淺談復(fù)數(shù)中常見的錯(cuò)題剖析

■河南省羅山高級(jí)中學(xué) 王 莉

在解復(fù)數(shù)試題時(shí)，不少同學(xué)經(jīng)常做錯(cuò)。有些問題往往是由于大家對(duì)概念的模糊認(rèn)識(shí)，從而造成一些看起來正確實(shí)際上錯(cuò)誤的做法，致使我們的解題思路偏離實(shí)際。

誤區(qū)一：對(duì)純虛數(shù)的概念把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤

例1設(shè)m∈R，m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m=_________。

錯(cuò)解：因?yàn)閙∈R，復(fù)數(shù)m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)，所以m2+m-2=0。解得m=1或m=-2。

正解：m∈R，復(fù)數(shù)m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)的充要條件是：

也即m=-2。

故m=-2時(shí)，m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)。

剖析：(1)若忽視“純虛數(shù)的虛部不為0”這一條件，易得出m=1或m=-2的錯(cuò)誤結(jié)論。

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)是純虛數(shù)的充要條件為二者缺一不可。

誤區(qū)二：對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義理解不深，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤

例2(2016年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理數(shù))已知z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )。

A.(-3，1) B.(-1，3)

C.[-1，3] D.(-∞，-3)

錯(cuò)解：要使復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限應(yīng)滿足無解。

正解：要使復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，應(yīng)滿足：解得-3＜m＜1，故選A。

剖析：沒有理解復(fù)數(shù)的幾何意義，不知道如何將復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)。

誤區(qū)三：對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算不熟悉導(dǎo)致錯(cuò)誤

例3(2016年高考新課標(biāo)Ⅲ卷理數(shù))若z=1+2 i，則

A.1 B.-1 C.i D.-i

錯(cuò)解：選D。

正解：故選C。

剖析：把實(shí)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算混淆。

誤區(qū)四：誤用判別式求解復(fù)數(shù)方程

例4已知關(guān)于x的方程x2+(k+2 i)x+2+ki=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件。

錯(cuò)解：由于方程有實(shí)數(shù)根，得Δ=(k+2 i)2-4(2+ki)≥0，解得或k≤

正解：設(shè)x=x0是方程的實(shí)數(shù)根，代入方程并整理得(x20+k x0+2)+(2x0+k)i=0。由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得解得或

剖析：(1)求解本題容易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以Δ=(k+2 i)2-4(2+ki)≥0，解得或需注意由于虛數(shù)單位的特殊性，不能用判別式判斷復(fù)系數(shù)一元二次方程有無實(shí)數(shù)根。

(2)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是：依題意設(shè)出方程的根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解。對(duì)于一元二次方程，也可以用求根公式求解，要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)能開方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)系也是成立的，注意求方程中參數(shù)的取值時(shí)，不能利用判別式求解。

誤區(qū)五：復(fù)數(shù)的“?！迸c“絕對(duì)值”混淆出錯(cuò)

例5在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解不等式|z2-4z+3|＜|z-1|。

錯(cuò)解：原不等式?|z-3||z-1|＜|z-1|?|z-1|(|z-3|-1)＜0。

因?yàn)閨z-1|≥0，所以|z-3|＜1。

解得-1＜z-3＜1，即2＜z＜4。

正解：原不等式?|z-3||z-1|＜|z-1|?|z-1|(|z-3|-1)＜0。

因?yàn)閨z-1|≥0，所以|z-3|＜1，且z≠1。

其解為以點(diǎn)(3，0)為圓心，1為半徑的圓內(nèi)部。

剖析：錯(cuò)在把實(shí)數(shù)中絕對(duì)值的性質(zhì)“|x|＜a?-a＜x＜a(a＞0)”生搬硬套到復(fù)數(shù)模中來。

總而言之，在做復(fù)數(shù)這部分的習(xí)題時(shí)出現(xiàn)的五花八門的錯(cuò)誤，其根源在于基礎(chǔ)理論知識(shí)掌握不牢靠，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)多多留心，認(rèn)真對(duì)待每一道題，讓細(xì)心成為我們生活的常態(tài)，希望本文對(duì)同學(xué)們掌握復(fù)數(shù)這類題型有所幫助。