競(jìng)爭(zhēng)型非線性介質(zhì)中艾里-高斯光束交互作用的調(diào)控*

陳衛(wèi)軍 宋德 李野 王新 秦旭磊 劉春陽(yáng)

(長(zhǎng)春理工大學(xué)理學(xué)院,長(zhǎng)春 130022)

基于分步傅里葉法研究了艾里-高斯光束在三次聚焦和五次散焦競(jìng)爭(zhēng)型非線性介質(zhì)中交互作用的調(diào)控.結(jié)果表明：當(dāng)入射角度為零時(shí),同相位艾里-高斯光束相互吸引,五次散焦非線性強(qiáng)度較弱時(shí),可形成周期逐漸縮短的呼吸孤子或強(qiáng)度不變的孤子.五次散焦非線性強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí),呼吸孤子的平均寬度變大甚至出現(xiàn)光束分叉現(xiàn)象,形成孤子對(duì).反相位艾里-高斯光束相互排斥,排斥力隨五次散焦非線性強(qiáng)度單調(diào)遞增.當(dāng)入射角度不為零時(shí),通過控制光束入射角度的正負(fù)和初始間距.同相位和反相位艾里-高斯光束交互作用時(shí)可以同時(shí)表現(xiàn)出相互吸引和排斥的現(xiàn)象.

1 引 言

1979年,Berry和Balazs[1]在量子力學(xué)范疇內(nèi)首次理論預(yù)言了艾里波包是線性薛定諤方程的特解,這種波包最主要的特點(diǎn)是無衍射和橫向自加速.然而,具有這種特性的粒子在橫向具有無窮振蕩的能量,實(shí)際中并不能產(chǎn)生,因而該工作在數(shù)十年里并未引起人們的關(guān)注.直至2007年,Siviloglou和Christodoulides等[2,3]在光學(xué)領(lǐng)域首次從理論和實(shí)驗(yàn)角度驗(yàn)證了有限能量艾里光束的形成.此后,艾里光束作為一種新型無衍射光波迅速引起了科研人員的極大興趣,其潛在應(yīng)用主要包括光學(xué)微粒清除[4]、光子彈[5,6]、彎曲等離子體通道產(chǎn)生[7]、光路由[8]、光互聯(lián)[9]、圖像信號(hào)傳輸[10]、真空電子加速[11,12]、激光導(dǎo)引電火花[13]及自聚焦光束的合成[14]等.另一方面,由于光波在非線性介質(zhì)中傳輸可以產(chǎn)生一些新奇的現(xiàn)象,如空間光孤子[15]及光學(xué)表面波[16]等,具有非常重要的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用前景.因此,近年來,艾里光束在非線性介質(zhì)中的傳輸與交互作用也引起了物理學(xué)家們的廣泛關(guān)注[17-28].

值得注意的是,Bandres和Gutiérrez-Vega[29]在2007年提出了一種艾里光束的廣義描述形式,即艾里光束通過高斯光闌調(diào)制后得到的艾里-高斯光束(Airy-Gaussian beams,AiGBs),并發(fā)現(xiàn)AiGBs同樣具有有限能量,可以在有限距離進(jìn)行準(zhǔn)無衍射傳輸,而且實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與理論可以很好地符合.目前,許多研究工作報(bào)道了非線性效應(yīng)對(duì)AiGBs傳輸特性的影響.例如,已有學(xué)者深入開展了AiGBs在克爾介質(zhì)[30,31]、飽和非線性介質(zhì)[32]、二次折射率介質(zhì)[33]及強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)[34]中的傳輸動(dòng)力學(xué)研究.Zhang[35]研究了非局域非線性介質(zhì)中AiGBs的呼吸束縛態(tài)現(xiàn)象.Shi等[36]討論了具有缺陷的光學(xué)格子中AiGBs的交互作用.Jiang等[37]詳細(xì)分析了中心對(duì)稱光折變晶體中AiGBs的傳輸特性及其交互作用.本課題組也研究了AiGBs在飽和非線性介質(zhì)[38]及競(jìng)爭(zhēng)型三五次非線性介質(zhì)中[39]的傳輸動(dòng)力學(xué)特性.然而,在上述研究工作中,除非線性機(jī)制外,對(duì)AiGBs交互作用的控制主要通過調(diào)整光束初始間隔、相位差及初始振幅等實(shí)現(xiàn).最近,Zhan等[28]提出了一種控制艾里光束交互作用的新方法,即對(duì)入射光束引入一定的初始角度,這使得艾里光束在交互時(shí)可以產(chǎn)生一些新奇的現(xiàn)象,從而達(dá)到光場(chǎng)調(diào)控的目的.本文主要利用該方法研究三次聚焦和五次散焦競(jìng)爭(zhēng)型非線性介質(zhì)中AiGBs交互作用的控制.基于分步傅里葉法,通過理論模擬分析非線性機(jī)制和系統(tǒng)參數(shù)對(duì)光束交互作用的影響,討論不同情況下AiGBs的傳輸動(dòng)力學(xué).

