調(diào)節(jié)帶隙的中心位置和寬度。

圖6 聲學(xué)超材料聲波帶隙與磁流變彈性體包層厚度的關(guān)系(H =0 kOe)Fig.6 Magnetorheological elastomer cladding thickness as function of acoustic metamaterial acoustic bang gaps (H =0 kOe)

3 結(jié)論

本文用磁流變彈性體作為包層設(shè)計(jì)了二維局域共振型聲學(xué)超材料。超材料周期單元中，圓形鎢內(nèi)核為質(zhì)量塊，環(huán)氧樹脂為基體，磁流變彈性體相當(dāng)于彈簧。用有限元方法進(jìn)行計(jì)算，分析了系統(tǒng)能帶結(jié)構(gòu)、聲波透射率、振動(dòng)模態(tài)等，結(jié)果分析表明：外磁場可以調(diào)控磁流變彈性體包層的彈性系數(shù)k，調(diào)控帶隙上下邊沿的頻率，從而調(diào)節(jié)帶隙的中心位置和寬度；還可以調(diào)控磁流變彈性體包層的厚度來調(diào)節(jié)二維局域共振型超材料帶隙的中心位置和寬度。這些方法對聲學(xué)超材料的可調(diào)諧應(yīng)用設(shè)計(jì)有一定的借鑒價(jià)值。