關(guān)于Smarandache方程的可解性研究

楊 明 順

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南714099)

0 引言

1 幾個(gè)引理

引理1[9]若函數(shù)y=f(x)滿足：

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)f(a)=f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f′(ξ)=0。

引理3[11]設(shè)函數(shù)z=f(x1,x2,…,xn)在點(diǎn)(x1,x2,…,xn)具有偏導(dǎo)數(shù)且取得極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為0，即

2 結(jié)論及證明

證明 現(xiàn)將a分成3種情況：a>1，0

(1)先證在a>1的情況下，結(jié)論成立。

(2)再證在0

(3)最后證在a<0且a≠-1的情況下結(jié)論成立。

則由前面的結(jié)論可知在a<0且a≠-1的情況下結(jié)論依然成立。

有且僅有一組非負(fù)實(shí)數(shù)解x1=x2=…=xn-1=1。

證明 現(xiàn)將a分成3種情況：a>1,0

(1)當(dāng)a>1時(shí)，由引理2可得

于是有

上式成立當(dāng)且僅當(dāng)

或x1=x2=…=xn-1=1。

即當(dāng)a>1時(shí)，方程

僅有一組正實(shí)數(shù)解x1=x2=…=xn-1=1。

因?yàn)楹瘮?shù)f(x1，x2,…,xn-1)關(guān)于x1,x2,…，xn-1偏導(dǎo)數(shù)存在，故對(duì)f(x1,x2,…,xn-1)分別求關(guān)于x1，x2，…，xn-1的偏導(dǎo)數(shù)，可得

…

…

故u(x)在(0,+)上是單調(diào)函數(shù)，所以對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù)值u(x0)，有且僅有一個(gè)x0成立。所以由

可得出x1=x2=…=xn=q,則(q,q,…,q)為原函數(shù)f(x1，x2,…,xn-1)可能的極值點(diǎn)，且僅有這一個(gè)極值點(diǎn),由qn=1可得q=1,故(1,1,…,1)為原函數(shù)的極值點(diǎn)，此時(shí)極值為0。

事實(shí)上，假設(shè)函數(shù)f(x1，x2,…,xn-1)還有其他的極值點(diǎn)，設(shè)為x1′,x2′,…，xn-1′,則由引理3可知，在這一點(diǎn)必有x1′=x2′=…=xn-1′=1成立，與之前單調(diào)函數(shù)同一函數(shù)值對(duì)應(yīng)唯一自變量矛盾,故函數(shù)只有點(diǎn)(1,1,…，1)這一個(gè)極值點(diǎn)。即此時(shí)函數(shù)

取得唯一極值，且極值為0。即當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn-1=1，方程

有且僅有一組非負(fù)實(shí)數(shù)解x1=x2=…=xn-1=1。

可化為

此時(shí)，則由前面討論的情況可知，方程

的解依然是x1=x2=…=xn-1=1。