中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析

樹(shù)金龍,熊良林，吳 濤，鄭英麗

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

近年來(lái)，由于人工智能的迅速崛起，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到了更加廣泛的應(yīng)用與研究，涵蓋了圖像處理[1]、模式識(shí)別[2]、信號(hào)處理[3]、聯(lián)想記憶[4]等眾多領(lǐng)域.嚴(yán)格來(lái)說(shuō)在系統(tǒng)中時(shí)滯是不可避免的，即使是光速傳輸信息的系統(tǒng)也同樣面臨著時(shí)滯的問(wèn)題.我們知道對(duì)于系統(tǒng)來(lái)說(shuō)時(shí)滯的存在很可能使得系統(tǒng)產(chǎn)生震蕩進(jìn)而造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定.因而時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的研究顯得尤為重要，近些年學(xué)者們得到了大量?jī)?yōu)秀的研究成果[5-9].然而，這些文章幾乎都只考慮了歷史狀態(tài)對(duì)對(duì)目前狀態(tài)的影響，沒(méi)有考慮過(guò)去狀態(tài)的變化對(duì)目前狀態(tài)影響因素，即中立型現(xiàn)象.目前，學(xué)者對(duì)中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究有了非常豐富的研究成果.文獻(xiàn)[10]將切換系統(tǒng)與中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，通過(guò)構(gòu)造新的李雅普諾夫泛函得到了時(shí)變時(shí)滯的切換中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù).文獻(xiàn)[11]提出了新的估計(jì)器，通過(guò)構(gòu)造新的李雅普諾夫泛函并結(jié)合積分不等式技巧，得到了誤差系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定條件.

然而，據(jù)作者了解目前還沒(méi)有關(guān)于時(shí)滯中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析的相關(guān)成果.在這篇文章中，作者將著重探究中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局μ穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識(shí)

本文主要研究如下中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

(1)

其中；x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))∈Q1×n為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，fi(·)=(f1(·),f2(·),…,fn(·)) ∈Qn×1(i=1,2,…,n)為激活函數(shù)，A=(aqp)n×n∈Qn×n和B=(bqp)n×n∈Qn×n分別表示連接權(quán)重矩陣和含有時(shí)滯的連接權(quán)重矩陣，E=(eqp)n×n∈Qn×n表示具有合適維度的矩陣，D∈Qn×n表示對(duì)角矩陣，I=(I1,I2,…,In)∈Qn×1表示外部偏置，h>0為系統(tǒng)的恒定時(shí)滯，初始條件x(t)=π(t)∈Q,(t∈[-h,0])為連續(xù)可微的函數(shù)，需要特別注意的是矩陣E的所有特征根均在單位圓內(nèi).

為了后續(xù)證明的需要，首先引入相關(guān)假設(shè)、定義和引理.

假設(shè)1 對(duì)于?x∈Q，通過(guò)復(fù)分解法能夠?qū)⑵浔硎緸?/p>

x=x11+ix12+jx21+kx22=x1+x2j，

假設(shè)2 如果激活函數(shù)fi(·)=(f1(·),f2(·),…,fn(·))∈Qn×1(i=1,2,…,n)滿足Lipschitz條件，對(duì)于任意的y1,y2∈Cn且y1≠y2，存在常數(shù)Lν(ν=1,2,…,n)，使得下式成立

引理1[13]任意的Hermitian矩陣R>0，w(α)在[a,b]→Cn是一個(gè)可微函數(shù)，則有下式成立：

引理2[14]矩陣B∈SC(Q),則B的所有特征值都是實(shí)數(shù).

引理3[15]M(x):Cn→Cn是一個(gè)連續(xù)映射，且滿足以下2個(gè)條件

1)M(x):Cn→Cn是一個(gè)單射;

則M(x)在Cn上是一個(gè)同胚映射.

2 主要結(jié)果及證明

定理1 基于假設(shè)1和假設(shè)2，假如存在對(duì)角矩陣Ui(i=1,2,…,6)，使得下面的線性矩陣不等式成立，則系統(tǒng)(1)有一個(gè)唯一的平衡點(diǎn).

Δ8×8<0

(2)

證明：根據(jù)假設(shè)1我們將系統(tǒng)(1)改寫(xiě)為以下形式

(3)

結(jié)合系統(tǒng)(1)的相關(guān)信息，構(gòu)造如下的映射：

M(x1,x2)=

其中：M(x1,x2)=(M1(x1,x2),M2(x1,x2))*,

顯然，根據(jù)引理3，只要M(x)在復(fù)數(shù)域上滿足同胚映射定理，那么系統(tǒng)(1)存在一個(gè)唯一的平衡點(diǎn).下面分2步證明M(x)在復(fù)數(shù)域上滿足同胚映射定理.