2 理論模型

考慮一維情況,在傍軸近似條件下,光束在三次聚焦和五次散焦競(jìng)爭(zhēng)型非線性介質(zhì)中傳播的歸一化非線性薛定諤方程可以描述為[40,41]

其中u表示光波的復(fù)振幅包絡(luò),x和z表示被光束寬度和瑞利距離分別歸一化的無量綱橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),ε是描述五次散焦非線性效應(yīng)強(qiáng)度的可變參量(ε＞ 0,通常,ε?1).本文之所以考慮五次散焦非線性,主要原因是純?nèi)尉劢剐?yīng)會(huì)使高入射功率的光束在傳輸時(shí)非常不穩(wěn)定[17,38,39],而五次散焦非線性可以有效抑制這一缺點(diǎn).當(dāng)忽略方程(1)中的非線性項(xiàng)時(shí),(1)式則變?yōu)榫€性薛定諤方程,具有切趾艾里解[2].為了研究AiGBs的傳輸特性,設(shè)入射光場(chǎng)的表達(dá)式為

其中,u0是調(diào)節(jié)入射光場(chǎng)強(qiáng)度的初始振幅;Ai(·)表示艾里函數(shù);a是確保光束能量有限的衰減因子(a＞ 0,本文取a= 0.2);g是入射光場(chǎng)分布因子,當(dāng)g較小時(shí),入射光場(chǎng)趨近于艾里函數(shù)分布,當(dāng)g較大時(shí),入射光場(chǎng)趨近于高斯函數(shù)分布,如圖1(a)所示.關(guān)于入射光場(chǎng)分布因子對(duì)AiGBs傳輸?shù)挠绊懸驯辉敿?xì)研究[30-34,39],本文將不作為重點(diǎn)進(jìn)行討論(本文取g= 0.01).參數(shù)v是正比于光束入射角度的可控變量,實(shí)驗(yàn)中可以通過調(diào)節(jié)成像透鏡與系統(tǒng)光軸的橫向位移來控制[42-44].當(dāng)AiGBs在自由空間中傳輸時(shí),若v＜ 0,光束的橫向自彎曲被抑制,如圖1(b)所示;若v= 0,光束的傳輸無影響,如圖1(c)所示;若v＞ 0,光束的橫向自彎曲被增強(qiáng),如圖1(d)所示.

圖1 (a)g取不同值時(shí)AiGBs的光強(qiáng)分布;(b),(c),(d)入射角度v取不同值時(shí)自由空間中AiGB的演化Fig.1.(a) Intensity distributions of AiGBs withg = 0.01 and 1;(b),(c),(d) evolution of AiGB in free space with different initial launch anglev.

