壓電陶瓷驅動器遲滯建模方法研究*

王艷艷,邊 焱,郭 海

(1.天津職業(yè)技術師范大學,天津市信息傳感與智能控制重點實驗室,天津 300222;2.國家海洋技術中心,天津 300112)

原子力顯微鏡(AFM)是一種高分辨率的納米級測試分析儀器,在材料、化學、生物、半導體制造等領域應用廣泛。AFM采用一端帶有探針的微懸臂梁作為敏感元件,當探針逐漸接近樣品時,探針原子與樣品表面原子之間的作用力使得微懸臂梁彎曲,該彎曲量經光杠桿系統(tǒng)放大,并由光電探測器轉換為電信號,由計算機顯示。其中,探針在樣品表面的掃描運動由壓電陶瓷驅動器驅動。作為核心部件,壓電陶瓷驅動器在AFM的掃描成像過程中起著至關重要的作用,其掃描速度和定位精度直接影響成像的速度和精度。然而,壓電陶瓷本身具備非線性、滯后、爬行及振動等[1-2]缺點,在快速大范圍掃描過程中影響定位精度,造成掃描圖像的位置信息與高度信息不匹配,使得圖像失真[3-4],影響測試的精確性。

高速掃描時,壓電陶瓷的遲滯特性對AFM掃描成像的影響更為顯著,因此,許多研究均圍繞遲滯特性展開[5-12]。滯后特性可以通過如圖1所示的方法如改進驅動電源、建立遲滯逆模型和設計反饋控制器等方法得到改善。傳統(tǒng)的驅動電源一般為電壓源,而壓電陶瓷的驅動機理是驅動位移與電荷量成正比,所以許多電源改進方法均以設計電荷源為基礎,包括電流型、混合型和開關型[5]。但該方法造價較高,通用性較差。設計基于先進控制算法的反饋控制器是第2種常見方法,常見的反饋控制算法包括改進PI反饋[6]、自適應控制[7]、模糊控制算法[8-9]等。該方法通過對壓電陶瓷驅動器進行閉環(huán)反饋控制,提高其定位精確度。然而閉環(huán)反饋的增加會影響壓電陶瓷驅動器的響應速度。設計基于遲滯逆模型的前饋控制器是第3種常見方法[10-12],該方法以壓電陶瓷遲滯模型為基礎,通過前饋控制消除遲滯特性對PZT定位精度的影響,大大改善其定位精確度。該方法要求獲得準確的壓電陶瓷驅動器遲滯模型。由于壓電陶瓷遲滯特性的復雜性,對其建模仍然是近年研究的難點。

圖1 壓電陶瓷驅動器精密定位方法總結

國內外許多研究學者針對壓電陶瓷的遲滯性展開了研究,建立了許多關于遲滯特性的模型[13-21],這些方法可總結如下:①通過分析壓電陶瓷內部機理,從理論上解釋遲滯現(xiàn)象,如微觀極化機理、機電耦合效應等,但該方法理論模型復雜,實現(xiàn)較困難;②利用各種遲滯算子描述遲滯模型,如PI算子[13]、Preisach算子[14]、Hammerstein算子[15]、Bouc-Wen算子[16]和梯形算子[17]。哈爾濱工業(yè)大學的于志亮等人提出改進型PI算子[13],描述壓電陶瓷的遲滯性,動態(tài)遲滯性建模效果較好。北京理工大學李黎等人[14]基于Preisach算子設計自適應滑?？刂坡?描述壓電陶瓷驅動器的遲滯性,取得了較好的結果。中南大學的徐運揚等人[15]提出Hammerstein模型以描述壓電陶瓷驅動器的靜態(tài)和動態(tài)遲滯特性,提高了模型精度等?？偟膩碇v,這種算子建模方法能夠較好的重現(xiàn)遲滯現(xiàn)象,難點在于模型參數(shù)辨識求解復雜,逆模型的求解完全依賴于建模方法,對輸入數(shù)據(jù)有較強依賴性,這影響對逆模型的求解;③通過擬合遲滯曲線描述遲滯現(xiàn)象,神經網絡算法[18-19]、多項式擬合[20-22]是常用的擬合方法,如中國計量大學的許素安等人利用神經網絡算法建模[18-19],較好的描述了壓電陶瓷的遲滯特性,哈爾濱工業(yè)大學的孫立寧等人[21]采用多項式逼近模型描述壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象,取得較好的結果,這類方法便于求取逆模型。但該擬合方法對輸入數(shù)據(jù)依賴性較大,靈活性差。

