基于Wilcoxon的仿射投影算法

李琳琳，郭 瑩

（沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,沈陽110870）

1 引言

最小均方算法（Least Mean Square,LMS）因其形式簡單、魯棒性強(qiáng)而被廣泛應(yīng)用于未知線性系統(tǒng)的辨識。然而在許多實際環(huán)境中，由于自然因素和人為因素的影響，噪聲通常表現(xiàn)出強(qiáng)沖擊性，即存在異常值，這并不符合高斯分布。Majhi等人提出了通過Wilcoxon范數(shù)代替歐式范數(shù)作為代價函數(shù)，以改善LMS對異常值的失調(diào)性能。在這種方法中，不是將誤差項的平方最小化，而是將與每個誤差值相關(guān)的等級最小化。等級是通過對一個數(shù)據(jù)塊獲得的誤差值進(jìn)行排序來計算的。這種強(qiáng)大的技術(shù)已被應(yīng)用于系統(tǒng)識別[1-3]。然而，當(dāng)輸入信號相關(guān)性較高或者輸入信號是有色信號時，LMS算法的收斂速度會明顯降低。為了克服這一問題，Ozeki和Umeda提出仿射投影算法（Affine Projection Algorithm,APA）。但是當(dāng)噪聲呈現(xiàn)非高斯脈沖分布時，經(jīng)APA得到的解將不是最優(yōu)解[4]。針對非高斯噪聲干擾問題，S.J.Ban等人提出了基于Wilcoxon范數(shù)的仿射投影算法（Wilcoxon Affine Projection Algorithm,WAPA），通過最小化加權(quán)Wilcoxon范數(shù)來克服APA算法的不足[5]。

根據(jù)Sign-Sign Wilcoxon比Sign Wilcoxon算法具有更好的收斂速度這一思想，可認(rèn)為Sign-Sign Wilcoxon仿射投影算法（Sign-Sign WAPA）相比于Sign Wilcoxon仿射投影算法（Sign WAPA）在存在異常值時具有更快的收斂速度[6]。但是Sign-Sign WAPA的步長是固定的，在參數(shù)選擇和收斂速度方面有一定的局限性。故此，提出變步長符號-符號仿射投影算法（Variable Sign-Sign WAPA），通過引入步長函數(shù)，可很好地解決這一問題[7]。

對 APA、WAPA，Sign WAPA，Sign-Sign WAPA，Variable Sign-Sign WAPA進(jìn)行綜合比較分析。仿真研究表明，在具有高相關(guān)輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)存在非高斯噪聲的條件下，與其他算法相比，Variable Sign-Sign Wilcoxon APA具有更好的性能。

2 Alpha穩(wěn)定分布

Alpha穩(wěn)定分布是高斯分布的一種推廣，非常適合描述帶有脈沖性質(zhì)的實際環(huán)境噪聲[7]。Alpha穩(wěn)定分布不存在閉合形式的概率密度函數(shù)，因此可用一般特征函數(shù)描述。對隨機(jī)變量X，其特征函數(shù)可以描述為：

其中，

Alpha穩(wěn)定分布的表現(xiàn)由四個參數(shù)α、β、δ、γ決定；其中α是特征指數(shù)，取值范圍為0＜α≤2，決定著Alpha穩(wěn)定分布脈沖性的強(qiáng)弱，當(dāng)α=2時表示分布為高斯分布；β是對稱參數(shù)，取值范圍為-1＜β≤1，當(dāng)β=0時為對稱Alpha穩(wěn)定分布或稱SαS分布；δ為位置參數(shù)，取值范圍為-∞＜δ＜∞；γ為分散系數(shù)，取值范圍為γ＞0。α在不同取值條件下所對應(yīng)的概率密度函數(shù)曲線如圖1所示。

由圖1可以看出當(dāng)特征指數(shù)α=2時，SαS概率密度函數(shù)曲線與實質(zhì)上均值為零且方差為2的高斯分布曲線保持一致。SαS分布概率密度函數(shù)的拖尾厚薄程度變化受α值的影響，隨著特征指數(shù)α的減小，拖尾變厚，表現(xiàn)出更強(qiáng)的脈沖性。因此，SαS分布非常適合用來描述那些類似于高斯分布，卻具有很強(qiáng)沖擊性的非高斯分布。

圖1 特征指數(shù)α在不同取值下的概率密度函數(shù)曲線

3 Wilcoxon估計

在統(tǒng)計中，使用基于秩的Wilcoxon生成的線性回歸器對異常值不敏感。對于線性最小二乘回歸和線性Wilcoxon回歸對異常值的魯棒性的差異，可用以下示例進(jìn)行比較。