綜上,為了方便研究入射角度對(duì)AiGBs交互作用的控制,構(gòu)造初始入射光束為兩束相同偏轉(zhuǎn)角度且加速度相反的AiGBs,表示形式為

其中,u1和u2分別表示兩AiGBs的初始振幅;d是控制光束初始間距的參量;Q是調(diào)節(jié)兩AiGBs間相位變化的參數(shù),當(dāng)Q= 0時(shí),兩光束為同相位,當(dāng)Q= 1時(shí),兩光束為反相位;v代表的是兩AiGBs的入射角度相關(guān)參量,若v＜ 0,則兩光束先向加速方向的外側(cè)彎曲同樣程度,后沿加速方向彎曲,即彎曲程度被抑制,若v＞ 0,則兩光束只沿加速方向彎曲,即彎曲程度被增強(qiáng).

3 結(jié)果與分析

為了分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)AiGBs交互作用的影響,采用分步傅里葉方法,以(3)式為初始條件,對(duì)方程(1)進(jìn)行數(shù)值求解,可以得到不同條件下兩AiGBs的演化情況.數(shù)值計(jì)算過程中光束傳輸模擬的步長(zhǎng)為0.01z0(z0為衍射長(zhǎng)度),橫向范圍取點(diǎn)數(shù)為212個(gè).由于初始振幅對(duì)AiGBs傳輸?shù)挠绊懸驯怀浞钟懻揫30-32,39],故本文僅取u1=u2= 3為例.以下將從兩方面進(jìn)行討論和分析：1）五次散焦非線性效應(yīng)強(qiáng)度對(duì)AiGBs交互作用的影響;2）初始入射角度如何控制AiGBs的交互作用.

圖2 五次散焦非線性強(qiáng)度取不同值時(shí)同相位AiGBs的交互作用(入射角度v = 0)Fig.2.Interactions of in-phase AiGBs with different strength of the quintic defocusing nonlinearity.The initial launch anglev = 0.

首先,不考慮光束的入射角度(v= 0),即入射光束為兩束相互平行且加速度相反的AiGBs.圖2給出了同相位情況下五次散焦非線性效應(yīng)強(qiáng)度對(duì)AiGBs交互作用的影響情況.由文獻(xiàn)[20]可知,在純Kerr非線性機(jī)制下(ε= 0),兩同相位艾里光束交互時(shí)相互吸引,光束初始間距較大時(shí)形成兩束平行的孤子,較小時(shí)形成束縛態(tài)周期性單呼吸孤子.當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)型非線性介質(zhì)中五次散焦效應(yīng)較弱時(shí)(ε= 0.05),調(diào)節(jié)兩AiGBs的初始間距對(duì)其相互作用進(jìn)行模擬,傳輸距離為30z0時(shí)的演化結(jié)果如圖2(a1)—(g1)所示.從圖2(a1)和圖2(g1)可以看出,初始間距較大時(shí),光束間相互作用較弱,形成兩束基本平行的孤子.從圖2(b1)可以看出,間距逐漸減小時(shí),光場(chǎng)交疊區(qū)域出現(xiàn)相長(zhǎng)干涉,使其間折射率增大,兩AiGBs開始相互吸引融合并開始伴隨呼吸態(tài)的產(chǎn)生.值得注意的是,由于五次散焦效應(yīng)對(duì)三次聚焦效應(yīng)的補(bǔ)償,交互后光束呼吸態(tài)的周期越來越短.從圖2(c1)和圖2(f1)可以看出,進(jìn)一步縮短光束初始間距,可以形成呼吸間隔比較短的準(zhǔn)周期呼吸孤子.從圖2(d1)和圖2(e1)可以看出,當(dāng)光束初始間距足夠小時(shí),孤子的呼吸態(tài)幾乎消失,即光束的衍射效應(yīng)被介質(zhì)的非線性效應(yīng)基本平衡,形成寬度和強(qiáng)度保持不變的孤子.當(dāng)介質(zhì)中五次散焦效應(yīng)較強(qiáng)(ε= 0.1)時(shí),交互結(jié)果如圖2(a2)—(g2)所示.演化趨勢(shì)與五次散焦效應(yīng)較弱時(shí)基本相同.不同的是,光束間距較大時(shí)也出現(xiàn)了呼吸態(tài)孤子的現(xiàn)象(圖2(a2)和圖2(g2)),間距較小時(shí)兩AiGBs相互吸引融合的速度增加,間距足夠小時(shí)孤子的強(qiáng)度和寬度均增大.這表明當(dāng)五次散焦效應(yīng)進(jìn)一步增強(qiáng)時(shí),同相位AiGBs交互后可能出現(xiàn)分叉或崩塌現(xiàn)象.因此,繼續(xù)增加五次散焦非線性效應(yīng)強(qiáng)度,模擬結(jié)果如圖2(a3)—(g3)所示.可以明顯地看出,在強(qiáng)五次散焦非線性效應(yīng)強(qiáng)度影響下,光束間距d= 1時(shí)出現(xiàn)了光束分叉現(xiàn)象,產(chǎn)生了沿傳播方向?qū)ΨQ的孤子對(duì).因此,同相位時(shí),五次散焦非線性效應(yīng)較弱時(shí)可以促進(jìn)兩AiGBs交互時(shí)單呼吸孤子的產(chǎn)生,較強(qiáng)時(shí)可使兩AiGBs交互時(shí)產(chǎn)生分叉,形成孤子對(duì),這有望實(shí)現(xiàn)新型光分束器或光路由器的制備.

