一種應(yīng)用于在線標(biāo)定的可觀測(cè)度分析方法*

杜濱瀚,王海亮,馬 忠,李國(guó)璋,石志勇*

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 車輛與電氣工程系,石家莊 050003;2.中國(guó)人民解放軍78616部隊(duì),成都 610214)

慣性器件誤差是影響慣導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)航精度的主要誤差源,在導(dǎo)航前對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行在線標(biāo)定是十分必要的[1-4]。目前標(biāo)定過程中通常采用卡爾曼濾波器對(duì)器件誤差進(jìn)行估計(jì),而狀態(tài)量的可觀測(cè)性直接影響濾波估計(jì)的效果。在線標(biāo)定時(shí)載體通過進(jìn)行各種特定的機(jī)動(dòng)來激勵(lì)各誤差參數(shù),提高系統(tǒng)的可觀測(cè)性,從而使濾波器迅速收斂。因此,在設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器之前必須對(duì)系統(tǒng)做可觀測(cè)性分析,且可觀測(cè)性分析對(duì)研究在線標(biāo)定時(shí)各誤差量的收斂情況與載體機(jī)動(dòng)方式的關(guān)系具有重要意義[5-8]。

目前,基于分段線性定常系統(tǒng)PWCS(Piece-Wise Constant System)可觀測(cè)性分析方法和基于奇異值分解SVD(Singular Value Decomposition)可觀測(cè)度分析方法被廣泛應(yīng)用于慣導(dǎo)系統(tǒng)濾波估計(jì)前的可觀測(cè)性分析[9-12]。為了能夠?qū)⒖捎^測(cè)性量化,文獻(xiàn)[13]提出了可觀測(cè)階數(shù)和相對(duì)可觀測(cè)度的概念,對(duì)PWCS可觀測(cè)性分析方法進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)[14-17]等也通過進(jìn)一步分析可觀測(cè)矩陣的奇異值和特征值,分別從不同的角度研究了狀態(tài)的可觀測(cè)度分析方法。

以上研究雖然能夠判斷系統(tǒng)的可觀測(cè)性甚至能夠得到系統(tǒng)的可觀測(cè)度,但并不適用于慣導(dǎo)系統(tǒng)在線標(biāo)定的需要,因?yàn)榧词褂?jì)算得出慣導(dǎo)系統(tǒng)完全可觀測(cè),也無法保證各誤差參數(shù)的標(biāo)定時(shí)間和標(biāo)定精度符合標(biāo)定要求,即誤差參數(shù)的估計(jì)結(jié)果不一定都是可靠的,因此在分析系統(tǒng)可觀測(cè)性的基礎(chǔ)上,有必要進(jìn)一步分析各誤差參數(shù)的可觀測(cè)度。

本文從算法原理上分析了PWCS可觀測(cè)性分析方法和SVD可觀測(cè)度分析方法的不足,并基于范數(shù)最優(yōu)化受約束理論,提出一種新的可觀測(cè)度分析方法并應(yīng)用到在線標(biāo)定的研究中。與之前的方法相比,該方法可以準(zhǔn)確計(jì)算出每一個(gè)濾波狀態(tài)量的可觀測(cè)度,符合慣導(dǎo)系統(tǒng)在線標(biāo)定的需求,具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 在線標(biāo)定基本理論

1.1 在線標(biāo)定濾波模型

本文以彈載捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的在線標(biāo)定為例進(jìn)行說明。慣性器件由于其工作原理、安裝工藝的不完善以及使用環(huán)境的變化等均可造成傳感器的輸出誤差,進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)誤差,由于安裝誤差在實(shí)驗(yàn)室標(biāo)定后基本不隨器件的老化而變化,因此這里只考慮慣性器件的常值零偏及刻度系數(shù)誤差。以車載主慣導(dǎo)輸出的速度和姿態(tài)信息作為匹配量,參照文獻(xiàn)[18]建立系統(tǒng)誤差的狀態(tài)空間模型。

狀態(tài)方程:

(1)

式中,狀態(tài)變量為

X=[δVN,δVU,δVE,δΦN,δΦU,δΦE,φx,φy,φz,δkax,
δkay,δkaz,x,y,z,δkgx,δkgy,δkgz,εx,εy,εz]T

(2)

狀態(tài)矩陣為

(3)

式中:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

量測(cè)方程為

Z=HX+V

(12)