壓電陶瓷的遲滯性較復雜,很難建立精確的數(shù)學模型。目前,國內外學者主要采用PI模型,但該模型計算量較大,逆模型求取較難,算子數(shù)量影響模型的精確性,是目前研究的難點。相較而言,多項式擬合算法計算量小,擬合精度較高,逆模型求取較簡單。但當輸入信號頻率發(fā)生變化時,多項式擬合模型無法精確描述遲滯性。為此,本文設計基于動態(tài)多項式擬合的算法,使得擬合模型可隨輸入信號頻率的變化而動態(tài)變化,提高對大范圍壓電陶瓷遲滯性模型描述的精確性,為后續(xù)設計基于遲滯逆模型的控制算法提供一種思路。

1 改進型多項式擬合算法

多項式擬合算法是常用的曲線回歸建模方法。對于壓電陶瓷的遲滯曲線,可采用多項式擬合的方法獲得其多項式模型。但由于遲滯曲線不僅與當前輸入信號有關,還與歷史輸入信號有關,因此,不同頻率的輸入信號引起的遲滯曲線是有區(qū)別的,而傳統(tǒng)的多項式擬合算法只能給出相同遲滯曲線的模型,使得遲滯建模存在較大誤差。為此,本文設計一種改進型多項式擬合算法,即可隨頻率變化的多項式擬合模型,提高遲滯模型的精度。

曲線擬合問題的提法是:已知一組二維數(shù)據(jù),即平面上的n個點(xi,yi),i=1,2,…n,xi互不相同,求解一個函數(shù)y=f(x),使得f(x)在某種準則(如最小二乘準則)下與所有數(shù)據(jù)點最為接近,即曲線擬合最好[23]。

傳統(tǒng)的多項式擬合方法獲得的系數(shù)是唯一確定的,而壓電陶瓷驅動器的遲滯曲線是動態(tài)變化的,隨輸入信號頻率的變化而變化。因此,采用傳統(tǒng)的多項式擬合方法必然會引入較大的擬合誤差,大大降低擬合的精度。為此,本文提出一種改進型多項式擬合算法,是基于本課題組在文獻[21]提出的動態(tài)多項式擬合算法,在其基礎上進一步提高壓電陶瓷驅動器的驅動范圍,從30 μm提高至100 μm,提高多項式擬合算法的應用范圍,同時,保證擬合的系數(shù)隨輸入信號頻率的變化不斷變化。主要實現(xiàn)步驟如下:

①學習階段:選擇不同頻率(10 Hz,50 Hz,100 Hz)的輸入信號,采集獲得壓電陶瓷驅動器在這些頻率處的遲滯曲線,用多項式擬合的方法對這些曲線分別進行擬合,獲得不同頻率對應的擬合系數(shù);

②建模階段:根據(jù)擬合系數(shù)與頻率之間的對應關系,建立不同的頻率與擬合系數(shù)之間的線性模型關系;

③驗證階段:根據(jù)頻率與擬合系數(shù)之間的模型關系,計算給定輸入信號(20 Hz)對應的擬合系數(shù),根據(jù)該擬合系數(shù)獲得該輸入信號對應的遲滯曲線的多項式模型,并與實際實驗結果對比,驗證該方法的擬合效果。