圖3給出了反相位情況下五次散焦非線性效應(yīng)強(qiáng)度對(duì)AiGBs交互作用的影響結(jié)果.可以看出,光束間距較大時(shí),交互作用并不明顯,形成兩束基本平行的孤子.當(dāng)光束間距較小時(shí),光場(chǎng)交疊區(qū)域出現(xiàn)相消干涉,使其間折射率減小,兩AiGBs相互排斥,形成相互對(duì)稱的孤子對(duì).隨著光束間距的減小,光束間的排斥力變大.然而隨著五次散焦效應(yīng)強(qiáng)度的增加,孤子間的排斥力也逐漸變大,且光束間距較大時(shí)也可表現(xiàn)出相互排斥的現(xiàn)象.因此,可通過調(diào)節(jié)五次散焦非線性效應(yīng)強(qiáng)度和光束間距控制不同相位條件下AiGBs的交互作用.

圖3 五次散焦非線性強(qiáng)度取不同值時(shí)反相位AiGBs的交互作用(入射角度v = 0)Fig.3.Interactions of out-of-phase AiGBs with different strength of the quintic defocusing nonlinearity.The initial launch anglev = 0.

圖4 不同入射角度條件下同相位AiGBs的交互作用Fig.4.Interactions of in-phase AiGBs with different initial launch angles.

