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    基于改進(jìn)MPS方法的彈性支撐側(cè)壁對潰壩現(xiàn)象的影響分析

    2019-05-17 02:30:12吳巧瑞謝永和白興蘭
    關(guān)鍵詞:水柱潰壩側(cè)壁

    吳巧瑞,王 磊,謝永和,白興蘭

    (浙江海洋大學(xué)船舶與機(jī)電工程學(xué)院,浙江舟山 316022)

    潰壩現(xiàn)象的物理模型是使用擋板在水箱內(nèi)維持一定高度的水柱,在初始時(shí)刻迅速撤去擋板,在重力的作用下,水柱會(huì)坍塌形成一個(gè)自由表面波,并對周圍的障礙物進(jìn)行砰擊作用的一種現(xiàn)象,見圖1。此現(xiàn)象廣泛存在于各個(gè)領(lǐng)域,尤其在船舶與海洋結(jié)構(gòu)物設(shè)計(jì)制造、海洋水動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用背景,經(jīng)常用作甲板上浪、液艙晃蕩、入水沖擊、海洋平臺(tái)遭受波浪載荷等工程實(shí)際問題的簡化來研究,其共同點(diǎn)是在砰擊過程中具有流體的大變形和強(qiáng)間斷性。因此,盡管潰壩現(xiàn)象的物理模型非常簡單,卻一直吸引著大量學(xué)者對其進(jìn)行研究,包括實(shí)驗(yàn)研究[1-3]和數(shù)值研究[4-6],但潰壩問題仍然是大變形自由液面問題處理中的難點(diǎn)之一。

    鑒于潰壩現(xiàn)象的特殊性,無網(wǎng)格方法越來越被廣泛地應(yīng)用來處理這類具有大變形自由液面的流動(dòng)問題,MPS方法就是其中之一。MPS方法最早是由日本東京大學(xué)的KOSHIZUKA S,et al[7]于1995年提出的,相對于其它無網(wǎng)格方法,MPS方法采用預(yù)估-修正的半隱式方法來求解不可壓縮流體的控制方程,從而可以有效地避免離散對流項(xiàng)所引起的數(shù)值發(fā)散問題,另外,粒子具有運(yùn)動(dòng)性并具有非常便捷的自由液面判別方法,這些都使得MPS方法在處理自由液面問題尤其是大變形問題中有其獨(dú)特的優(yōu)勢。但同時(shí),由于該方法提出不久,MPS方法本身在穩(wěn)定性、精確性方面還存在一定的問題。因此,筆者對原始MPS方法進(jìn)行了改進(jìn)[8],改進(jìn)后的MPS方法采用弧度判定法和粒子碰撞模型,從而可以有效地避免粒子聚集現(xiàn)象和粒子的誤判現(xiàn)象,大大提高了數(shù)值模擬的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。本文采用改進(jìn)的MPS方法,通過模擬固定側(cè)壁的潰壩現(xiàn)象驗(yàn)證了該方法在潰壩問題中的有效性,探究了彈性支撐側(cè)壁對潰壩現(xiàn)象中的流動(dòng)形態(tài)、側(cè)壁受力以及表面波對側(cè)壁的砰擊壓力的影響規(guī)律,旨在為解決實(shí)際工程問題提供一定的借鑒。

    圖1 潰壩物理模型圖Fig.1 Physical model of the dam break

    1 改進(jìn)的MPS方法數(shù)值模型

    對于不可壓縮粘性流體,其控制方程為連續(xù)方程和N-S方程,如下所示:

    其中,ρ為流體密度;v為流體質(zhì)點(diǎn)的速度;f為外部的作用力;ρ為流體質(zhì)點(diǎn)的壓力;υ為流體的運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)。

    MPS方法是通過預(yù)估-修正求解不可壓縮流體的控制方程,具體實(shí)現(xiàn)方法如下。

    1.1 粒子相互作用模型

    在MPS方法中,采用可以自由移動(dòng)的粒子來離散問題域,相鄰之間的相互作用是通過一個(gè)核函數(shù)來衡量,本文采用的是Koshizuka和Oka[9]在1996年提出的核函數(shù),如下:

