由斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列到一般遞歸數(shù)列

姚厚成

【摘要】本文第一部分主要探討了斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并得到了他們和黃金分割比例的關(guān)系;在第二部分將第一部分的結(jié)論推廣到了一般的遞推數(shù)列中，得到了一般遞歸數(shù)列和黃金分割比例的關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】斐波那契數(shù)列;盧卡斯數(shù)列;遞歸數(shù)列;黃金分割比例

一、斐波那契數(shù)列與盧卡斯數(shù)列

（一）斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式

斐波那契數(shù)列：若數(shù)列{F_n}滿足，F(xiàn)₁=1， F₂=1， F_n+2=F_n+1+F_n，n∈N，則稱數(shù)列{F_n}為斐波那契數(shù)列。

將數(shù)列{F_n}配湊成如下形式，

F_n+2+βF_n+1=α（F_n+1+βF_n）

滿足上式的α和β有兩組解，分別是

數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，因此可以得到：

上面兩個(gè)式子相減得到：

盧卡斯數(shù)列;若數(shù)列{L_n}滿足，L₁=1，L₂=3，L_n+2=L_n+1+L_n，n∈N，則稱數(shù)列{L_n}為盧卡斯數(shù)列。

類似于斐波那契數(shù)列，我們可以得到盧卡斯數(shù)列滿足，

上面兩個(gè)式子相減，同樣地我們可以得到：

（二）斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列性質(zhì)

斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列有一個(gè)重要的性質(zhì)，該性質(zhì)和極限有關(guān)，下面我們給出這個(gè)性質(zhì)。

其實(shí)是著名的黃金分割比例，其和斐波那契數(shù)列有著密切的關(guān)系。

我們發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列前一項(xiàng)比上后一項(xiàng)的極限都是黃金分割比例。

二、一般遞歸數(shù)列

如果數(shù)列{R_n}滿足R₁=1，R₂=1，R_n+2=R_n+1+R_n，我們稱{R_n}為一般遞歸數(shù)列。

其實(shí)數(shù)列{R_n}的通項(xiàng)公式和斐波那契數(shù)列有著很大的聯(lián)系，下面給出該結(jié)論。

類似于斐波那契數(shù)列的求解，關(guān)于數(shù)列{R_n}我們有：

上面兩個(gè)式子相減我們可以得到：

化簡可以得到;

其實(shí)根：{R_n}與斐波那契數(shù)列的關(guān)系，我們也可以得到盧卡斯數(shù)列和斐波那契數(shù)列的關(guān)系，

L_n=3F_n-1+F_n-2數(shù)列{R_n}相鄰兩項(xiàng)之比的極限也有一定的規(guī)律，下文給出該結(jié)論。

1.當(dāng)時(shí)，由可以得到，則我們有：

2.當(dāng)u=0，v=0時(shí)，此時(shí)R_n=0，∨n∈N*相鄰兩項(xiàng)之比無意義。

3.當(dāng)時(shí)，

經(jīng)過上述討論分析，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)數(shù)列{R_n}前兩項(xiàng)滿足時(shí)，其相鄰兩項(xiàng)之比的極限是黃金分割比例;當(dāng)前兩項(xiàng)全為0時(shí)，相鄰兩項(xiàng)之比是無意義的;當(dāng)相鄰兩項(xiàng)之比的極限是-，并非黃金分割比例，其實(shí)此時(shí)數(shù)列{R_n}任意相鄰兩項(xiàng)符號相反。

三、小結(jié)

斐波那契數(shù)列是一個(gè)有著近千年歷史的數(shù)學(xué)理論，到現(xiàn)在還廣為流傳，本文主要探討了其和著名的黃金分割比例的關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之比的極限為黃金分割比例，并且發(fā)現(xiàn)盧卡斯數(shù)列也有這個(gè)性質(zhì)，進(jìn)而將該結(jié)論推廣到了一般遞歸數(shù)列。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳思堯.黃金分割與斐波那契數(shù)列的證明與研究[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（4）：9-11

[2]徐長林.關(guān)于斐波那契毅列及一般遞婦數(shù)列部分叔限的研究[J].陜西學(xué)前師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1995（4）：62-64