行列式不同計(jì)算方法的比較研究

董子健

【摘要】求解線性方程組是代數(shù)學(xué)研究的基本議題之一。幾百年來，圍繞線性方程組的求解發(fā)展出了眾多理論，其中行列式理論是這些理論中發(fā)展較早也是較為完善的部分。行列式在諸多領(lǐng)域都有應(yīng)用，而行列式的計(jì)算則是應(yīng)用行列式的基礎(chǔ)。本研究綜述了行列式計(jì)算的諸多方法，分析了這些計(jì)算方法的適用條件，并比較了這些方法在不同類型行列式計(jì)算中的優(yōu)缺點(diǎn)，給出了一種根據(jù)行列式特征選擇計(jì)算方法的通用規(guī)則。

【關(guān)鍵詞】線性方程組;行列式;克拉默法則

引言

求解線性方程組是代數(shù)學(xué)研究的基本議題。幾百年來，圍繞線性方程組的求解發(fā)展出了眾多理論，其中行列式理論是這些理論中發(fā)展較早也是較為完善的部分。行列式在諸多領(lǐng)域都有應(yīng)用，而行列式的計(jì)算則是應(yīng)用行列式的基礎(chǔ)。由于工程問題中的行列式計(jì)算通常階數(shù)4民高，直接使用定義計(jì)算是十分困難的，但鑒于工程問題中的方程組多為稀疏型或?qū)ΨQ型方程組，對應(yīng)的行列式也具有稀疏或?qū)ΨQ的特征。

行列式的計(jì)算方法研究十分廣泛，如：楊關(guān)玲、劉家保、晏一心、陳曉等都對此有所討論。總的來說，行列式的典型計(jì)算方法約有7-8種，目前的文獻(xiàn)多為對這些方法的重復(fù)總結(jié)，并給出一些實(shí)例進(jìn)行分析，缺乏對這些方法的比較，更沒有給出一種根據(jù)行列式特征選擇計(jì)算方法的通用規(guī)則，因此本研究可以對現(xiàn)有研究做少許補(bǔ)充。

本研究綜述了行列式計(jì)算的諸多方法，分析了這些計(jì)算方法的適用條件，并比較了這些方法在不同類型行列式計(jì)算中的優(yōu)缺點(diǎn)，給出了一種根據(jù)行列式特征選擇計(jì)算方法的通用規(guī)則。

1.行列式的定義與性質(zhì)

1.1 行列式的定義

行列式的定義式又稱行列式的完全展開式，其表示如下，

其中，j₁j₂，…，J_n是一個(gè)n元排列，求和號表示對所有的n元排列求和τ（j₁j₂，…，j_n）表示n元排列j₁j₂，…，j_n的奇偶性。通常，我們用|A|表示矩陣A的行列式。

1.2 行列式的基本性質(zhì)

行列式的計(jì)算離不開行列式的基本性質(zhì)，在行列式計(jì)算中常用的性質(zhì)總結(jié)如下：

性質(zhì)1行列式行列交換不改變行列式的值，即|A|=|A|，

性質(zhì)2行列式某一行的所有元素都含有同一個(gè)因子k，則有：

性質(zhì)3若行列式中存在全為0的一行，則行列式值為0，

性質(zhì)4行列式可以拆分，即：

性質(zhì)5行列式交換兩行的位置，行列式的值變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，

性質(zhì)6行列式中若有兩行元素一致，則行列式的值為0，

性質(zhì)7行列式中若有兩行成比例，則行列式的值為0，

性質(zhì)8行列式的某一行加上令一行的某個(gè)倍數(shù)，行列式的值不變，

性質(zhì)9行列式可以按一行展開，即：

其中A_ij是a_ij的代數(shù)余子式。

上述性質(zhì)中，由于性質(zhì)1的存在，所有關(guān)于行的性質(zhì)關(guān)于列也成立。此外，性質(zhì)2，5，8中的運(yùn)算稱為行列式的初等變換。行列式的初等變換是計(jì)算行列式的最基本方法。其次，性質(zhì)4是拆分法的基礎(chǔ)，性質(zhì)4通常配合性質(zhì)3，6，7來使用。

2.行列式的計(jì)算方法及其適用性條件

行列式的計(jì)算有消去法、拆分法、化三角法等方法。以柱的文獻(xiàn)通常只對這些方法進(jìn)行機(jī)械的羅列，缺乏對這些方法之間聯(lián)系的討論。本節(jié)將對這些常用方法進(jìn)行總結(jié)，并討論它們的使用條件，給出一種根據(jù)行列式特征選擇計(jì)算方法的通用規(guī)則。

2.1行列式計(jì)算的基本思路

本質(zhì)上說，行列式的計(jì)算只有一種思路，即轉(zhuǎn)化。我們認(rèn)為，行列式一切計(jì)算方法都是轉(zhuǎn)化法的延伸或變形。行列式轉(zhuǎn)化的目標(biāo)包括兩個(gè)，即要么轉(zhuǎn)化成已知計(jì)算公式的特殊類型的行列式，要么轉(zhuǎn)化成已知計(jì)算方法的或是能用特定方法求解的行列式。而具體怎么轉(zhuǎn)化則涉及到多種方法，如消去法、加邊法、拆分法等等。下面的圖示展示了行列式計(jì)算的基本思路。

2.2 特殊類型的行列式及一些特定方法

2.2.1 特殊類型的行列式

如上節(jié)所述，特殊類型的行列式主要包括三角型行列式、ab型行列式、箭型行列式和范德蒙行列式。這些行列式具有明顯的特征及容易記憶的計(jì)算公式，更重要的是，對一般的行列式，經(jīng)過一系列的轉(zhuǎn)化后會(huì)化成這些特殊類型的行列式。