式中:V表示量測(cè)噪聲;量測(cè)變量為

Z=[δVN,δVU,δVE,δΦN,δΦU,δΦE]T

(13)

量測(cè)矩陣為

(14)

1.2 系統(tǒng)可觀測(cè)矩陣

由于系統(tǒng)的可觀測(cè)性與噪聲激勵(lì)無關(guān),將式(1)、式(12)給出的系統(tǒng)模型離散化可得:

(15)

式中:X(k)∈Rn,F(k)∈Rn×n,Z(k)∈Rm,

H∈Rm×n。由式(3)可得:

(16)

(17)

2 已有可觀測(cè)性分析方法及不足

利用上節(jié)慣導(dǎo)系統(tǒng)濾波模型,從算法原理上分析PWCS可觀測(cè)性分析方法和SVD可觀測(cè)度分析方法,得出這兩種算法用在慣導(dǎo)系統(tǒng)在線標(biāo)定中都存在一定不足。

2.1 PWCS可觀測(cè)性分析方法

在對(duì)時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析時(shí),一般采用PWCS可觀測(cè)性分析方法[19-20],其原理是將時(shí)變系統(tǒng)分成很多時(shí)間段,每段在很短的時(shí)間內(nèi)當(dāng)做定常系統(tǒng)處理,求出系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣Q的秩并與系統(tǒng)的維數(shù)進(jìn)行對(duì)比,如果rank(Q)=n,則系統(tǒng)完全可觀;如果rank(Q)

2.2 SVD可觀測(cè)度分析方法

針對(duì)PWCS可觀測(cè)性分析方法的不足,東南大學(xué)提出了基于SVD的可觀測(cè)度分析方法[21],該算法將可觀測(cè)矩陣Q進(jìn)行奇異值分解。

Q=USVT

(18)

式中:U=[u1,u2,…,ul],V=[v1,v2,…,vn]分別為l階和n階的單位正交方陣,且S=diag(s1,…,sr,0,…,0)是l×n階的矩陣,式中對(duì)角線元素滿足s1≥s2≥…≥sr>0。將Q代入式(16)得

(19)

進(jìn)而可得

(20)

利用量測(cè)向量Z,計(jì)算每一個(gè)奇異值si對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量X,si的值代表了相應(yīng)的狀態(tài)線性組合的可觀測(cè)度。

根據(jù)該算法的原理可以得出SVD可觀測(cè)度分析方法存在幾點(diǎn)不足:①通過系統(tǒng)奇異值矩陣無法反應(yīng)出各狀態(tài)之間的耦合特征。②該算法僅能提供狀態(tài)線性組合的可觀測(cè)度,無法提供各獨(dú)立狀態(tài)參數(shù)的可觀測(cè)度。

3 新的可觀測(cè)度分析方法

3.1 可觀測(cè)度算法簡(jiǎn)介

本文定義的可觀測(cè)度是屬于每一個(gè)狀態(tài)量的,即每個(gè)狀態(tài)量都存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的可觀測(cè)度,參照第1節(jié)給出的系統(tǒng)模型,以第1個(gè)狀態(tài)x1為例進(jìn)行介紹。

將可觀測(cè)矩陣Q改寫為:

Q=(qQ*)

(21)

式中:q∈R(k+1)m×1,Q*∈R(k+1)m×(n-1)。

定義a∈R1×(k+1)m為任意一個(gè)行向量,γ為x1的可觀測(cè)度,則由范數(shù)最優(yōu)化受約束理論可得:

(22)

3.2 可觀測(cè)度的計(jì)算

狀態(tài)的可觀測(cè)度主要取決于可觀測(cè)矩陣Q以及輸出中各狀態(tài)量對(duì)應(yīng)的系數(shù),如果一個(gè)狀態(tài)能夠通過系統(tǒng)的量測(cè)值準(zhǔn)確的估計(jì)出來,則可以確定該狀態(tài)是可觀測(cè)的。

分析慣導(dǎo)系統(tǒng)的輸出,由式(16)、式(17)、式(21)可得

(23)

假定a滿足式(7)中的約束條件,則有

(24)

計(jì)算前首先對(duì)部分變量進(jìn)行說明:定義矩陣Q∈Rl×n和(Q*)T∈R(n-1)×l,且Q的秩為r,(Q*)T的秩為r*;Null[(Q*)T]為一包含所有滿足(Q*)Ta=0的a的向量空間,ψ1,…ψl-r*是 Null[(Q*)T]的一組單位正交基;向量a與向量q之間的夾角為θ,向量q在空間Null[(Q*)T]上的投影為β,向量β與向量q之間的夾角為?。

為了后面計(jì)算方便,在此給出如下兩個(gè)引理。

引理1當(dāng)a平行于β時(shí),θ取最小值,且最小值為?。

以上引理均比較容易證明,由于篇幅有限,在此省略證明過程。

由上文對(duì)變量的定義可知,向量a與向量q之間的夾角為θ,則有:

(25)

進(jìn)而可得:

(26)

考慮引理2-1,可得:

γ=cos?