第1步 證明M(x1,x2)是一個(gè)單射.首先在復(fù)數(shù)域上選擇2個(gè)點(diǎn)(a1,a2)和(b1,b2)且(a1,a2)≠(b1,b2)，使得激活函數(shù)f(a1,a2)≠f(b1,b2)，則可證明M(x1,x2)是一個(gè)單射成立.

(6)

在(6)式左右兩邊同乘下式

得：

(8)

(9)

對(duì)(8)式進(jìn)行處理，得：

(10)

(11)

根據(jù)假設(shè)2，對(duì)于對(duì)角矩陣Ui(i=3,4,5,6)，可得：

(12)

合并(11)和(12)可得：

根據(jù)定理1以及(a1,a2)≠(b1,b2)可使以下不等式成立：

則，當(dāng)(a1,a2)≠(b1,b2)時(shí)，有f(a1,a2)≠f(b1,b2)，即可證明M(x1,x2)是一個(gè)單射.

根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式，有以下不等式成立：

通過(guò)以上證明可知M(x)在復(fù)數(shù)域上滿足引理3，則系統(tǒng)(1)存在一個(gè)唯一的的平衡點(diǎn).

在定理1中作者已經(jīng)證明了系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的存在唯一性.接下來(lái)在定理2中作者將給出系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的全局μ穩(wěn)定的判據(jù).

(13)

顯然，系統(tǒng)(13)原點(diǎn)的穩(wěn)定性等價(jià)于系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

根據(jù)假設(shè)1我們能夠?qū)⑾到y(tǒng)(13)轉(zhuǎn)化為以下的形式

(14)

為了證明過(guò)程簡(jiǎn)潔，定義以下的符號(hào)：

定理2 對(duì)于給定標(biāo)量h>0，如果存在正定的Hermitian矩陣Ri(i=1,2,…,5)∈Cn×n，常數(shù)σ1>0,σ2>0，正定的對(duì)角矩陣Qi(i=1,2,…,6)∈Rn×n，且μ(t)是一個(gè)正定連續(xù)的函數(shù)，

使得線性矩陣不等式(15)成立.則稱系統(tǒng)(1)是μ穩(wěn)定的.

Ξ9×9<0,Ω9×9<0.

(15)

Ξ1,3=R1-Q6-Q5D*,Ξ1,4=E1Q6, Ξ1,5=A1Q6, Ξ1,6=B1Q6, Ξ1,7=-A2Q6,

Ξ3,3=R5-2Q5+hR4,Ξ3,4=E1Q5, Ξ3,5=A1Q5, Ξ3,6=B1Q5, Ξ3,7=-A2Q5,

Ξ3,8=-B2Q5, Ξ4,4=-δ2R5, Ξ5,5=R3-Q1, Ξ6,6=-δ2Q2-δ2R3, Ξ7,7=-Q3,

Ω3,7=A2Q5,Ω3,8=B2Q5,Ω4,4=-δ2R5,Ω5,5=R3-Q1,Ω6,6=-δ2Q2-δ2R3,

證明：構(gòu)造如下新的Lyapunov-Krasovskii泛函：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t).

(16)

對(duì)V(t)求導(dǎo)，可得

(17)

應(yīng)用引理1對(duì)(17)式進(jìn)行處理，我們能夠得到：

根據(jù)假設(shè)2，對(duì)于任意的對(duì)角矩陣Qi≥0(i=1,2,3,4)有：

(18)

其中Γi(i=1,2,3,…,8)與假設(shè)2中的L類似.

根據(jù)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)方程我們引入以下的不等式，其中對(duì)角矩陣Qi≥0(i=5,6)

(19)

A2e7+B1e6-B2e8]+[-e3-De1+Ee4+A1e5-A2e7+B1e6-B2e8]*[e3Q5+e1Q6]+

[-m3-Dm1+Em4+A1m5+A2m7+B1m6+B2m8]*[m3Q5+m1Q6]≤

其中Ξ和Ω已在定理2.2中有所定義.

3 數(shù)值例子

以下例子可檢驗(yàn)文章方法的有效性和結(jié)論的正確性.

圖1描述了中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的狀態(tài)軌跡.

利用Matlab工具箱對(duì)中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)進(jìn)行了數(shù)值模擬.圖1描述了系統(tǒng)狀態(tài)的4個(gè)部分,從圖中可以看出每個(gè)神經(jīng)元狀態(tài)都能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).因此中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

圖1 中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)軌跡

4 結(jié)語(yǔ)

文章討論了中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局μ穩(wěn)定.首先，使用復(fù)分解法將中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為兩個(gè)復(fù)值系統(tǒng)并證明了中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解的存在唯一性.然后，構(gòu)造了新的李雅普諾夫泛函并給出了中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局μ穩(wěn)定的穩(wěn)定性條件以及它的一個(gè)推論.最后，用一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性和結(jié)論的正確性.將來(lái)，在此文章的基礎(chǔ)上還能夠研究時(shí)變時(shí)滯中立型四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和同步性問(wèn)題.