光學(xué)干涉式絕對重力儀參考測試高度研究

張 威， 艾 云， 郭 娟

(中國科學(xué)院 西安光學(xué)精密機(jī)械研究所，陜西 西安 710119)

0 引 言

～隨著激光穩(wěn)頻技術(shù)和時(shí)間基準(zhǔn)技術(shù)的發(fā)展，使用光學(xué)干涉方法測試絕對重力加速度成為主流,各國科學(xué)家研制了多種型號的光學(xué)干涉式絕對重力儀[1]。光學(xué)干涉式絕對重力儀基本原理是利用激光干涉方法測量真空環(huán)境中自由下落角錐棱鏡運(yùn)動軌跡，將其位移時(shí)間數(shù)據(jù)代入運(yùn)動方程，計(jì)算絕對重力加速度最佳估值[2]。本文介紹自由落體數(shù)學(xué)模型，利用變分法確定測量高度，采用最小二乘法擬合等時(shí)間和等距離數(shù)據(jù)測量高度，并模擬數(shù)據(jù)測量高度誤差，為光學(xué)干涉式絕對重力測試提供參考。

1 相關(guān)理論

1.1 自由下落運(yùn)動數(shù)學(xué)模型

圖1為光學(xué)干涉式絕對重力儀原理，穩(wěn)頻激光經(jīng)分束器分為豎直向上的測試光束和水平向右的參考光束，測試光束分別經(jīng)過真空腔中自由下落的落體棱鏡和超低頻垂直隔振系統(tǒng)中參考棱鏡的反射后于分束器處與參考光束產(chǎn)生干涉，干涉信號經(jīng)光電探測器轉(zhuǎn)換接收并由高速數(shù)字化儀采集存儲，利用存儲數(shù)據(jù)與運(yùn)動方程擬合計(jì)算絕對重力加速度[3]。由于落體棱鏡在真空環(huán)境中自由下落，僅受自身重力作用，其下落速度會逐漸增大，產(chǎn)生的干涉條紋頻率也逐漸增大。

圖1 光學(xué)干涉式絕對重力儀原理

地球表面重力梯度隨位置和高度不同而變化，絕對重力測試過程中，落體棱鏡下落距離短，重力梯度變化可忽略，設(shè)重力梯度為常數(shù)γ。由于落體棱鏡在真空環(huán)境中自由下落，只受重力作用，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，其運(yùn)動方程為

(1)

式中z為落體棱鏡相對參考位置的位移，t為記錄數(shù)據(jù)時(shí)刻起，落體棱鏡的下落時(shí)間，g0為參考位置的重力加速度，z0為t=0時(shí)落體棱鏡相對于參考位置的位移。式(1)的解為

(2)

當(dāng)t=0時(shí)，式(2)滿足初始條件

(3)

式中v0為落體棱鏡的初始速度，將式(2)代入式(3)，可得

(4)

(5)

式(5)為自由下落運(yùn)動方程，當(dāng)假定重力梯度γ=0時(shí)，方程可簡化為

(6)

絕對重力測試過程中，可分別用式(5)或式(6)進(jìn)行擬合計(jì)算求解重力加速度估值。

1.2 參考測試高度

地球表面存在重力梯度，所測試重力加速度必須對應(yīng)相應(yīng)高度，即參考測試高度。如圖2所示，利用光學(xué)干涉式絕對重力儀測試重力加速度，落體棱鏡釋放前期不穩(wěn)定且速度較慢，在處理過程中一般舍去初始下落位移h0的位移時(shí)間數(shù)據(jù)[2,3]。當(dāng)測試點(diǎn)重力梯度γ已知或可測時(shí)，將落體棱鏡后續(xù)下落過程中的位移時(shí)間數(shù)據(jù)代入運(yùn)動方程(5)，可擬合求解重力加速度g0，其為與起始點(diǎn)距離h0處的重力加速度，對應(yīng)的參考測試高度為

href1=hinst-h0

(7)

式中hinst為絕對重力儀底部地面到落體棱鏡釋放點(diǎn)的距離。

圖2 絕對重力儀參考測試高度

當(dāng)測試點(diǎn)重力梯度未知或不可測時(shí)，可利用式(6)擬合求解重力加速度，由于式(6)的推導(dǎo)過程中，假定重力梯度為γ=0，擬合求出的重力加速度所對應(yīng)的位置應(yīng)位于開始位置和結(jié)束位置之間，假定其與開始擬合位置距離為有效高度heff，其擬合得出的重力加速度的參考高度為

href2=hinst-h0-heff

(8)