2 算法實現(xiàn)及實驗結果

為實現(xiàn)該算法,需首先獲得壓電陶瓷驅動器不同輸入頻率下的遲滯曲線。本文以壓電陶瓷驅動器為核心,搭建如圖2所示實驗系統(tǒng)。其中,驅動器采用德國PI公司的P-517.3CD柔性鉸鏈微位移臺,其X向和Y向的驅動范圍達到100 μm,Z向驅動范圍20 μm。本文主要對X向驅動,利用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)(NI-PXI 6363)輸出不同頻率的三角波驅動壓電陶瓷伸縮,并采集壓電陶瓷驅動器的輸出遲滯曲線,傳輸給計算機顯示。

圖2 實驗系統(tǒng)圖

輸入信號的頻率分別設為10 Hz、50 Hz和100 Hz,記錄輸入電壓數(shù)據(jù)和輸出位移數(shù)據(jù),以電壓為橫軸,以位移為縱軸,繪制遲滯曲線圖。如圖3所示,可發(fā)現(xiàn)頻率越大,驅動范圍越大,遲滯性越顯著,這嚴重影響壓電陶瓷驅動器的定位精度。

圖3 不同頻率(10 Hz、50 Hz、100 Hz)下壓電陶瓷驅動器的遲滯曲線

分別針對上升曲線和下降曲線,利用多項式擬合的方法對不同頻率(10Hz、50Hz、100Hz)下的遲滯曲線進行擬合,采用的多項式模型為:

y=ax2+bx+c

(1)

擬合結果如圖4所示,按上升段與下降段區(qū)分,不同頻率下理想擬合的模型如下:

下降段:

10 Hz:y=0.002 0x2+0.44x-0.939

(2)

50 Hz:y=0.002 6x2+0.34x-1.16

(3)

100 Hz:y=0.003 4x2+0.22x+0.935

(4)

上升段:

10 Hz:y=-0.002 2x2+1.041x+1.738

(5)

50 Hz:y=-0.003 0x2+1.12x+4.626

(6)

100 Hz:y=-0.003 5x2+1.176x+9.706

(7)

圖4 不同頻率下遲滯曲線的理想擬合結果

根據(jù)以上不同頻率下的擬合模型分析多項式擬合參數(shù)與對應頻率的關系可知:①上升段與下降段的遲滯曲線擬合參數(shù)中常數(shù)項c與輸入信號的頻率為非線性關系;②上升段與下降段的遲滯曲線擬合參數(shù)中一次項系數(shù)a、b與輸入信號的頻率基本成線性關系;③多項式擬合系數(shù)中的二次項系數(shù)a的大小對擬合結果的影響最為顯著,b其次,c的影響最弱。

為此,本文結合以上3個特點,提出一種改進型的多項式擬合算法。首先選擇多項式擬合參數(shù)中的二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b,按照頻率與二次項、一次項系數(shù)線性的關系選擇a和b,再根據(jù)不同頻率對應的輸入信號與輸出信號的最大值確定c的大小。

本文按照以上原則,根據(jù)式(2)～式(7)中的一次項系數(shù)和二次項系數(shù)分別計算下降段和上升段新的擬合系數(shù),選用線性模型,所得模型如下:

下降段二次項系數(shù)a的模型:

y=1.549e-5x+0.001 87

下降段一次項系數(shù)b的模型:

y=-0.002 2x+0.458

上升段二次項系數(shù)a的模型:

y=-1.549e-5x-0.002 07

上升段一次項系數(shù)b的模型:

y=0.001 44x+1.029

確定a和b后,根據(jù)最值確定c的大小。利用以上模型計算得到10 Hz、50 Hz和100 Hz的信號對應的新的多項式系數(shù),后重新進行擬合,通過分析擬合殘余誤差驗證擬合效果。擬合模型如下:

圖6 擬合殘差結果

下降段:

10 Hz:y=0.002 0x2+0.44x-0.939

(8)

50 Hz:y=0.002 7x2+0.34x-1.7314

(9)

100 Hz:y=0.003 4x2+0.24x-1.1785

(10)

上升段:

10 Hz:y=-0.002 2x2+1.041x+1.738

(11)

50 Hz:y=-0.002 9x2+1.106x+4.648

(12)