為了進(jìn)一步控制競(jìng)爭(zhēng)型非線性介質(zhì)中AiGBs的交互作用,調(diào)整光束入射角度(斜入射,v≠0),取ε= 0.1,再對(duì)AiGBs的交互作用進(jìn)行數(shù)值模擬.對(duì)于同相位入射的AiGBs而言,入射角度的正負(fù)可以產(chǎn)生兩種相反的情形：一方面,若v＜ 0且d＜ 0,光束間由于光場(chǎng)疊加強(qiáng)度不夠,主瓣不能形成有效的相長(zhǎng)干涉,光束間表現(xiàn)出較強(qiáng)的排斥力和較弱的吸引力,從而形成對(duì)稱的呼吸式孤子對(duì).隨著間距的減小,光束間吸引力逐漸增強(qiáng),排斥力逐漸減弱,如圖4(a1)—(c1)所示.若v＜ 0且間距足夠小,光束間主瓣疊加充分,光波能量主要匯聚于光場(chǎng)中心位置,由于三次聚焦非線性效應(yīng)與光束衍射效應(yīng)難以完全平衡,而形成單呼吸式孤子,如圖4(d1)—(f1)所示.需要說明的是,由于五次散焦非線性效應(yīng)對(duì)聚焦效應(yīng)的補(bǔ)償,這種孤子的呼吸周期會(huì)越來越短.若v＜ 0且d＞ 0(足夠大),光束相向加速增強(qiáng),疊加后發(fā)生彈性碰撞,先出現(xiàn)相互吸引的急自聚焦現(xiàn)象,后出現(xiàn)排斥現(xiàn)象,再形成孤子對(duì),如圖4(g1)所示.從圖4(a2)—(g2)可以看出,當(dāng)|v|減小時(shí),光束在交互作用時(shí)的吸引力變強(qiáng),光束間距較大時(shí)急自聚焦現(xiàn)象出現(xiàn)的位置越來越遠(yuǎn).另一方面,若v＞ 0且d＜ 0,光場(chǎng)會(huì)迅速疊加出現(xiàn)急自聚焦現(xiàn)象,然后發(fā)生彈性碰撞,表現(xiàn)出先吸引后排斥的情況,形成呼吸式孤子對(duì),如圖4(a4)—(c4)所示.若v＞ 0且間距足夠小,光束間主瓣疊加充分,可以形成單呼吸式孤子,如圖4(d4)和圖4(e4)所示.若v＞ 0且d＞ 0(足夠大),光場(chǎng)的主瓣在疊加時(shí)并不能形成相長(zhǎng)干涉,表現(xiàn)出強(qiáng)的排斥力和弱的吸引力,產(chǎn)生對(duì)稱的呼吸式孤子對(duì),且隨著光束間距的增大,排斥力增加.同樣,當(dāng)v減小時(shí),光束間的吸引力增強(qiáng),排斥力減弱,單孤子的呼吸周期越來越短.當(dāng)v= 0時(shí),光束間吸引力最強(qiáng),此時(shí)排斥力為零,如圖2(a2)—(g2)所示.

考慮不同入射角度下反相位AiGBs的交互情況,結(jié)果如圖5所示.可以看出,當(dāng)v＜ 0 (|v|較大)且d≤0時(shí),兩入射AiGBs的加速度被抑制(光場(chǎng)分布沿AiGBs加速的相反方向彎曲),光場(chǎng)的疊加強(qiáng)度較低,主瓣難以相消干涉,光束間排斥力僅與入射角度相關(guān),排斥時(shí)形成相互對(duì)稱的孤子對(duì),如圖5(a1)—(d1)所示.此外,由于兩光束入射角度較大,光束間的排斥力隨著初始間距的減小而減弱.若減小光束的入射角度,光束間的排斥力會(huì)受到初始間距大小的影響,如圖5(a2)—(d2)所示.可以看出,當(dāng)間距較大時(shí),光場(chǎng)疊加強(qiáng)度依然較低,排斥力僅與入射角度有關(guān),入射角度越小,排斥力就越小.但當(dāng)間距較小時(shí),光場(chǎng)疊加強(qiáng)度增強(qiáng),光束間存在強(qiáng)的相消干涉,排斥力也變得較大,如圖5(d2)所示.當(dāng)v＜ 0(|v|較大)且d＞ 0時(shí),如圖5(e1)—(g1)所示,光場(chǎng)初始疊加時(shí)強(qiáng)度較大,出現(xiàn)光束相互吸引的現(xiàn)象.由于兩光束相位相反,這種吸引實(shí)際上是發(fā)生彈性碰撞的結(jié)果,之后兩光束仍然相互排斥,并且隨著間距的增加,彈性碰撞發(fā)生的位置越來越遠(yuǎn),光束間的排斥力越來越小.從圖5(e2)—(g2)可以看出,光束入射角度較小時(shí),光束間的排斥力較小,光場(chǎng)發(fā)生彈性碰撞的位置較遠(yuǎn).值得注意的是,當(dāng)光束間距足夠小時(shí),光場(chǎng)初始疊加時(shí)迅速相消干涉,使得主瓣交互后能量迅速減小,介質(zhì)的光致折射率改變減小,不足以平衡光束的衍射效應(yīng),從而無法產(chǎn)生孤子對(duì),如圖5(e2)所示.當(dāng)v＞ 0(較大)且d＜ 0時(shí),光束交互時(shí)先發(fā)生彈性碰撞后相互排斥,隨著間距的減小,碰撞的位置變得較近,排斥力變得較大,如圖5(a4)—(c4)所示.當(dāng)光束間距較大,如果光束入射角度減小,排斥力也變小,如圖5(a3)—(c3)所示.當(dāng)光束間距足夠小時(shí),從圖5(d3)和圖5(d4)可以看出,受相消干涉的影響,如果入射角度較小,光場(chǎng)間排斥力明顯增加.當(dāng)v＞ 0(較大)且d＞ 0時(shí),光束間排斥力隨間距的減小而增大,隨入射角度的減小而減小.需要說明的是,圖5(e3)中也出現(xiàn)了明顯的衍射效應(yīng),產(chǎn)生原因與圖5(e2)相似.