三角型行列式是指對應(yīng)矩陣是上三角或下三角的行列式。這種行列式的值即是對角線上元素的乘積，例如：對上三角行列式有：

第二種特殊行列式是箭型行列式，箭型行列式形狀如下：

即行列式對應(yīng)矩陣除了第一行、第一列和對角線以外，其他位置的元素為0。箭型行列式可以通過初等變換化成上三角行列式。具體的，我們將箭型行列式的2到n列依次乘以并加到第一列上，即可將原行列式化為上三角形式，最后利用上三角行列式的計(jì)算公式得到：

ab型行列式是另一種特殊的行列式，其對痛線元素都是a，非對角線元素都是b。ab型行列式的計(jì)算需要用到消去法，我們將在下一節(jié)進(jìn)行介紹，這里我們先列出ab型行列式的值：

最后一類行列式是范德蒙行列式。范德蒙行列式的形式和值為，

范德蒙行列式的求解需要用到性質(zhì)9及歸納法。

2.2.2 特殊的計(jì)算方法

行列式的特殊計(jì)算方法主要有遞推法和歸納法。遞推法把n階行列式的值看成一個(gè)關(guān)于n的數(shù)列，而求行列式就是求數(shù)列的通項(xiàng)公式。這種方法通常需要使用性質(zhì)9將一個(gè)n階行列式的值與其某些抵階子式建立聯(lián)系，而這些低階子式有恰好和原行列式形式一致，即是數(shù)列中的某幾項(xiàng)，從而得到遞推關(guān)系式。通常對于稀疏矩陣的行列式，特別是工程中遇到的行列式，如：三線型行列式，其建立的遞推關(guān)系往往是一階線性遞推或二階線性遞推，復(fù)雜的遞推可能涉及分式遞推等。

另一種方法是歸納法。歸納法仍然把n階行列式的值看成一個(gè)關(guān)于n的數(shù)列。使用歸納法時(shí)，我們通常先計(jì)算1-4階的行列式，猜測行列式的通項(xiàng)表示，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

2.3 行列式的轉(zhuǎn)化與求解方法

上一小節(jié)我們討論了特殊類型的行列式和特殊的行列式計(jì)算方法，這一小結(jié)我們將具體分析如何將一個(gè)行列式轉(zhuǎn)化成這兩種類型。

2.3.1 消去法

消去法是一種十分基本的轉(zhuǎn)化方法淇核心原理是行列式的初等變換。常用的消去法包括四種，即初等變換消去法、把所有行都加到同一行上、相鄰兩行滾動(dòng)消去以及把某一行的某個(gè)倍數(shù)加到其他所有行。

上述四種消去法中，初等變換消去法是最基本也是最普適的方法，其目標(biāo)是把給定的行列式轉(zhuǎn)化為上三角行列式。其他三種消去方法都是針對具有某種特征的行列式，使得進(jìn)行消去操作后，行列式的大部分元素會(huì)變成Oo

具體的，如果一個(gè)行列式的每一列（行）所有元素的和都是同一個(gè)常數(shù)，則我們可以把所有行（列）都加到同一行（列），如：第一行（列）上，這樣，第一行（列）的所有元素都相同，從而可以提出一個(gè)公因子。例如：

可以看出，這個(gè)行列式的每一行的和都是a+（n-1）b，把所有列都加到第一列后，就可以從第一列提出公因子a+（n-1）b，得到：

把所有行（列）都加到同一行（列）通常不能直接把原行列式轉(zhuǎn)化為特殊類型的行列式，例如上例，這是就需要結(jié)合別的方法。用某一行（列）的某個(gè)倍數(shù)加到其他所有行（列）適用于某一行（列）的某個(gè)倍數(shù)和其他所有行（列）接近的情況，例如上例中的

第一行和剩下所有行只有一個(gè)元素不同，因而我們可以把第一行的-1倍加到剩下所有行，得到：

即上三角行列式，從而可以直接求出原行列式的值。

此外，如：果行列式相鄰兩行較為接近，也可以采用滾動(dòng)消去的方法，如前面的，相鄰兩行只有兩個(gè)元素不同，從而我們依次用后一行見前一行，得到：

這是一個(gè)三線型行列式，其除主對角線、主對角線下方及第一行元素外，其他元素為0。三線型行列式可以用遞推法求解，例如上例，使用遞推法可以得到一個(gè)一階線性遞推關(guān)系式。

2.3.2 加邊法

如果行列式的每一個(gè)元素都是兩個(gè)數(shù)的和，且同一列的元素都有相同的加式，即：

則我們可以考慮在原行列式上加上一行（b₁，b₂，…，b_n）及一列（1，0，…，0）使得原行列式值不變，即：

此時(shí)，用第一行的-1倍加到剎下所有行即可消除每個(gè)元素的部分。

2.3.3 拆分法

拆分法是性質(zhì)4的直接運(yùn)用。在使用中，如果我們觀察到行列式某一行或者某幾行元素都是兩個(gè)數(shù)的和，則可以使用拆分法把原行列式拆成多個(gè)行列式的和。通常拆分后的行列式中有很多都是值為零的行列式，因此實(shí)現(xiàn)行列式的簡化。

3.總結(jié)

本研究綜述了行列式計(jì)算的諸多方法，分析了這些計(jì)算方法的適用條件，并比較了這些方法在不同類型行列式計(jì)算中的優(yōu)缺點(diǎn)，給出了一種根據(jù)行列式特征選擇計(jì)算方法的通用規(guī)則。本研究是對現(xiàn)有行列式研究的補(bǔ)充，對行列式的數(shù)值計(jì)算有一定的意義。

【參考文獻(xiàn)】

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