示例由圖2給出，其中包含20個數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)并存在30%的異常值。真實函數(shù)為y=10x+2。以最小二乘方法得到的回歸線性方程為y=8.3395x+6.9395，而由Wilcoxon方法得到的結(jié)果為真實函數(shù)y=10x+2?；貧w結(jié)果亦如圖2所示。

圖2 最小二乘估計與Wilcoxon估計比較

圖3 函數(shù)關(guān)系 w ?的曲線

4 Wilcoxon范數(shù)

Wilcoxon范數(shù)的定義需要一個單調(diào)遞增的記號函數(shù)φ φ(( uu )):：[[00,,11]]→→R? ，且滿足：

其中，記號函數(shù)φφ被定義為：

其中n=1,2,...,l。l為固定的正整數(shù)。

令向量v∈∈?Rll， 則其Wilcoxon范數(shù)被定義為：

Sign Wilcoxon范數(shù)則為僅將記號函數(shù)前加入“符號”，定義為：

5 Wilcoxon APA算法

在數(shù)據(jù)重組中，將最后的L個輸入信號向量寫為如下的矩陣形式：

輸出向量y(n)可以表示為：

APA算法的權(quán)系數(shù)向量更新公式為：

同時為了防止自相關(guān)X(n)XT(n)太小，算法中還可引入一個非常小的正整數(shù)，APA算法的權(quán)系數(shù)向量更新公式變?yōu)椋?/p>

其中，ε是正則化因子，I為M×M的單位矩陣，εI是為避免對不滿秩方陣求逆而添加的一個對角矩陣。

基于公式(12)，Wilcoxon范數(shù)APA的權(quán)系數(shù)更新公式可以寫成：

Wilcoxon APA算法的代價函數(shù)為：

對代價函數(shù)J(n)關(guān)于W(n+1)求偏導(dǎo)，則：

Wilcoxon范數(shù)APA算法的權(quán)系數(shù)更新公式為：

根據(jù)式 (7)、(16)，Sign Wilcoxon范數(shù) APA 算法的權(quán)系數(shù)更新公式為：

6 變步長Sign-Sign WAPA

在有異常值存在的情況下，設(shè)計一個能有效地估計其參數(shù)的模型。Wilcoxon范數(shù)和Sign Wilcoxon范數(shù)存在異常值時都能顯現(xiàn)出良好的魯棒性。與傳統(tǒng)方法相比，Sign-Sign技術(shù)有更快的收斂速度。在Sign-Sign Wilcoxon方法中，誤差向量和記號函數(shù)都用符號函數(shù)來表示。Sign-Sign WAPA算法的權(quán)系數(shù)更新公式為：

利用固定的步長參數(shù)μ描述權(quán)值更新方程，固定步長自適應(yīng)算法僅能有效地跟蹤緩慢運(yùn)動的參數(shù)化，因此固定步長Sign-Sign Wilcoxon方法不能產(chǎn)生比變步長更好的結(jié)果。由于步長參數(shù)起著至關(guān)重要的作用，為了構(gòu)造更加魯棒的系統(tǒng)，應(yīng)對自適應(yīng)算法進(jìn)行變步長改進(jìn)。瞬時步長定義為：

其中，μi是在所提出的自適應(yīng)算法中使用的瞬時步長值。Δμ定義為固定步長的初始值，S=X(n)e(n)，sp為s上一次迭代的值。最后的步長大小定義為：

其中μmin和μmax定義為該算法的最小步長和最大步長，步長的大小可以在μmin和μmax之間選擇。

至此Variable Sign-Sign WAPA算法的最終更新方程為：

隨后可將Variable Sign-Sign WAPA算法和其他算法在高斯噪聲和非高斯噪聲下進(jìn)行對比驗證。

7 實驗仿真

為驗證所提算法的收斂速度、穩(wěn)態(tài)失調(diào)及其跟蹤的性能，對幾種相關(guān)算法用MATLAB進(jìn)行仿真。算法的收斂性能是以歸一化均方偏差（Normalized Mean Square Deviation,NMSD）的收斂曲線來評價的，定義為：

