一類具有時(shí)滯的信號分子調(diào)節(jié)作用的非連續(xù)模型的動力學(xué)性質(zhì)

王茹　劉葉玲

摘要：以信號分子的濃度為指標(biāo)，建立了一類具有時(shí)滯的群體感應(yīng)對信號分子調(diào)節(jié)的非連續(xù)模型，討論了模型的動力學(xué)性質(zhì)，著重研究了Hopf分歧現(xiàn)象。最后，運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，支撐了理論結(jié)果。

關(guān)鍵詞：時(shí)滯;非連續(xù)模型;滑動模式區(qū)域;穩(wěn)定性;Hopf分歧

1引言

大量的研究^[1-3]指出微生物種群群體感應(yīng)的發(fā)生過程具有很強(qiáng)的非連續(xù)性。文獻(xiàn)[4]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與AHL的產(chǎn)生相比，信號分子分解酶的產(chǎn)生具有一定的時(shí)間延遲。Barbarossa等人^[5]針對惡臭假單胞菌種群群體感應(yīng)現(xiàn)象，建立了關(guān)于群體感應(yīng)現(xiàn)象的連續(xù)型時(shí)滯微分方程（DDE）模型，研究了在群體感應(yīng)作用下，AHL與其分解酶之間的相互作用關(guān)系，并對模型進(jìn)行動力學(xué)分析和數(shù)值模擬。

基于文獻(xiàn)[4、5]，考慮群體感應(yīng)發(fā)生過程的非連續(xù)性的特點(diǎn)，建立具有時(shí)滯的群體感應(yīng)對信號分子調(diào)節(jié)的非連續(xù)DDE模型，討論模型各類平衡點(diǎn)穩(wěn)定性、hopf分歧周期解的存在性及其在不連續(xù)分界面上的動力學(xué)性態(tài)。

2模型的建立

以文獻(xiàn)[5]為基礎(chǔ)，分別記為惡臭假單胞菌種群AHL與其分解酶的濃度，分別表示AHL的基礎(chǔ)生產(chǎn)率、衰退率和分解率，表示AHL分解酶的衰退率。群體感應(yīng)對AHL與其分解酶的調(diào)節(jié)作用分別遵循希爾函變化，其中分別表示群體感應(yīng)發(fā)生時(shí)AHL的額外生產(chǎn)率和AHL分解酶的生產(chǎn)率，分別表示正反饋調(diào)節(jié)AHL與其分解酶的臨界濃度，表示AHL分解酶產(chǎn)生的滯后時(shí)間，考慮群體感應(yīng)發(fā)生的非連續(xù)性，建立了如下模型

（2.1）

當(dāng)時(shí)，AHL與其分解酶濃度滿足

（2.2）

當(dāng)時(shí)，AHL與其分解酶濃度滿足

（2.3）

在二維空間定義函數(shù)其中故系統(tǒng)（2.2）和（2.3）可表示為

（2.4）

其中

另外，令，則為分割兩個(gè)區(qū)域和的邊界。

3系統(tǒng)（2.4）的動力學(xué)性質(zhì)

本節(jié)主要研究含有時(shí)滯的Filippov系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)。

3.1系統(tǒng)（2.2）的動力學(xué)性質(zhì)

令系統(tǒng)（2.2）右端等于零，應(yīng)用Dulac判別法和Bendixson-Dulac判別法，得

定理3.1系統(tǒng)（2.2）存在唯一的全局漸近穩(wěn)定的正平衡點(diǎn).

3.2系統(tǒng)（2.3）的動力學(xué)性質(zhì)

本節(jié)討論模型（2.3）的動力學(xué)性質(zhì)。經(jīng)計(jì)算得，系統(tǒng)（2.3）存在唯一的平衡點(diǎn)正平衡點(diǎn)根據(jù)系統(tǒng)的生物意義，我們僅在集合上討論系統(tǒng)的動力學(xué)行為。為了討論方便，引入如下符號：

3.2.1模型（2.3）平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性

本節(jié)討論模型（2.3）正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，分析在平衡點(diǎn)處Hopf分歧的存在性。

將系統(tǒng)（2.3）在點(diǎn)處進(jìn)行線性化，得如下線性化系統(tǒng)