(27)

由式(10)可以得出0≤γ≤1,根據(jù)前文的分析,可得出以下結(jié)論:

γ越靠近1,代表狀態(tài)x1的可觀測(cè)度越強(qiáng),狀態(tài)x1的估計(jì)精度越高,估計(jì)速度越快,反之則說明狀態(tài)的可觀測(cè)度越弱,估計(jì)精度越差,估計(jì)速度越慢。

考慮到ψ1,…,ψl-r*是Null[(Q*)T]的一組單位正交基,則有:

(28)

由于β為向量q在空間Null[(Q*)T]上的投影,則有

(29)

結(jié)合式(10)可得:

(30)

考慮引理2-2,如果γ*

(31)

如果γ*=l,那么γ=0。

顯然,此算法能夠得到每一個(gè)狀態(tài)量的可觀測(cè)度γ,對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)在線標(biāo)定研究中的載體機(jī)動(dòng)路徑設(shè)計(jì)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

4 仿真試驗(yàn)

4.1 初始條件設(shè)置

為了驗(yàn)證本文提出的可觀測(cè)度分析方法的特點(diǎn)及準(zhǔn)確性,在設(shè)計(jì)在線標(biāo)定機(jī)動(dòng)路徑的基礎(chǔ)上,利用MATLAB搭建仿真平臺(tái)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

參照文獻(xiàn)[22]提出的在線標(biāo)定機(jī)動(dòng)路徑設(shè)計(jì)原則,針對(duì)火箭炮設(shè)計(jì)一條機(jī)動(dòng)路徑,具體如表1所示,慣性器件初始誤差參數(shù)設(shè)置如表2所示。

設(shè)載體所在初始緯度為30°,經(jīng)度為118°,桿臂r取[2 3 2]m,狀態(tài)變量X初值都設(shè)為0。濾波各初始矩陣設(shè)定值如(32),(33)所示,仿真時(shí)間180 s,采樣頻率0.01。

Q0=diag{(5×10-5g)2,(5×10-5g)2,(5×10-5g)2,(0.05°)2,(0.05°)2,(0.05°)2,01×15}

(32)

R0=diag{(0.01 m/s)2,(0.01 m/s)2,(0.01 m/s)2,(0.01°)2,(0.01°)2,(0.01°)2}

(33)

表1 炮車機(jī)動(dòng)路徑

表2 慣性器件參數(shù)設(shè)置

4.2 基于SVD分解的可觀測(cè)度分析方法分析結(jié)果

為了說明本文提出的可觀測(cè)度分析方法能夠得出每一個(gè)狀態(tài)量的可觀測(cè)度的特點(diǎn),首先利用基于SVD分解的可觀測(cè)度分析方法計(jì)算動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可觀測(cè)度,其結(jié)果如表3所示。

表3 基于SVD分解的可觀測(cè)度分析方法分析結(jié)果

圖1 加速度計(jì)和陀螺儀刻度系數(shù)誤差估計(jì)曲線圖

從表3可以看出,采用該方法只能得出相關(guān)耦合狀態(tài)的可觀測(cè)度,其中有一組狀態(tài)組合的可觀測(cè)度為零,說明該系統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的,但是無法確定具體哪個(gè)狀態(tài)可觀測(cè),哪個(gè)狀態(tài)不可觀測(cè),導(dǎo)致不能有針對(duì)性的對(duì)標(biāo)定路徑進(jìn)行調(diào)整。

4.3 新的可觀測(cè)度分析方法分析結(jié)果

下面采用本文提出的新的可觀測(cè)度分析方法計(jì)算個(gè)狀態(tài)量的可觀測(cè)度,結(jié)果如表4所示。

由計(jì)算結(jié)果可以得出:①δkaz和z的觀測(cè)度為0,該系統(tǒng)并不是完全可觀測(cè)的。②不可觀測(cè)的狀態(tài)有δkaz、z,其余均可觀測(cè)。③δkgx、δkgz、εx、εz的可觀測(cè)度較強(qiáng),即估計(jì)精度高且估計(jì)速度快,而δkax、δkay的可觀測(cè)度低,即估計(jì)精度差或者估計(jì)速度較慢。