可見NMSD是對自適應(yīng)濾波器與目標(biāo)系統(tǒng)的逼近程度的度量。

圖4 不同高斯干擾條件下α穩(wěn)定噪聲

圖5為APA、WAPA、SignWAPA、Sign-SignWAPA和Variable Sign-Sign WAPA在高斯噪聲條件下的NMSD收斂曲線。

圖5 高斯噪聲下各算法的性能比較

由圖中可見，當(dāng)干擾噪聲為高斯噪聲時，所提的 Variable Sign-Sign WAPA比 Sign-Sign WAPA、Sign WAPA、WAPA、APA都要具有更快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)。

圖 6為 APA、WAPA、Sign WAPA、Sign-Sign WAPA和Variable Sign-Sign WAPA在非高斯噪聲條件下的NMSD收斂曲線。

圖6 非高斯噪聲下各算法的性能比較

由圖6可以看出，APA算法已經(jīng)發(fā)散。所提Variable Sign-Sign WAPA和Sign-Sign WAPA算法的收斂速度較Sign WAPA和WAPA算法有極大改善，較Sign WAPA的穩(wěn)態(tài)失調(diào)也改善了20dB左右。

圖5和圖6也同時驗證了所提出的Variable Sign-Sign WAPA在干擾噪聲為高斯噪聲和非高斯噪聲時相比于其他算法的優(yōu)勢，包括穩(wěn)態(tài)失調(diào)，收斂速度和抗脈沖干擾性能。因此，所提的新算法技術(shù)對異常值具有較強(qiáng)的魯棒性。

如圖7所示，為在干擾噪聲為非高斯噪聲下提出新算法Variable Sign-Sign WAPA與WAPA、Sign WAPA、Sign-Sign WAPA各算法的跟蹤性能仿真曲線。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到3000的時候，回聲信道W變?yōu)?W。如圖所示，提出的新算法Variable Sign-Sign WAPA和Sign-Sign WAPA算法在信道發(fā)生突變時，具有良好的跟蹤性能。

圖7 非高斯噪聲下各算法跟蹤性能

8 算法在回聲消除中的應(yīng)用

在回聲消除的真實場景中，遠(yuǎn)端輸入信號一般是語音信號，有必要保證這種情況下算法的魯棒性。將所提的Variable Sign-Sign WAPA算法應(yīng)用到如圖8所示的自適應(yīng)回聲消除系統(tǒng)中，與現(xiàn)有的APA、WAPA、Sign WAPA 及 Sign-Sign WAPA 算法進(jìn)行比較。輸入信號采用真實語音信號，波形如圖9所示。其采樣頻率為8kHz，樣本長度為480000。以此比較在非高斯噪聲條件下各個算法的收斂性能。

圖8 自適應(yīng)回聲消除系統(tǒng)

圖9 某真實語音信號波形

如圖8所示，X(n)是遠(yuǎn)端信號，即輸入信號。v(n)是近端信號。表示回聲信道W的估計值。當(dāng)遠(yuǎn)端語音信號X(n)通過W產(chǎn)生回聲信號y(n)，d(n)為麥克風(fēng)獲取的信號，也是自適應(yīng)濾波器的期望信號。當(dāng)自適應(yīng)濾波算法處于穩(wěn)態(tài)時，自適應(yīng)濾波器的輸出?(n)即為回聲信號估計值，將其從期望信號中減去即可實現(xiàn)回聲消除。

各算法的收斂性能在非高斯噪聲條件下的對比情況如圖10所示。一方面所提的Variable Sign-Sign WAPA和Sign-Sign WAPA算法均表現(xiàn)出了對強(qiáng)脈沖干擾的魯棒性；另一方面，在加入語音信號時，Variable Sign-Sign WAPA算法仍保持較快的收斂速度，而WAPA和Sign WAPA收斂變慢，穩(wěn)態(tài)失調(diào)高，總體性能差。以此便可證明，所提新算法在語音信號狀態(tài)下具有優(yōu)越的性能，適用于回聲消除的應(yīng)用中。

圖10 非高斯噪聲條件下的收斂性能

9 結(jié)束語

通過基于Wilcoxon范數(shù)作為代價函數(shù)，提出了一種新的變步長Sign-Sign Wilcoxon仿射投影算法。在高斯噪聲干擾和非高斯噪聲干擾下將APA、WAPA、Sign WAPA、Sign-Sign WAPA 和 Variable Sign-Sign WAPA進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明，無論輸入信號是有色信號還是語音信號，所提出的新算法比其他算法都具有較快的收斂性能和更低的穩(wěn)態(tài)失調(diào)，并且在信道突變時，有著良好的跟蹤性能，在系統(tǒng)中包含強(qiáng)脈沖干擾時，也能表現(xiàn)出很強(qiáng)的魯棒性。