確定有效高度heff，便能得到所測重力加速度參考測量高度。相對于式(5)，利用式(6)擬合求解重力加速度時(shí)不需要測試點(diǎn)的重力梯度γ，在更多情況下被采用[4,5]。

2 利用變分法確定參考測試高度

由于利用式(5)擬合得到重力加速度的參考測試高度href1的計(jì)算非常簡單，本文只討論利用式(6)擬合時(shí)參考測試高度href2的計(jì)算。提出一種參考測試高度href2的計(jì)算方法，利用這種方法可以在不確定測試點(diǎn)重力梯度γ的情況下，得到參考高度的精確值，其誤差小于1 mm。同時(shí)在公式推導(dǎo)過程中，考慮了初始位移及初始速度，且并未對其進(jìn)行任何限制，因此，這個(gè)結(jié)果適用于任何利用最小二乘法求解重力加速度時(shí)參考測試高度的計(jì)算。

2.1 最小二乘擬合

使測量值z與擬合函數(shù)f(tn,ai)之間差的平方和最小

(9)

式中ai為擬合參數(shù)，χ2(ai)為最小二乘擬合函數(shù)，N為參與擬合的位移時(shí)間數(shù)據(jù)量。一般情況下，絕對重力儀測試過程中，參與擬合的數(shù)據(jù)分為等時(shí)間和等距離[3]數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)量較大，可用積分形式將式(9)分別表示為

(10)

(11)

當(dāng)不確定測試點(diǎn)重力梯度γ，利用式(6)擬合求解重力加速度，其參考測試高度為式(8)所示。為求有效高度heff，可將式(6)、式(5)中的z*和z分別作為上式中的z(t)和f(t,ai)代入最小二乘擬合函數(shù)，且使最小二乘函數(shù)取最小值。

2.2 等時(shí)間數(shù)據(jù)參考測試高度

當(dāng)重力測試使用等時(shí)間數(shù)據(jù)時(shí)，將式(6)中的z*和式(5)的z代入式(10)，可得最小二乘函數(shù)

(12)

(13)

將式(12)代入式(13)，可得線性方程組

(14)

求解可得

(15)

(16)

式中s為落體棱鏡下落總高度，則有效高度heff為

(17)

2.3 等距離數(shù)據(jù)參考測試高度

(18)

根據(jù)式(5)，將坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)置在測試開始的位置，即z0=0，可得

(19)

將式(19)和式(6)的z*與式(5)的z代入式(11)，可得最小二乘函數(shù)

(20)

使式(20)取最小值，則必須滿足

(21)

計(jì)算中舍去相對小量，可得

(22)

(23)

式中X1=28.0，X2=51.2，X3=30.6，X4=14.0,X5=0.5，Y1=56.0，Y2=84.0，Y3=33.6，Y4=2.8

由于計(jì)算中引入積分因子式(19)，等距離數(shù)據(jù)的參考測試高度式(23)相對于等時(shí)間數(shù)據(jù)參考高度式(17)更為復(fù)雜，但其僅由測試初始狀態(tài)及測試時(shí)間確定。

3 仿真驗(yàn)證

圖3 參考測試高度誤差

圖中，根據(jù)式(17)和式(23)所得參考測試誤差隨著擬合數(shù)據(jù)增多而降低，最后趨近于零。目前光學(xué)干涉式絕對重力儀的擬合數(shù)量都在1 000以上[2～4]，當(dāng)擬合數(shù)據(jù)量為1 000時(shí)，上述參考測試高度計(jì)算誤差分別為0.018 mm(等時(shí)間數(shù)據(jù))和0.178 mm (等距離數(shù)據(jù))，均小于Zumberge M A[6]和Niebauer T M[7]的計(jì)算結(jié)果。其中等距離數(shù)據(jù)誤差相對較大，為式(23)推導(dǎo)過程中舍去相對小量所致[8]。

4 結(jié) 論

本文針對測試點(diǎn)重力梯度未知的情況，提出了重力測試過程中的參考測試高度的計(jì)算方法，通過嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，得到了參考測試高度的解析公式。并利用仿真得到參考高度的計(jì)算誤差小于1 mm，驗(yàn)證了公式結(jié)果精確有效，能應(yīng)用于光學(xué)干涉式重力測量領(lǐng)域。