該分析方法能夠明確得出各狀態(tài)量的可觀測(cè)度,根據(jù)各狀態(tài)可觀測(cè)度的值即可有針對(duì)性的修改機(jī)動(dòng)路徑以更好的激勵(lì)慣性器件誤差。

表4 新的可觀測(cè)度分析方法分析結(jié)果

圖2 加速度計(jì)零偏和陀螺儀漂移誤差估計(jì)曲線圖

4.4 在線標(biāo)定仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文提出的可觀測(cè)度分析方法的準(zhǔn)確性,利用MATLAB軟件平臺(tái)對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在線標(biāo)定過程進(jìn)行仿真,采用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),參數(shù)估計(jì)結(jié)果如圖1、圖2所示,其中直線為預(yù)先設(shè)定值,曲線為濾波估計(jì)值。

如圖1、圖2所示,Z加速度計(jì)的刻系誤差及零偏誤差無法收斂,X加速度計(jì)和Y加速度計(jì)的刻度系數(shù)誤差收斂速度較慢且精度一般,其余誤差參數(shù)都能夠快速高精度收斂,這與前面的可觀測(cè)度分析是一致的,證明了新的可觀測(cè)度分析方法的準(zhǔn)確性。

4.5 修改機(jī)動(dòng)路徑后仿真結(jié)果分析

參照新的可觀測(cè)度方法計(jì)算得出的各狀態(tài)量的具體可觀測(cè)度,有針對(duì)性的對(duì)機(jī)動(dòng)路徑進(jìn)行調(diào)整,設(shè)計(jì)炮車在機(jī)動(dòng)至13s～27s時(shí)通過一拱橋,以激勵(lì)Z軸加速度計(jì)的輸出,修正后的具體機(jī)動(dòng)路徑如表5所示。

表5 修正后炮車機(jī)動(dòng)路徑

對(duì)載體機(jī)動(dòng)路徑調(diào)整后,采用新可觀測(cè)度分析方法分析系統(tǒng)可觀測(cè)度結(jié)果如表6所示。

表6 修正路徑后新的可觀測(cè)度分析方法分析結(jié)果

按照修正后的機(jī)動(dòng)路徑對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行激勵(lì),通過仿真得到的慣性器件在線標(biāo)定結(jié)果如圖3、圖4所示。

由圖3、圖4可以看出,修改機(jī)動(dòng)路徑后,Z加速度計(jì)的刻系誤差及零偏誤差能夠迅速收斂,且精度較高,其余誤差參數(shù)也都能迅速收斂,說明修正后的機(jī)動(dòng)方式能夠有效激勵(lì)慣性器件全部誤差參數(shù),再一次證明了本文可觀測(cè)度分析方法的準(zhǔn)確性。

直線為預(yù)先設(shè)定值,曲線為濾波估計(jì)值圖3 加速度計(jì)和陀螺儀刻度系數(shù)誤差估計(jì)曲線圖

直線為預(yù)先設(shè)定值,曲線為濾波估計(jì)值圖4 加速度計(jì)零偏和陀螺儀漂移誤差估計(jì)曲線圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在分析PWCS可觀測(cè)性分析方法和SVD可觀測(cè)度分析方法原理特點(diǎn)及不足的前提下,基于范數(shù)最優(yōu)化受約束理論提出了一種新的可觀測(cè)度方法并將其應(yīng)用于弾載捷聯(lián)慣性器件的在線標(biāo)定中。該方法能夠分析得出每一個(gè)濾波狀態(tài)量的可觀測(cè)度,能夠給慣導(dǎo)系統(tǒng)的在線標(biāo)定機(jī)動(dòng)路徑設(shè)計(jì)提供足夠的依據(jù),完全適用于慣導(dǎo)系統(tǒng)的在線標(biāo)定需求。仿真試驗(yàn)表明,利用該算法計(jì)算得到的每一個(gè)狀態(tài)量的可觀測(cè)度與標(biāo)定中狀態(tài)量的濾波收斂特性具有一致性,證明了該算法的正確性,具有較強(qiáng)的工程實(shí)際意義,可為火箭炮的制導(dǎo)化改造研究提供一定技術(shù)支持。