（3.1）

則在點(diǎn)處的Jacobi矩陣為

其特征方程為

（3.2）

其中

令并將其帶入（3.2）式得

（3.3）

分離（3.3）式實(shí)部與虛部得

（3.4）

將上面的兩式平方相加得

（3.5）

令

由于且主要考慮方程（3.5）正根的情況，經(jīng)觀察計(jì)算恒成立，故經(jīng)過討論計(jì)算，得

（H₁）若

，，則方程（3.5）無正根。

（H₂）若

則方程（3.5）有唯一的正根其中

（H₃）若

，，

則方程有兩個(gè)正根

（3.6）

不失一般性，假設(shè)方程（3.5）有兩個(gè)正根根據(jù)研究的生物意義，故由（3.4）式得

（3.7）

從而

. ????（3.8）

則方程有一對純虛根在方程（3.2）中，對求導(dǎo)得

由此得

因此，當(dāng)時(shí)，

根據(jù)以上的討論，得到如下定理：

定理3.2設(shè)分別由（3.6）、（3.8）式定義，則

（i）若（H₁）成立，則對正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定;

（ii）若（H₂）成立，則當(dāng)時(shí)，局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)時(shí)，不穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（2.3）在處會出現(xiàn)Hopf分歧;

（iii）若（H₃）成立，則存在正整數(shù)使得從穩(wěn)定到不穩(wěn)定轉(zhuǎn)換次。即當(dāng)

時(shí)，局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)

且

時(shí)，不穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（2.3）在處會發(fā)生Hopf分歧。

3.3系統(tǒng)（2.4）的動力學(xué)性質(zhì)

對于系統(tǒng)（2.4），經(jīng)計(jì)算得滑動區(qū)域不存在，穿越區(qū)域

逃逸區(qū)域由此，得到系統(tǒng)滑動模式區(qū)域，其中.

在滑動模式區(qū)域上我們采用Filippov系統(tǒng)的凸組合的定義，考慮系統(tǒng)

（3.9）

在上有可得如下滑線系統(tǒng)

其中.

下面討論偽平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性。不妨設(shè)且滿足

（3.10）

當(dāng)時(shí)，解方程（3.10）得.

并由此得到如下定理

定理3.3 當(dāng)時(shí)，存在偽平衡點(diǎn)

證明：若存在，則有成立，由的定義經(jīng)計(jì)算可得或則當(dāng)時(shí)，有從而當(dāng)時(shí)，存在。

定理3.4系統(tǒng)（2.4）存在兩個(gè)邊界平衡點(diǎn)

定理3.5系統(tǒng)（2.4）的兩個(gè)切點(diǎn)

4數(shù)值模擬

前面已經(jīng)分析平衡點(diǎn)Hopf分歧的存在性。本節(jié)將在此基礎(chǔ)上，利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證理論分析結(jié)果的正確性。

4.1 系統(tǒng)（2.4）的參

初值解最終收斂到真平衡點(diǎn)

（ii）當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，系統(tǒng)在處發(fā)生Hopf分歧，如圖（3.7）。系統(tǒng)（2.5）存在周期解。

5結(jié)論

本文建立了一類具有時(shí)滯的群體感應(yīng)對信號分子濃度調(diào)節(jié)的非連續(xù)數(shù)學(xué)模型，并討論了其動力學(xué)性質(zhì)，著重分析了系統(tǒng)（2.4）的穩(wěn)定性和hopf分歧產(chǎn)生。

當(dāng)，時(shí)，平衡點(diǎn)為局部漸近穩(wěn)定的真平衡點(diǎn)，系統(tǒng)（2.4）存在假平衡點(diǎn)和真平衡點(diǎn)，偽平衡點(diǎn)不存在，真平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，系統(tǒng)（2.4）在處發(fā)生Hopf分歧，產(chǎn)生穩(wěn)定的分岔周期解。

與文獻(xiàn)[5]相比，非連續(xù)函數(shù)的引用，使模型中出現(xiàn)了真、假、偽平衡點(diǎn)及穿越極限環(huán)等更加豐富的動力學(xué)性態(tài)。豐富了模型的動力學(xué)性態(tài)。研究結(jié)果表明AHL與其分解酶的濃度在群體感應(yīng)與時(shí)滯的共同的調(diào)節(jié)作用下，最終趨于某一狀態(tài)。

參考文獻(xiàn)

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