100 Hz:y=-0.003 6x2+1.171x+10.373

(13)

根據(jù)式(8)～式(13)擬合模型對10 Hz、50 Hz、100 Hz不同頻率下壓電陶瓷驅動器的遲滯特性曲線重新擬合,擬合結果見圖5所示。圖6所示為各頻率下擬合殘差結果,小于1.5 μm,因此擬合效果較好。

圖5 改進型多項式擬合方法擬合結果

同時,本文選擇20 Hz的輸入信號驅動壓電陶瓷進一步驗證該方法。利用圖2所示實驗系統(tǒng),輸出20 Hz的信號,驅動壓電陶瓷驅動器X向伸縮,利用采集卡采集輸入輸出數(shù)據(jù),并應用改進型多項式擬合方法計算擬合系數(shù),得到如下擬合模型:

下降段:

20 Hz:y=0.002 2x2+0.41x-0.32

(14)

上升段:

20 Hz:y=-0.003 1x2+1.058x+4.1

(15)

利用式(14)和式(15)多項式模型對20 Hz的輸入-輸出數(shù)據(jù)進行擬合,其中,驅動器X向驅動范圍達到100 μm。為驗證該方法的可重復性,采用兩次不同的輸入信號,通過記錄上升段的擬合殘差結果,觀察擬合效果,如圖7所示。

(a)、(c)分別為輸入兩種不同的輸入信號獲得的擬合效果圖;(b)、(d)分別為兩種不同輸入信號下的擬合殘差結果圖7 改進型多項式對輸入信號為20 Hz時擬合效果圖

由圖7可知,擬合殘差控制在1.5 μm內,說明該改進型多項式擬合模型能較好的描述大范圍壓電陶瓷驅動器的遲滯特性,同時該方法具有較好的重復性。

為提高壓電陶瓷驅動器的線性度,計算20 Hz頻率下遲滯模型的逆模型,并設計基于該逆模型的前饋控制器,應用于此壓電陶瓷驅動器,分析其線性度。

逆模型如下:

下降段:

20 Hz:y=-0.092x2-0.38x-1.59

上升段:

20 Hz:y=0.058x2-0.21x+0.75

利用數(shù)據(jù)采集卡采集20 Hz三角波信號驅動下的輸入信號和輸出信號,如圖8所示,計算得到壓電陶瓷驅動器的線性度達到1.5%,驗證該方法具備較高的精確度。

綜上所述,本文提出一種新穎的改進型多項式擬合算法,描述大范圍壓電陶瓷驅動器的遲滯性。該方法通過對壓電陶瓷驅動器3種不同頻率下遲滯性能的學習,建立了遲滯系數(shù)與頻率的關系,得到不同頻率輸入信號下的遲滯模型。實驗證明該模型能較好的描述壓電陶瓷驅動器的遲滯性能,應用該方法后,對于驅動范圍在100 μm的壓電陶瓷驅動器,可提高其線性度至1.5%,該方法可應用于AFM驅動器,用以提高大范圍高速掃描時橫向的定位精度,后續(xù)工作將圍繞該方法在AFM中的應用展開。

圖8 當輸入信號為20Hz時,無前饋控制器和應用基于逆模型的前饋控制器輸出結果對比

3 結論

本文提出一種改進型多項式擬合算法,描述大范圍壓電陶瓷驅動器的遲滯特性,為后續(xù)基于遲滯模型設計控制算法提供了一種思路。該方法通過對壓電陶瓷驅動器3種不同頻率下遲滯性能的學習,建立遲滯系數(shù)與頻率的關系,得到不同頻率輸入信號下的遲滯模型。利用20 Hz的輸入信號驗證得知該方法能有效描述大范圍壓電陶瓷驅動器的遲滯特性,使得驅動范圍在100 μm的壓電陶瓷驅動器的線性度達到1.5%。后續(xù)工作將圍繞如何將該方法應用于AFM系統(tǒng)中展開,通過高速測試較大范圍的標準樣品驗證該方法的有效性。