    在該式中,r是相鄰兩個(gè)粒子之間的距離,re是核函數(shù)的控制半徑。某個(gè)粒子的相鄰粒子即在其核函數(shù)控制半徑內(nèi)的粒子。

    粒子數(shù)密度表征的是流場中粒子的分布狀態(tài),保持粒子數(shù)密度恒定就是保證流體的不可壓縮性。該參數(shù)可以通過粒子在核函數(shù)的控制域內(nèi)與其周圍相鄰粒子的核函數(shù)數(shù)值的疊加表示,即:

    式中,N是粒子i的相鄰粒子總數(shù),ri和rj分別是粒子i和粒子j的位置矢量。

    梯度算子和拉普拉斯算子可以分別表示為:

    1.2 邊界條件

    邊界條件可分為兩種類型,即自由表面邊界條件和固壁邊界條件。

    對于自由表面邊界條件,首先要進(jìn)行自由表面粒子的判定,原始的判定方法是根據(jù)粒子數(shù)密度進(jìn)行判定,具體判定公式如下[9]:

    式中,β是一個(gè)小于1的系數(shù),一般取β=0.97。

    上面根據(jù)粒子數(shù)判定自由液面粒子的方法常常導(dǎo)致誤判現(xiàn)象的發(fā)生,為了克服這個(gè)問題,改進(jìn)的MPS方法中采用了一種弧度判定方法,這種方法通過對某個(gè)粒子的相鄰粒子相對該粒子的弧度進(jìn)行疊加,如果疊加后的弧度大于等于2 π并且在(0,2 π)區(qū)間內(nèi)無間斷,則該粒子判定為流體內(nèi)部粒子,否則為自由表面粒子,這種方法已證明可以有效避免粒子的誤判現(xiàn)象[8]。

    對于自由表面粒子,其壓力賦為大氣壓即p=patm=0。

    至于固壁條件,首先,固壁用三層邊界粒子來表示,靠近流體的那一層為流體邊界粒子,參與壓力的計(jì)算;外層的兩層粒子稱為固體邊界粒子,不參與壓力計(jì)算。另外,為了防止內(nèi)部的流體粒子穿透固體邊界,當(dāng)流體粒子靠近邊界時(shí),會(huì)收到固壁粒子的一個(gè)排斥力,具體計(jì)算如下[10]:

    其中,r0為初始粒子間距;D=5 gh,h為水柱的初始高度;P1=12,P2=4。

    1.3 計(jì)算流程

    (1)根據(jù)第n個(gè)時(shí)間步的信息,通過粘性項(xiàng)和外力項(xiàng)顯式預(yù)估粒子的中間速度和中間位置信息,即:

    (2)通過式(3)計(jì)算粒子的中間粒子數(shù)密度信息n*,然后隱式求解Poisson方程,得到pn+1:

    (3)根據(jù)pn+1對中間速度和中間位置信息進(jìn)行修正,得到第n+1時(shí)間步的速度和位置信息:

    (4)為了避免內(nèi)部流體粒子的聚集現(xiàn)象,引入了一種碰撞模型,這是改進(jìn)MPS方法的另外一個(gè)改進(jìn)的措施。即當(dāng)兩個(gè)粒子之間的間距滿足d<βL0時(shí),應(yīng)用的碰撞模型如下[8]:

    2 固定側(cè)壁潰壩現(xiàn)象

    選取的固定側(cè)壁潰壩模型如圖2所示,水箱的長度為3.22 m,高度為2 m,水柱初始高度0.6 m,位于水柱對面墻壁上的一個(gè)點(diǎn)P(3.22 m,0.16 m)作為壓力監(jiān)測點(diǎn)。離散模型的數(shù)據(jù)為:流體粒子7 200個(gè),流體邊界粒子723個(gè),固體邊界粒子2 196個(gè),共計(jì)10 116個(gè)粒子。

    圖2 潰壩模型及離散圖Fig.2 Model of the dam break and the corresponding dicretisizing model