圖5 不同入射角度條件下反相位AiGBs的交互作用Fig.5.Interactions of out-of-phase AiGBs with different initial launch angles.

4 結(jié) 論

運(yùn)用分步傅里葉法數(shù)值研究了競(jìng)爭(zhēng)型非線性介質(zhì)中AiGBs交互作用的控制.在三次聚焦非線性強(qiáng)度一定,五次散焦非線性強(qiáng)度較弱時(shí),不考慮光束斜入射,間距較大時(shí)同相位AiGBs交互可以形成平行的孤子對(duì),間距較小時(shí)形成周期越來越短的束縛態(tài)孤子或非束縛態(tài)孤子.五次散焦非線性強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí),間距較小時(shí)同相位AiGBs交互會(huì)出現(xiàn)分叉現(xiàn)象,產(chǎn)生沿傳播方向?qū)ΨQ的孤子對(duì).反相位AiGBs交互時(shí),光束間的排斥力隨五次散焦非線性強(qiáng)度單調(diào)遞增.當(dāng)光束斜入射時(shí),調(diào)整光束入射角度v和間距d可以控制光束交互作用.同相位時(shí),若v＜ 0且d＜ 0或v＞ 0且d＞ 0,光束間表現(xiàn)出較強(qiáng)的排斥力和較弱的吸引力,形成兩束對(duì)稱的孤子對(duì),且隨著間距的減小,吸引力變大.間距足夠小時(shí),光場(chǎng)的疊加使得非線性效應(yīng)與衍射效應(yīng)相當(dāng),光束間吸引力增大,排斥力幾乎為零,在中心位置處形成單呼吸孤子.若v＜ 0且d＞ 0 (足夠大)或v＞ 0且d＜ 0,相長(zhǎng)干涉作用使得光束先出現(xiàn)急自聚焦現(xiàn)象,后相互排斥,形成孤子對(duì).反相位情況時(shí),若v＜ 0且d＜ 0或v＞ 0且d＞ 0,光束間的排斥力被增強(qiáng),且排斥力隨|v|單調(diào)遞增.若v＜ 0且d＞ 0或v＞ 0且d＜ 0,光束間發(fā)生彈性碰撞,表現(xiàn)出先吸引后排斥的現(xiàn)象.需要注意的是,當(dāng)間距足夠小且入射角度較小時(shí),由于光場(chǎng)初始疊加強(qiáng)度足夠大,相消干涉可能會(huì)導(dǎo)致光束傳播時(shí)衍射效應(yīng)增強(qiáng),非線性效應(yīng)不足以與之平衡,從而無法形成孤子對(duì).總之,調(diào)節(jié)競(jìng)爭(zhēng)型非線性介質(zhì)中五次散焦效應(yīng)的強(qiáng)度和AiGBs的初始入射角度,可以有效調(diào)控AiGBs交互作用后的光場(chǎng)結(jié)構(gòu),這在光場(chǎng)調(diào)控、光分束器制備、自聚焦光束合成、光路由及全光網(wǎng)絡(luò)器件等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.