巧借數(shù)學(xué)思考工具 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

□北京外國語大學(xué)附屬蘇州灣外國語學(xué)校 張俊俊

心理學(xué)研究表明：人的思維認(rèn)識規(guī)律是“具體——形象——抽象”。在小學(xué)階段，教師要善用直觀或物化的教具、學(xué)具、表格、圖形等工具，幫助學(xué)生打開數(shù)學(xué)思維，調(diào)動學(xué)生的多種感官參與協(xié)同思考。這些直觀或物化的學(xué)具、表格和圖形就是數(shù)學(xué)思考工具，可以幫助學(xué)生更加順利地展開思考過程，讓學(xué)生從淺層學(xué)習(xí)走向深入。

一、以表格為媒，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維體驗

在數(shù)學(xué)課堂，對數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)與揭示，除了單純地講解外，還可以引入數(shù)學(xué)思維工具材料，讓學(xué)生真切地體驗數(shù)學(xué)。例如，在學(xué)習(xí)“用列舉的策略解決實際問題”時，對五支足球隊開展循環(huán)賽，一一列舉一共要進(jìn)行多少場比賽。一些學(xué)生雖然明白題意，但在列舉中總是出現(xiàn)偏差。為此，我們滲透“表格法”，讓學(xué)生以表格方式去透徹理解循環(huán)賽的比賽場次與對抗雙方。首先，從表格中發(fā)現(xiàn)循環(huán)賽的對抗特點。例如，有三組足球隊，每組比賽兩場次，總場次為“1+2=3”；有四組足球隊，每組比賽三場次，總場次為“1+2+3=6”；有五組足球隊，每組比賽四場次，總場次為“1+2+3+4=10”，以此類推。讓學(xué)生對照足球隊組數(shù)，以及每組比賽場次、總場次的計算方法，總結(jié)計算規(guī)律。接著，分析表格，指導(dǎo)學(xué)生提煉解題思維。面對分組循環(huán)賽，在對比賽雙方及場次計算中，方法很多，可以用畫圖法，可以用連線法，還可以用列式計算法。例如，有五組足球隊，比賽總場次可以用“5×4÷2”來計算。其中，“5”表示有五組足球隊，“4”表示每組要踢四場比賽。由于“5×4”所計算的場次，每組球隊都被重復(fù)計算一次，因此需要再除以“2”。但這樣來解釋，一些學(xué)生還是無法理解。為此，我們從“表格法”中，對于橫欄，表示“第一組”“第二組”“第三組”“第四組”“第五組”；對于縱欄，依然表示為“第一組”“第二組”“第三組”“第四組”“第五組”。具體情況如下表所示。

4 5 1 2 3 4 5 1 √√√√2 √√√3√ √√

“對角線”表示同一組不能與同一組對抗；各組對抗，畫“對號”；對于“對角線”上部區(qū)域，之所以為空，是因為各組對抗只有一次，不能重復(fù)兩次。例如，第二組與第三組、第四組、第五組已經(jīng)對抗過了，反過來，第三組、第四組、第五組不能再與第二組對抗。由此，“表格法”讓學(xué)生對循環(huán)賽制的特點有了深刻的理解。

二、以數(shù)軸為媒，促進(jìn)學(xué)生透析數(shù)學(xué)思維

在小學(xué)階段，對“數(shù)軸”的運用，我們以“數(shù)直線”為主，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識數(shù)的概念。通常，以直尺為原型，從標(biāo)有刻度的直尺中，由具象向抽象延伸，讓學(xué)生辨析“數(shù)”與“直線上的點”之間的對應(yīng)關(guān)系。例如，在學(xué)習(xí)“求一個小數(shù)的近似數(shù)”時，我們借助于“數(shù)軸”，讓學(xué)生探究近似數(shù)的本質(zhì)。一個小數(shù)的近似數(shù)，讓很多學(xué)生感到疑惑。以“1.50”為例，對于末尾的“0”，為什么不能去掉？我們向?qū)W生解釋，“1.50”這個數(shù)的精確度在“百分位”，“1.5”這個數(shù)的精確度在“十分位”，前者比后者更精確。但這一解釋，顯然對于學(xué)生而言是浮于表面的。以“數(shù)軸”為媒，讓學(xué)生從“數(shù)直線”中，全面、透徹地理解“近似數(shù)”的本質(zhì)。引出問題：看一個數(shù)，將之精確到十分位，需要看哪個數(shù)位上的數(shù)？如果精確到百分位呢？由此得出，要精確到“十分位”，需要看其“百分位”上的數(shù)；要精確到“百分位”，需要看其“千分位”上的數(shù)，以此類推。我們來討論“1.5”與“1.50”，如果將一個兩位小數(shù)精確到“1.5”，這個兩位小數(shù)，最大是多少，最小是多少？同樣，把一個三位小數(shù)精確到“1.50”，

這個三位小數(shù)，最大是多少？最小是多少？我們來參照“數(shù)直線”，可以看到，近似數(shù)為“1.5”的數(shù)，介于“1.45～1.54”，范圍較大，但對于近似數(shù)為“1.50”的數(shù)，其范圍介于“1.495～1.504”，所以精確度會更高一些。如此一來，學(xué)生從直觀、形象的“數(shù)直線”中，實現(xiàn)對抽象概念的顯性化理解。

三、以方格紙為媒，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維空間

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對方格紙的運用，在“圖形與幾何”領(lǐng)域具有重要的價值。方格紙本身，以統(tǒng)一、規(guī)范的間隔距離，對于討論平面圖形的性質(zhì)非常有用，也便于學(xué)生從中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，深化對數(shù)學(xué)概念及概念之間邏輯關(guān)系的辨析。例如，在“方格紙上旋轉(zhuǎn)簡單圖形”時，有學(xué)生感到不好理解，難以掌握，即便是目標(biāo)先找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心，再找到與中心點連接的兩條邊，依然出現(xiàn)錯誤。為此，我們可以拿出一個牙簽，將牙簽固定于旋轉(zhuǎn)中心點，讓學(xué)生多次反復(fù)練習(xí)、觀察、體會，增進(jìn)對圖形旋轉(zhuǎn)的深切認(rèn)知。再如，在學(xué)習(xí)“認(rèn)識平行”時，根據(jù)教材中所展示的場景圖片，分析這三組直線，哪些會相交？哪些不會相交？對于不相交的兩條直線，我們稱為“互相平行”，其中一條直線是另一條直線的平行線。由此，我們引入方格紙，讓學(xué)生在方格紙上畫出“平行線”，從中來認(rèn)識“平行線”的關(guān)系。也可以讓學(xué)生對方格紙上的幾組線進(jìn)行辨識、討論，歸納平行線的性質(zhì)。如“同組平行線之間，距離相等”等。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善用數(shù)學(xué)思考工具，突破教學(xué)難點，幫助學(xué)生透析數(shù)學(xué)規(guī)律，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的深度學(xué)習(xí)能力。