    圖3 潰壩過程及壓力分布情況Fig.3 The process of dam break and the pressure distribution

    圖3給出了改進(jìn)MPS方法模擬的潰壩過程中的六個(gè)典型時(shí)刻的流動(dòng)現(xiàn)象及對應(yīng)的壓力分布。從圖中可以看出,當(dāng)潰壩現(xiàn)象發(fā)生后,水柱在重力的作用下發(fā)生坍塌形成了一個(gè)自由表面波或稱為潰壩波,該表面波在慣性的作用下向右傳播,然后與右側(cè)壁面發(fā)生砰擊現(xiàn)象,之后出現(xiàn)了自由表面的翻卷、破碎和飛濺現(xiàn)象,之后接著反向向左傳播,能量逐漸減弱直至達(dá)到新的靜平衡狀態(tài)。

    圖4(a)給出的是潰壩波前端位置隨時(shí)間的變化曲線,圖4(b)給出了P點(diǎn)的壓力隨時(shí)間的變化情況,這兩幅圖均與對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)值[11]進(jìn)行了比較。從圖中可以看出,潰壩波大約在T=2.5附近到達(dá)右面的側(cè)壁并緊接著發(fā)生了砰擊作用,整個(gè)過程共發(fā)生了兩次比較明顯的砰擊現(xiàn)象。另外,改進(jìn)的MPS方法的計(jì)算結(jié)果較為平滑,與實(shí)驗(yàn)值吻合更好。但是,改進(jìn)的MPS方法的計(jì)算結(jié)果,無論是潰壩波前端位置的變化還是P點(diǎn)的壓力時(shí)歷值,相對于實(shí)驗(yàn)值存在一定的延時(shí),這種情況可能是由于數(shù)值模擬中運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)的取值較大造成的。

    圖4 潰壩波前端位置和P點(diǎn)壓力的時(shí)歷曲線Fig.4 Time history of the leading edge of collapsed water column wave and the pressure at the point of P

    3 彈性支撐側(cè)壁潰壩現(xiàn)象

    實(shí)際工程中,當(dāng)發(fā)生潰壩時(shí),由于潰壩波的巨大砰擊力的作用,會(huì)導(dǎo)致一些建筑物的移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)。因此,本文選取如圖5所示的具有彈性支撐側(cè)壁的潰壩模型,水柱右面的墻壁為彈性支撐,在潰壩波的砰擊力作用下將圍繞彈性支撐點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),其轉(zhuǎn)動(dòng)方程為:

    式中,I為慣性矩;M為轉(zhuǎn)動(dòng)體的質(zhì)量;H為轉(zhuǎn)動(dòng)體質(zhì)心到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的距離;K為彈性支撐的剛度系數(shù);θ為彈性支撐側(cè)壁的轉(zhuǎn)角;Mf為流體壓力作用在彈性支撐側(cè)壁上的合力矩,可按照下式計(jì)算:

    其中,pi為彈性支撐側(cè)壁粒子i處的壓力;N為彈性支撐側(cè)壁離散的粒子總數(shù);l為粒子i距彈性支撐點(diǎn)的距離;dl可取為粒子初始分布間距。

    具體尺寸選取如圖2所示的潰壩現(xiàn)象的物理模型,只是右側(cè)固壁變成了彈性支撐側(cè)壁。在整個(gè)數(shù)值模擬中運(yùn)動(dòng)性粘性系數(shù)v取0.001 m/s2,計(jì)算時(shí)間步長dt為0.000 5 s。圖6給出了具有彈性支撐側(cè)壁的潰壩現(xiàn)象模擬結(jié)果,包括6個(gè)在整個(gè)潰壩現(xiàn)象中比較典型時(shí)刻點(diǎn)的圖像,分布對應(yīng)T=3.859 9、6.147 3、7.576 9、9.649 8、11.293 8和21.444 0。圖7顯示了在整個(gè)潰壩過程中彈性支撐側(cè)壁的旋轉(zhuǎn)角度θ隨時(shí)間的變化情況,圖8中給出了P點(diǎn)壓力隨時(shí)間的變化規(guī)律,圖9比較了右側(cè)側(cè)壁在固定和彈性支撐兩種情況下的所受流體合力矩隨時(shí)間的變化情況。

    圖5 彈性支撐側(cè)壁的潰壩模型示意圖Fig.5 Illustration of dam break with elastic-supported rigid wall

    圖6 具有彈性支撐側(cè)壁的潰壩現(xiàn)象Fig.6 Phenomenon of dam break with elastic-supported side wall

    結(jié)合圖6-9可以看出,當(dāng)潰壩現(xiàn)象發(fā)生之后,水柱坍塌并形成一個(gè)潰壩波,在T=3.8附近到達(dá)右側(cè)的墻壁,右側(cè)側(cè)壁所受流體的合力矩從0開始增長,在該力矩的作用下,彈性支撐側(cè)壁開始逐漸向右側(cè)旋轉(zhuǎn);緊接著潰壩波與右側(cè)側(cè)壁發(fā)生了比較激烈的抨擊現(xiàn)象,右側(cè)側(cè)壁所受流體的合力矩在T=8左右達(dá)到最大值,與此同時(shí)其轉(zhuǎn)角也達(dá)到最大值0.25左右;此后,潰壩波在左右兩個(gè)墻壁之間反復(fù)的傳播直至靜止?fàn)顟B(tài),右側(cè)側(cè)壁的旋轉(zhuǎn)角度也在這個(gè)往復(fù)震蕩過程中逐漸減小至0。

    圖7 轉(zhuǎn)角θ隨時(shí)間的變化曲線Fig.7 The time history of the rotation angle

    圖8 P點(diǎn)的壓力隨時(shí)間的變化曲線Fig.8 The time history of the pressure at the point of P

    另外,結(jié)合前節(jié)固定側(cè)壁的潰壩現(xiàn)象,彈性支撐側(cè)壁的潰壩模型主要有以下特征:首先,具有彈性支撐側(cè)壁的潰壩現(xiàn)象從潰壩發(fā)生到重新恢復(fù)平衡狀態(tài)所消耗的時(shí)間要大于固定側(cè)壁所需的時(shí)間,前者是在T大于20以后才達(dá)到靜平衡狀態(tài),后者是在T=11左右。與固定側(cè)壁的潰壩模型相比,彈性支撐側(cè)壁的潰壩模型的整個(gè)潰壩過程和側(cè)壁上流體壓力合力矩的峰值的出現(xiàn)均具有一定的延遲性。其次,這兩種潰壩模型右側(cè)側(cè)壁的壓力時(shí)歷曲線有明顯的不同。雖然這兩種潰壩模型的最大抨擊壓力峰值均在1.2左右,但固定側(cè)壁模型中有兩次比較明顯的砰擊現(xiàn)象,而對于彈性支撐側(cè)壁的潰壩模型,當(dāng)潰壩波到達(dá)右側(cè)側(cè)壁發(fā)生砰擊現(xiàn)象時(shí),右側(cè)墻壁在砰擊力矩的作用下向右側(cè)旋轉(zhuǎn),彈性支撐起到了明顯的延遲用,從而沒有明顯的第一次砰擊現(xiàn)象。

    圖9 右側(cè)側(cè)壁的流體合力矩隨時(shí)間的變化曲線Fig.9 The fluid force momentum on the right-side wall

    4 小結(jié)

    本文基于改進(jìn)的MPS方法,采用Fortran語言進(jìn)行自主編程,分別模擬了固定側(cè)壁潰壩現(xiàn)象和彈性支撐側(cè)壁潰壩現(xiàn)象。研究證明,改進(jìn)的MPS方法可以成功地模擬潰壩現(xiàn)象中自由液面的翻卷、破碎和飛濺現(xiàn)象,驗(yàn)證了該方法在處理這種大變形自由液面流動(dòng)問題中的優(yōu)勢。另一方面,通過這兩種潰壩模型的對比發(fā)現(xiàn),雖然兩種模型的最大砰擊壓力相近,但固定側(cè)壁的潰壩模型有兩次明顯的砰擊現(xiàn)象,彈性支撐側(cè)壁的潰壩現(xiàn)象只有一次明顯的砰擊現(xiàn)象。其次,由于彈性支撐側(cè)壁的緩沖作用,整個(gè)潰壩過程的進(jìn)行出現(xiàn)了顯著的延遲效應(yīng)。

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